精品解析：2026年贵州省铜仁市第九中学九年级中考模拟 数学试卷

数学 同学，你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，中国鼓最早是以陶土烧制的“土鼓”，始现于陶器时代，鼓文化与中华文明相伴而生数千年．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到“鼓”的是（ ） A. B. C. D. 3. 在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A. 130° B. 110° C. 70° D. 20° 4. 在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. 如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 肇兴侗寨被誉为“侗族文化活态博物馆”．小星去肇兴侗寨旅游时，想从一组盲盒（外观和重量完全相同）中随机购买一个作纪念品，已知这组盲盒中有5个鼓楼、2个花桥、1个吊脚楼，则下列说法正确的是（ ） A. 小星一定能拿到鼓楼纪念品 B. 小星拿到花桥纪念品的可能性最大 C. 小星拿到吊脚楼纪念品的可能性最小 D. 小星拿到三种纪念品的可能性相同 10. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为□ABCD的对称中心，点A的坐标为(-2，-2) ，AB=5，AB//x轴，反比例函数的图象经过点D，将□ABCD沿y轴向下平移，使点C的对应点C'落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段AC扫过的面积为( ) A. 24 B. 20 C. 18 D. 14 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. ______． 14. 若，，则______． 15. 某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 16. 如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形） 17. 计算与化简： （1）； （2）． 18. “春节看电影”成为全民新年俗，2026年春节期间，多部国产大片上映，满足不同地域、各年龄层、不同群体的差异化需求．为了解几部影片在学生中的喜爱程度，学校进行了问卷调查，请同学们在A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》、E《熊猫计划之部落奇遇记》五部影片中选出一部自己最喜欢的影片，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了多少名同学？ （2）补全条形统计图； （3）春节期间小星同学从这五部影片中随机选出了两部观看，他选择的影片是《飞驰人生3》和《镖人：风起大漠》的概率是多少？ 19. 已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 20. 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 21. 2026年央视春晚舞台上，国产人形机器人以多种形式完成了一场震撼全球的科技秀，这场跨越一年的舞台秀，不仅是技术展示，也标志着中国人形机器人正式进入规模化、场景化、智能化的全新发展阶段．某商场计划购买A、B两种型号的机器人用于服务，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． （1）每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ （2）若该商场计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该商场购买这两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 22. 贵阳市电视塔是贵阳的标志性建筑之一，综合实践课上，数学小组开展了测量贵阳市电视塔高度的活动，测量方式如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得塔底端B的俯角为．请根据以上测量数据，求贵阳市电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 23. 已知为的直径，交于点C，点D为上一点，与相交于点E，过点D作的切线交的延长线于点P． （1）如图，若，． ①求的大小； ②求弧、线段、线段所围成图形的面积． （2）试探究与的数量关系，并说明理由． 24. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 25. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 同学，你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用实数大小比较的规则，结合无理数的估算即可得到结果． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数， ∴，且、均为正数，只需比较两个正数的大小， ∵，，可得， 又∵， ∴， 综上可得，因此最大的数是． 2. 如图，中国鼓最早是以陶土烧制的“土鼓”，始现于陶器时代，鼓文化与中华文明相伴而生数千年．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到“鼓”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识．根据面动成体解答即可． 【详解】解：将图形绕轴旋转一周，可以得到“鼓”． 故选：B． 3. 在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A. 130° B. 110° C. 70° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 4. 在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 6. 等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加c，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 7. 如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质和含直角三角形的性质得出，再根据三角形中位线判定定理得，即可求出的长度． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵在中，点D为斜边中点，， ∴， 即 ∵E，F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵ ∴ 故选：D 8. 如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握“两个一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解”是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解对应两函数图象的交点坐标，直接利用交点坐标得到方程组的解． 【详解】解：∵函数与的图象交于点 ∴方程组的解是 故选：B． 9. 肇兴侗寨被誉为“侗族文化活态博物馆”．小星去肇兴侗寨旅游时，想从一组盲盒（外观和重量完全相同）中随机购买一个作纪念品，已知这组盲盒中有5个鼓楼、2个花桥、1个吊脚楼，则下列说法正确的是（ ） A. 小星一定能拿到鼓楼纪念品 B. 小星拿到花桥纪念品的可能性最大 C. 小星拿到吊脚楼纪念品的可能性最小 D. 小星拿到三种纪念品的可能性相同 【答案】C 【解析】 【分析】先计算盲盒总数量，再根据不同类型盲盒的数量比较拿到对应纪念品的可能性大小，盲盒数量越多，拿到的可能性越大，据此判断各选项正误． 【详解】解：盲盒总个数：， ∵鼓楼盲盒共5个，花桥盲盒共2个，吊脚楼盲盒共1个，且， ∴拿到鼓楼纪念品的可能性最大，拿到吊脚楼纪念品的可能性最小，无法保证一定拿到鼓楼纪念品，三种纪念品被拿到的可能性不相同， 因此选项A、B、D错误，C正确． 10. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，可求的度数，由圆周角定理知可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 11. 某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并正确列出代数式是关键． 根据每月营业额的增长关系推导九月份营业额的表达式，再结合已知条件列方程． 【详解】解：∵七月份的营业额为万元，月均增长率为， ∴八月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元， ∴方程为． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为□ABCD的对称中心，点A的坐标为(-2，-2) ，AB=5，AB//x轴，反比例函数的图象经过点D，将□ABCD沿y轴向下平移，使点C的对应点C'落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段AC扫过的面积为( ) A. 24 B. 20 C. 18 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据O为▱ABCD的对称中心，点A的坐标为（-2，-2），AB=5，AB∥x轴，可求点B、D、C的坐标，进而求出反比例函数的关系式，由平移可求出点C′的坐标，知道平移的距离，即平行四边形的底，再根据点的坐标，可求出平行四边形的高，最后根据面积公式求出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为（-2，-2），AB=5，AB∥x轴， ∴B（3，-2）， ∵O为▱ABCD的对称中心， ∴D（-3，2），C（2，2）， 将D点坐标代入反比例函数的关系式得， 将▱ABCD沿y轴向下平移，使点C的对应点C′落在反比例函数的图象上， 平移后，如图， 当x=2时， ∴点C′（2，-3）， ∴CC′=2-（-3）=5， 上的高为： ∴平行四边形ACC′A′的面积为5×4=20， 故选：B． 