第九章 统计 章末复习 课件-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学统计单元复习课件系统梳理了统计的核心知识，通过知识框架图将总体与样本、描述统计（集中趋势、离散程度）、推断统计（参数估计、假设检验）等内容串联，构建完整知识网络，体现各部分内在逻辑联系。 其亮点在于采用“核心题型突破+典例-跟踪训练”模式，如分层抽样计算、频率分布直方图估计百分位数等题型，结合面包店销售、农业试验等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析数据的能力。分层设计让学生巩固知识，教师可精准教学，提升复习效率。

第九章　统计 复习课 22201 主干知识回顾 22201 22201 核心题型突破 22201 1.简单随机抽样 (1)特征:①逐个抽取;②每个个体被抽到的概率都相等. (2)常用方法:①抽签法;②随机数法. 2.分层随机抽样 (1)定义:按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本. 题型一　随机抽样 22201 22201 [典例1] 已知某校有小学生3 600名,初中生2 400名,为了解该校学生的近视情况,用比例分配的分层随机抽样的方法,从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是(　　) [A] 24 [B] 48 [C] 72 [D] 96 A 22201 初中生应抽取的人数是120-72=48,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是 72-48=24. 故选A. 22201 [跟踪训练] (多选题)某学生社团有男生32人、女生24人,从中随机抽取一个容量为7的样本.某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是(　 　) [A] 这次抽样可能采用的是抽签法 [B] 这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样 [C] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率 [D] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率 AB 22201 【解析】 根据抽样结果,此次抽样可能采用的是抽签法,故A正确; 若采用的是按性别进行分层的分层随机抽样的方法,则抽到的男、女生人数分别为4,3,所以这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样,故B正确; 若按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等,故C,D错误.故选AB. 22201 题型二　总体取值规律与百分位数的估计 1.频率分布直方图 可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律. 22201 2.百分位数与总体百分位数的估计 (1)第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数. 22201 [典例2] 某家面包店以往每天制作120个三明治,为了解销售情况,店长统计了去年三明治的日销售量(单位:个),并绘制频率分布直方图如图所示. 22201 (1)求图中a的值,并计算该面包店去年(按360天算)三明治日销售量不少于100个的天数; 【解】 (1)由(2×0.002 5+2a+0.035+0.04)×10=1,解得a=0.01. 日销售量不少于100个的频率为(0.01+0.002 5)×10=0.125,则该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为360×0.125=45. 22201 (2)由于三明治的保质期不到一天,为了避免浪费,店长决定今年减少每天三明治的制作量,但要求有70%的天数可以满足顾客的需求,估计每天应该制作多少个三明治. 22201 [跟踪训练] (1)某校举办了校园安全知识竞赛,把1 000名学生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成四组,并整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　) [A] a的值为0.015 [B] 估计这组数据的众数为80 [C] 估计这组数据的第60百分位数为87 [D] 估计成绩低于80分的有350人 C 22201 【解析】 (1)易知10a+0.020×10+0.050×10+0.025×10=1,解得a=0.005,所以A错误;由频率分布直方图可知众数落在区间[80,90)内,用区间中点值表示众数即85,所以B错误;由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005×10+ 0.020×10=0.25,前三组频率之和为0.005×10+0.020×10+0.050×10=0.75,故第60百分位数落在区间[80,90)内,设第60百分位数为x,则0.25+(x-80)×0.050= 0.60,解得x=87,所以C正确;成绩低于80分的频率为0.005×10+0.020×10= 0.25,所以估计成绩低于80分的有 1 000×0.25=250(人),所以D错误.故选C. 22201 (2)(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图. 根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　) [A] 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% [B] 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% [C] 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 [D] 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C 22201 【解析】 (2)对于A,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1×100%=6%,故A正确; 对于B,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1×100%=10%,故B正确; 对于C,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+ 11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),故C不正确; 对于D,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)×1×100%=64%>50%,故D正确.故选C. 22201 题型三　总体集中趋势与离散程度估计 1.反映数据集中趋势的量有平均数、中位数、众数. 2.反映离散程度的量有极差、方差、标准差. 22201 [典例3] (多选题)在气象学上,进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于10 ℃.某人记录了甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均气温(日平均气温都是整数),根据以下数字特征,一定符合进入冬季标准的是(　 　) [A] 甲:中位数为7,众数为8 [B] 乙:平均数为6,极差为4 [C] 丙:中位数为7,极差为3 [D] 丁:平均数为7,方差为2 ABD 22201 【解析】 对于A,甲:中位数为7,众数为8,则8出现次数最多,又只有5个数据,7为中位数,所以8出现次数为2次,另外两个数据只能是小于7的两个不同的数,故甲地一定符合进入冬季标准,故A正确;对于B,乙:平均数为6,极差为4,因为极差是最大值与最小值的差,假设存在某日的气温大于等于10 ℃,又平均数为6,故一定存在某日的气温低于6 ℃,此时极差不为4,故假设不成立,即每日气温都低于10 ℃,所以乙一定符合进入冬季标准,故B正确;对于C,丙:中位数为7,极差为3,可以找到一组气温数据7,7,7,8,10,故丙不一定符合进入冬季标准,故C错误; 22201 对于D,丁:平均数为7,方差为2,故不可能每天都为7 ℃,日平均气温都是整数,所以最多三天7 ℃,若存在某日的气温高于10 ℃,方差大于2,不符合方差为2的条件,若存在某日的气温等于10 ℃,若三天7 ℃,则五天的气温4,7,7,7,10,计算方差,可知不符合方差为2的条件,若两天7 ℃,则五天的气温的方差一定大于2,若一天7 ℃,则五天的气温的方差一定大于2,综上可知,所以丁一定符合进入冬季标准,故D正确.故选ABD. 22201 [跟踪训练] (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表: 亩产量 频数 [900,950) 6 [950,1 000) 12 [1 000,1 050) 18 [1 050,1 100) 30 [1 100,1 150) 24 [1 150,1 200) 10 22201 根据表中数据,下列结论中正确的是(　　) [A] 100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg [B] 100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% [C] 100块稻田亩产量的极差在200 kg至300 kg之间 [D] 100块稻田亩产量的平均值在900 kg至1 000 kg之间 C 22201 22201 在应对统计综合应用题时,要仔细研读题目,明确已知条件和所求问题,合理选择统计方法和公式进行计算分析,同时要确保数据处理的准确性和合理性,注意单位换算等细节问题. 题型四　统计的综合应用 22201 A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54 22201 22201 22201 22201 [跟踪训练] 某公司为了解用户对其产品的满意程度,从A地区随机抽取了400名用户,从B地区随机抽取了100名用户,请用户根据满意程度对该公司产品评分,该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制成评分频率分布直方图如图. 22201 (1)估计A地区满意程度评分的第70百分位数; 【解】 (1)因为前2组的频率之和为20×(0.005+0.015)=0.4<0.7, 前3组的频率之和为20×(0.005+0.015+0.020)=0.8>0.7, 所以第70百分位数在第3组,设第70百分位数为m, 则20×(0.005+0.015)+0.020×(m-60)=0.7,解得m=75, 所以估计A地区满意程度评分的第70百分位数为75. 22201 22201 22201 (2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.在比例分配的分层随机抽样中,==. (3)在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数. 【解析】 由题意可知小学生应抽取的人数是×120=72, 【解】 (2)由题意,可知求三明治日销售量的70%分位数,设为m. [60,90)对应的频率0.525<0.7,[60,100)对应的频率0.875>0.7,故m∈[90,100). 由0.7-0.525=0.175,得m=90+=95, 故估计每天应该制作95个三明治. 【解析】 对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1 050 kg,故A错误;对于B,亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34,所以亩产量低于1 100 kg的稻田占比为=66%,故B错误;对于C,因为1 200-900=300, 1 150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差在200 kg至300 kg之间,故C正确;对于D,由频数分布表可得,平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24× 1 125+10×1 175)=1 067,故D错误. 故选C. [典例4] 滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一,如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源,成为摆在我们面前的世界级难题.对盐碱地的改良方法,研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大,且能降低滨海盐碱地30～60 cm土壤层可溶性盐含量的技术,为了对比这两种技术改良盐碱地的效果,科研人员在同一区域采集了12个土壤样本,平均分成A,B两组,测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 =0.82,方差=0.029 3,B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 =0.83,方差=0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验,用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验,分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下: 改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和,样本方差分别记为和. (1)求,,,; 【解】 (1)=×(0.66+0.68+0.69+0.71+0.72+0.74)=0.70, =×[(0.66-0.70)2+(0.68-0.70)2+(0.69-0.70)2+(0.71-0.70)2+(0.72-0.70)2+(0.74-0.70)2]=0.000 7, =×(0.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.54)=0.495, =×[(0.46-0.495)2+(0.48-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.51-0.495)2+(0.54-0.495)2]= 0.000 625. (2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后,土壤可溶性盐含量是否有显著降低?(若->2,i=1,2,则认为应用技术有显著降低土壤可溶性盐含量,否则不认为有显著降低) 【解】(2)当i=1时,(-)2=0.014 4, (2)2=0.02. 因为0.014 4<0.02, 所以-<2, 所以应用技术1后,土壤可溶性盐含量没有显著降低. 当i=2时,(-)2≈0.112 2, (2)2≈0.113 6. 因为0.112 2<0.113 6, 所以-<2, 所以应用技术2后,土壤可溶性盐含量也没有显著降低. 故应用技术1和技术2后,土壤可溶性盐含量没有显著降低. (2)根据频率分布直方图,假设同一组中数据用该组区间中点值作代表,估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均数为μ1,B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均数为μ2,以及A,B两地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均数为μ0,试比较μ0和的大小. 【解】 (2)由频率分布直方图可得 μ1=30×0.005×20+50×0.015×20+70×0.020×20+90×0.010×20=64, μ2=30×0.015×20+50×0.010×20+70×0.020×20+90×0.005×20=56, 所以==60, 因为A地区和B地区所抽取的用户人数之比为 4∶1, 所以A地区抽取用户人数占总人数的,B地区抽取用户人数占总人数的, 所以A,B两地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均数 μ0=μ1+μ2=×64+×56=62.4,所以μ0>. $