【点睛】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质及面积，将点的坐标转化为线段的长是常用的方法，将AC平移后扫过的面积就是平行四边形ACC′A′的面积是关键． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】运用同底数幂的除法法则即可计算出结果． 【详解】解：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， 则． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 15. 某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足题意的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设4个小游戏分别为. 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲，乙两人恰好选到同一个小游戏的结果数为. 因此两人恰好选到同一个小游戏的概率为． 16. 如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【解析】 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，．再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形） 17. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. “春节看电影”成为全民新年俗，2026年春节期间，多部国产大片上映，满足不同地域、各年龄层、不同群体的差异化需求．为了解几部影片在学生中的喜爱程度，学校进行了问卷调查，请同学们在A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》、E《熊猫计划之部落奇遇记》五部影片中选出一部自己最喜欢的影片，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了多少名同学？ （2）补全条形统计图； （3）春节期间小星同学从这五部影片中随机选出了两部观看，他选择的影片是《飞驰人生3》和《镖人：风起大漠》的概率是多少？ 【答案】（1）50 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用喜欢A影片的学生人数除以占比即可求出调查的总人数； （2）求出喜欢B，D影片的学生人数，然后补全统计图即可； （3）画树状图列举出所有可能的情况和选择A和C的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：（名）， 答：本次共调查了50名同学； 【小问2详解】 解：喜欢B影片的学生人数为（名）； 喜欢D影片的人数为（名）， 补全条形统计图：略． 【小问3详解】 解：画树状图如下： ∴一共有20种等可能的结果，其中选择A和C的结果有2种， 所以选择的影片是《飞驰人生3》和《镖人：风起大漠》的概率为． 19. 已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）点在反比例函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质． （1）根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为（）， 由表可知，， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 点在反比例函数的图象上． 20. 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）以点为圆心，长为半径画弧，与相交，交点即为所求； （2）由矩形的性质和平行线的性质，可证三角形全等，根据全等的性质，可得线段的长度，从而可得线段的长． 【小问1详解】 解：如图，点为所求， 证明：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）作图知，， 在矩形中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 2026年央视春晚舞台上，国产人形机器人以多种形式完成了一场震撼全球的科技秀，这场跨越一年的舞台秀，不仅是技术展示，也标志着中国人形机器人正式进入规模化、场景化、智能化的全新发展阶段．某商场计划购买A、B两种型号的机器人用于服务，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． （1）每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ （2）若该商场计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该商场购买这两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 【答案】（1）每台A型机器人和B型机器人的售价分别为5万元和3万元 （2）最多为93万元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人和B型机器人的售价分别为x万元和y万元，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程组即可解答； （2）设购买A型机器人a台，则购买B型机器人台，根据题意列不等式求得，设该商场购买两种型号机器人所需的总费用为w万元，则，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人和B型机器人的售价分别为x万元和y万元． 由题意，得，解得 答：每台A型机器人和B型机器人的售价分别为5万元和3万元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人a台，则购买B型机器人台． 由题意，得，解得． ∵a为整数，∴． 设该商场购买两种型号机器人所需的总费用为w万元． 由题意，得． ∵， ∴w随a的增大而增大． ∴当时，w有最大值，最大值． 答：该商场购买这两种型号机器人所需的总费用最多为93万元． 22. 贵阳市电视塔是贵阳的标志性建筑之一，综合实践课上，数学小组开展了测量贵阳市电视塔高度的活动，测量方式如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得塔底端B的俯角为．请根据以上测量数据，求贵阳市电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点C，则，由题意，得，．在中，有，则可求得．在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点C，则， 由题意，得，． 在中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：贵阳市电视塔的高度约为． 23. 已知为的直径，交于点C，点D为上一点，与相交于点E，过点D作的切线交的延长线于点P． （1）如图，若，． ①求的大小； ②求弧、线段、线段所围成图形的面积． （2）试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①连接，根据等边对等角得到，然后根据切线的性质得到，即可求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等求出的度数，再根据三角形的内角和解答即可；②由（1）①得，则，求出的长，进而求出和扇形的面积，据此可得答案； （2）同（1）①求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴； ②由（1）①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴弧、线段、线段所围成图形的面积； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了切线的性质，求不规则图形的面积，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知圆的相关知识是解题的关键． 24. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 【答案】（1）； （2）不达标 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）设直线的解析式为：，利用待定系数法求得解析式为：．联立方程组：，得抛物线与交点坐标为，当时和当时，代入二次函数求得时间，再与运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留时间相比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即， 即该运动员铅垂高度的最大值为； 把点代入得： ，解得：， ∴满足的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴该运动员的成绩不达标； 【小问3详解】 设直线的解析式为：，将点和代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得：（舍去）或， 抛物线与交点坐标为， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或（舍去）， 该运动员从起跳到落地所用时间为：（秒）， 运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟， 该运动员从起跳到落地能完成动作． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 25. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1） 解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2） ①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ：①略 ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $