第九章 统计 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学统计单元复习课件系统梳理了抽样方法、数据特征分析、统计推断等核心知识，通过“体系构建”中的知识框架图，将实际应用与样本数据（如平均数、方差、百分位数）等内容串联，建立从抽样到数据处理再到推断的完整逻辑脉络。 其亮点在于采用“分层探究+考教衔接”模式，如探究点通过典例（如分层抽样应用）与对点练结合，培养数学思维，考教衔接中高考真题溯源强化数学语言应用，单元检测卷助力个性化复习，帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。

章末综合提升 　 第九章　统计 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 探究点一　抽样方法的应用 (1)某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层随机抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是 A.高三每一个学生被抽到的概率最大 B.高三每一个学生被抽到的概率最小 C.高一每一个学生被抽到的概率最大 D.每位学生被抽到的概率相等 √ 典例 1 由题意知，抽样比例为＝，所以15人中，高一要抽7人，高二要抽4人，高三要抽4人，故高一每位学生被抽到的概率为＝，高二每位学生被抽到的概率为＝，高三每位学生被抽到的概率为＝，在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，故每位学生被抽到的概率相等.故选D. (2)(多选)航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学校为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从学校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是 A.该校高一学生人数是2 000 B.样本中高二学生人数是28 C.样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D.该校学生总人数是8 000 √ √ 由题图可知高三年级学生人数占总人数的40％，抽取的样本中高三年级学生有32人，则抽取的学生总人数为＝80，则样本中高一学生人数为80×25％＝20，样本中高二学生人数为80×35％＝28，从而样本中高三学生人数比高一学生人数多32－20＝12.因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道，所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，故A、D错误，B、C正确，故选BC. 规律方法 两种抽样方法比较 对点练1.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A.12，24，15，9 B.9，12，12，7 C.8，15，12，5 D.8，16，10，6 √ 因为抽样比为＝，所以各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6.故选D. 探究点二　用样本的取值规律估计总体的取值规律 某社区80名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，将数据按[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分为4组，其频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中a的值； 解：依题意得，10×(0.01＋0.02＋0.03 ＋a)＝1，解得a＝0.04. 典例 2 (2)试估计这80名居民竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 解：这80名居民竞赛成绩的平均分＝65×0.1＋75×0.2＋85×0.4＋95×0.3＝84. (3)该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的20％居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民的分数不超过多少. 解：由频率分布直方图可得，第一组的频率为 0.01×10＝0.1， 前两组的频率之和为(0.01＋0.02)×10＝0.3. 设需要参加讲座的居民的分数不超过x， 则x∈[70，80). 0.02×(x－70)＋0.1＝0.2，解得x＝75. 故需要参加讲座的居民的分数不超过75. 规律方法 与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 1.已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可利用频率和等于1求解. 2.已知频率分布直方图，求某范围内的数据，可利用图形及某范围相关数据结合求解. 对点练2.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例、产值负增长的企业比例； 解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40％的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02. 用样本频率分布估计总体分布，得这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例为21％，产值负增长的企业比例为2％. y的分组 [－0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80] 企业数 2 24 53 14 7 (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附：≈8.602. 解：＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， s2＝ni＝×[×2＋×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，其中yi对应的企业数为ni； s＝＝0.02×≈0.17. 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30％，0.17. 探究点三　样本的百分位数 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. 典例 3 (1)求频率分布直方图中a的值； 解：由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1， 得×10＝1， 所以a＝0.030. (2)求样本成绩的第75百分位数. 解：成绩落在内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65， 落在内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9， 则样本成绩的第75百分位数为m∈[80，90)，由0.65＋×0.025＝0.75，得m＝84， 所以样本成绩的第75百分位数为84. 规律方法 1.四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 2.由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解. 对点练3.(1)某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下： 如果要求约70％的居民用电在第一阶梯内，约20％的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量/(kW·h)范围为 A. B. C. D. √ 百分位数 50％分位数 70％分位数 80％分位数 90％分位数 用电量/(kW·h) 160 176 215 230 因为约70％的居民用电在第一阶梯内，约20％的居民用电在第二阶梯内，所以由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量/(kW·h)范围为.故选C. 百分位数 50％分位数 70％分位数 80％分位数 90％分位数 用电量/(kW·h) 160 176 215 230 (2)一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500 g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量(单位：g)如下： 486　495　496　498　499　493　493 498　484　497　504　489　495　503 499　503　509　498　487　500　508 估计这批袋装白糖的第75百分位数是_____. 500 将样本数据按从小到大排列为 484　486　487　489　493　493　495 495　496　497　498　498　498　499 499　500　503　503　504　508　509 21×75％＝15.75，所以这组数据的第75百分位数为第16个数据，为500，所以估计这批袋装白糖的第75百分位数是500. 探究点四　用样本的集中趋势、离散程度估计总体 已知甲工厂生产一种内径为36.5 mm的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2 000件零件中抽取100件，测得其内径尺寸如下(单位：mm)：36.2×16，36.6×12，36.3×12，36.4×12，36.5×20，36.7×12，36.8×16.注：x×n表示有n件内径尺寸为x mm的零件. (1)求这100件零件内径尺寸的平均数； 解：＝×[(36.2＋36.8)×16＋(36.6＋36.4)×12＋(36.3＋36.7)×12＋36.5×20]＝36.5. 典例 4 (2)设这100件零件内径尺寸的方差为s2，试估计该厂2 000件零件中其内径尺寸(单位：mm)在(－s，＋0.5s)内的件数； 解：因为｜36.2－36.5｜＝｜36.8－36.5｜＝0.3， ｜36.6－36.5｜＝｜36.4－36.5｜＝0.1， ｜36.3－36.5｜＝｜36.7－36.5｜＝0.2， ｜36.5－36.5｜＝0， 故s2＝×(0.32×16×2＋0.12×12×2＋0.22×12×2)＝0.040 8. 所以s＝∈， 故∈， 故1件零件内径尺寸在(－s，＋0.5s)内的频率为＝0.56， 故估计该厂2 000件零件中内径尺寸在(－s，＋0.5s)内的件数为2 000× 0.56＝1 120. (3)若乙工厂也生产同种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2 000件零件中抽出100件，测得其内径(单位：mm)的方差为0.040 5，试比较甲、乙两工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性. 解：因为甲工厂抽检的100个零件内径尺寸的方差0.040 8＞0.040 5， 所以乙工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性更好. 规律方法 　　为了从整体上更好地把握总体规律，我们可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度. 对点练4.某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行.现从某样 本校中随机抽取20名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3∶2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25. (1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩； 解：由题知，甲、乙两组学生的人数分别为12，8，则这20名学生测试成绩的平均数为＝＝77，故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为77. (2)求这20名学生测试成绩的标准差s.(结果保留整数) 解：由s2＝变形得 s2＝，设甲组学生的测试成绩分别为x1，x2，x3，…，x12，乙组学生的测试成绩分别为x13，x14，x15，…，x20. 由甲组学生的测试成绩的方差 ＝＝16，得＋＋…＋＝12×. 由乙组学生的测试成绩的方差 ＝＝25，得＋＋…＋＝8×. 故这20名学生的测试成绩的方差为 s2＝×[(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)－20×] ＝×[12×＋8×－20×772]＝25.6， 所以s＝≈5. 返回 考教衔接 返回 (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差. √ 真题 1 √ 对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝－＝，因为没有确定2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，例如：1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5；例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2；例如1，2，2，2，2，2，可得m＝2，n＝；故A错误；对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确； 对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如：2，4，6，8，10，12，则平均数n＝(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7，标准差s1＝ ＝； 4，6，8，10，则平均数m＝(4＋6＋8＋10)＝7，标准差s2＝＝，显然＞，即s1＞s2，故C错误；对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确.故选BD. 溯源：(人教A版必修第二册P224复习参考题9T3)如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面哪种叙述一定是错误的？为什么？ (1)数据中可能有异常值； (2)这组数据是近似对称的； (3)数据中可能有极端大的值； (4)数据中众数可能和中位数相同. 点评：教材习题考查了平均数、中位数在统计中的应用，各个数据对总体的影响.高考真题是在教材基础上的改编，体现高考真题源于教材、高于教材的特点，也体现了平时教学和学习回归教材的重要性. (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则 A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 √ 真题 2 √ 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准数、极差分别为＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以A、B不正确，C、D正确. 溯源：1.(人教A版必修第二册P189T6)数据x1，x2，…，xn的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为，a，b为常数.如果满足y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b.证明：＝a ＋b. 2.(人教A版必修第二册P216T4)数据x1，x2，…，xn的方差和标准差分别为，sx，数据y1，y2，…，yn的方差和标准差分别为，sy.若y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b成立，a，b为常数，证明：＝a2，sy＝｜a｜sx. 点评：教材习题考查的是有线性关系y＝ax＋b(a，b为常数)的两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn的均值、方差及标准差的关系，而高考题只是把习题增加了中位数和极差，体现了高考题源于教材、高于教材的特点. (2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特 征是 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 √ 真题 3 根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变. 溯源：(人教A版必修第二册P209练习T3)某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下： 甲　7.5　7.5　7.8　7.8　8.0　8.0　8.2　8.3　8.4　9.9 乙　7.5　7.8　7.8　7.8　8.0　8.0　8.3　8.3　8.5　8.5 选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数.那么，这两个选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？ 点评：教材习题第3题有很强的现实意义，在实际生活中经常使用，因此要把握每一个数字特征的含义，如中位数不受极端值影响，而平均数会受极端值影响，这就是为什么比赛中经常去掉最高分和最低分的原因.2019年全国Ⅱ卷第5题只是把习题稍作变形，体现了高考题源于教材、高于教材的特点，因此在学习过程中要深挖教材，一题多变，一题多解，多题 一解. 返回 单元检测卷 返回 1.为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为n的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则n＝ A.100 B.120 C.200 D.240 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2，所以抽取样本量为n的样本中，O型血的人数为n，AB型血的人数为n，所以n－n＝20，解得n＝120.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.某同学测得连续7天的最低气温分别为1，2，2，m，6，2，8(单位：℃)，若这组数据的平均数是中位数的2倍，则m＝ A.2 B.3 C.6 D.7 √ 由题意可知：这组数据的平均数为＝，除m外，将数据按升序排列可得1，2，2，2，6，8，结合m的任意性可知中位数为2，则＝2×2，解得m＝7.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8，方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为 A.1.75 B.1.85 C.1.95 D.2.05 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得，甲得到的十位市民的幸福感指数的平均数为7，方差为1.2，20位市民的幸福感指数的平均数为＝7.5，故所求方差为×[1.2＋(7－7.5)2]＋×[2.2＋(8－7.5)2]＝1.95.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如表所示： 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是 A.8，8.5 B.8，8 C.9，8 D.8，9 √ 党史学习时间(小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有6＋10＋9＋8＋7＝40人，学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8，由40×40％＝16，所以第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，即＝8.5，所以学习党史时间的第40百分位数是8.5.故选A. 党史学习时间(小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.为了了解某校高三学生的视力情况，某小组随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，然而不慎将部分数据丢失，现知道后5组的频数之和为62，最大频率为0.32，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，则a的值为 A.64 B.54 C.48 D.27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 前2组的频数之和为100×(0.5×0.1＋1.1×0.1)＝16.因为后5组的频数之和为62，所以前3组的频数之和为100－62＝38，所以第3组的频数为38－16＝22，又最大频率为0.32，所以第4组的频数为0.32×100＝32，所以a＝22＋32＝54.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2＝＋＋＋－16)，则数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 设一组正数x1，x2，x3，x4的平均数为，由方差的计算公式可得s2＝＋＋＋)－＝＋＋＋－16)，解得＝2(负值舍去)，所以数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数为＋3＝2＋3＝5.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如 下的统计图： 用该样本估计总体，以下四个说法错 误的是 A.44～56周岁人群理财人数最多 B.18～30周岁人群理财总费用最少 C.B理财产品更受理财人青睐 D.年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，44～56周岁人群理财人数 所占比例是37％，是最多的，故A 正确；对于B，设总人数为a，则 18～30周岁人群的人均理财费用约 为0.28a×3 500＝980a，31～43周 岁人群的人均理财费用约为0.3a× 4 500＝1 350a，44～56周岁人群 的人均理财费用约为0.37a×5 500 ＝2 035a，57周岁及以上人群的 人均理财费用约为0.05a×6 200＝310a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以57周岁及以上人群的人均理 财费用最少，故B错误；对于C， 由条形图可知：B理财产品更受理 财人青睐，故C正确；对于D，由 折线图知：年龄越大的年龄段的人 均理财费用越高，故D正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示，则根据本次比赛结果，以下说法正确的是 A.通过判断甲、乙射击成绩的平均数知甲比 乙的射击水平高 B.甲的射击水平更稳定 C.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中 位数 D.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 √ 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 甲射击成绩的平均数＝×＝8.2，乙射击成绩的平均数＝×(6＋2×7＋2×8＋2× 9＋3×10)＝8.4，因为＜，所以乙的射击 水平更高，故A错误； 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 甲射击成绩的方差＝×[＋ ＋3×＋4×(9－8.2)2＋ ]＝1.76，乙射击成绩的方差＝ ×[＋2×＋2× ＋2×(9－8.4)2＋3×]＝1.84.因为＜，所以甲的射击水平更稳定，故B正确； 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 甲的射击成绩由小到大排列为5，7，8，8， 8，9，9，9，9，10，位于第5，6位的数分 别是8，9，所以甲射击成绩的中位数是 ＝8.5，乙的射击成绩由小到大排列为6，7， 7，8，8，9，9，10，10，10，位于第5，6位的数分别是8，9，所以乙射击成绩的中位数是＝8.5，故C错误；甲射击成绩的众数为9，乙射击成绩的众数为10，故D错误.故选B. 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表： 下列结论中，正确的是 A.甲、乙两班学生成绩的平均水平相同 B.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为 优秀) C.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 √ √ √ 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，故A正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，故B正确；甲班的方差要大于乙班的方差，故甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，故C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，故D错误.故选ABC. 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.电动自行车是民众的主要交通工具之一.在给民众的生活带来方便的同时，由于质量不合格或使用不当等原因，也带来了较多安全隐患，预防和减少电动自行车火灾的发生是消防部门的一项重要工作，也是全社会的责任和义务.某中学在消防部门的配合下在全校进行了一次安全使用电动自行车的知识竞赛.现从高一、高二两个年级参加竞赛的同学中各随机抽取10名同学的竞赛成绩(满分100分)，按从小到大的顺序整理得到下表中的样本数据： 则下列说法正确的是 A.高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数与原样本的平均数相同 B.高二年级样本数据的上四分位数是91 C.高二年级样本数据的平均数恰好等于高二年级样本数据的众数 D.高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差为2 √ √ 高一年级 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 高二年级 82 85 86 87 89 89 90 92 94 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，高一年级样本数据的平均数为×(82＋84＋85＋87＋87＋87＋88＋88＋90＋92)＝87，高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为×(84＋85＋87＋87＋87＋88＋88＋90)＝87，故A正确；对于B，因为10×75％＝7.5，所以高二年级样本数据的上四分位数为92，故B错误； 高一年级 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 高二年级 82 85 86 87 89 89 90 92 94 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C，高二年级样本数据的平均数为×(82＋85＋86＋87＋89＋89＋90＋92＋94＋96)＝89，众数为89，故C正确；对于D，由选项A得高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为87，所以所求方差为[(84－87)2＋(85－87)2＋(87－87)2＋(87－87)2＋(87－87)2＋(88－87)2＋(88－87)2＋(90－87)2]＝3，故D错误.故选AC. 高一年级 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 高二年级 82 85 86 87 89 89 90 92 94 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.某书店为了解其受众人群，对100名顾客的年龄(x)进行调研，并将所统计的数据制成如图所示的频率分布直方图.已知A，B，C，…，G是各个小矩形上短边的中点，若点A，B，C在一条直线上，点C，D，E，F，G在一条直线上，且c＝0.024，g＝0.006 4，则下列说法正确的是 A.f的值为0.010 8 B.数据x的众数大于中位数 C.数据x的中位数小于平均数 D.数据x的第80百分位数大于60 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A，B，C，D，E，F，G是各个小矩形上短边的中 点，因为点C，D，E，F，G在一条直线上，且C， D，E，F，G的横坐标的差相同，所以它们的纵 坐标的差值也相同.因为＝0.004 4， 所以d＝0.024－0.004 4＝0.019 6，e＝0.019 6－ 0.004 4＝0.015 2，f＝0.015 2－0.004 4＝0.010 8， 故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为0.1－0.019 6－0.015 2－0.010 8－0.006 4＝ 0.048，点A，B，C在一条直线上，所以b＝ ＝0.016，a＝0.048－0.024－0.016＝0.008.数据x的 众数的估计值为＝35，设中位数为t，因为 ×10＝0.48，所以0.019 6 ×(t－40)＝0.02，解得t≈41.02，即数据x的中位数约为41.02，所以数据x的众数小于中位数，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为＝15×0.08＋25×0.16＋35×0.24＋45×0.196＋55×0.152＋65×0.108＋75×0.064＝42.6，所以中位数小于平均数，故C正确；因为1－×10＝0.828，所以数据x的第80百分位数小于60，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是_____. 8.6 由于30×60％＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.某小学设计了调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”政策的效果进行评分(单位：分)，评分都在[40，100]内，将所有数据按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则这次调查数据的70％分位数为_____. 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ×10＝0.7＝70％，故这次调查数据的70％分位数为80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知一组数据x1，x2，…，xn的平均值为＝5，s2＝32，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数n＝___. 9 由题意删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5，由题意s2＝(xi－5)2＝32，得(xi－5)2＝32n，删除一个数后的方差为＝32＋4＝36，得＝36，即n＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5％，高二教师占47.5％，高三教师占10％.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50％，高二教师占40％，高三教师占10％.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组分别所占的 比例； 解：设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c则有＝47.5％，＝10％，解得b＝50％，c＝10％. 故a＝100％－50％－10％＝40％. 所以参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组所占的比例分别为40％，50％，10％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数. 解：参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200××40％＝60； 抽取的高二教师人数为200××50％＝75； 抽取的高三教师人数为200××10％＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 试回答以下问题： (1)求抽取的10名退休职工问卷得分的60％分位数； 解：因为10×60％＝6，所以抽取的10名退休职工问卷得分的60％分位数为第6个与第7个数据的平均数，即＝86，故抽取的10名退休职工问卷得分的60％分位数为86分. 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和标准差s. 解：抽取的10名退休职工问卷得分的平均数为＝×(77＋79＋81＋3×84＋2×88＋92＋93)＝85分.抽取的10名退休职工问卷得分的标准差s＝ ＝5. 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)某果园为了更好地销售沃柑，需对其质量进行分析，以便做出合理的促销方案.现从果园内随机采摘200个沃柑进行称重，其质量(单位：克)分别在[95，105)，[105，115)，[115，125)，[125，135)，[135，145)，[145，155]中，其频率分布直方图如图所示. (1)求m的值； 解：根据题意得(0.005＋2m＋0.015＋0.020 ＋0.040)×10＝1，解得m＝0.01. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)该果园准备将质量较大的20％的沃柑选为特级果，单独包装售卖，求被选为特级果的沃柑的质量至少为多少克. 解：设选为特级果的沃柑的质量至少为x克. 最后一组的面积为0.01×10＝0.1，最后两组 的面积之和为0.02×10＋0.01×10＝0.3. 因为0.1＜20％＜0.3，所以x位于倒数第2组， 则0.02×(145－x)＋0.01×10＝20％，解得x＝140， 所以被选为特级果的沃柑的质量至少为140克. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)某营养学研究人员用随机 抽样的方法获得了某高校100名女大 学生平均每日摄取的热量(单位：千 大卡，1千大卡＝1 000千卡)，这组 数据的频率分布直方图如图所示. (1)健康的成年女性每天需要摄取 1.80～1.90千大卡(不含1.90千大卡)的热量，试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内； 解：因为小长方形面积和为1，所以0.1×(0.6＋1.1＋1.1＋1.8＋a＋1.5＋0.8＋0.6＋0.4)＝1，解得a＝2.1，故比例为2.1×0.1×100％＝21％，综上有21％的女大学生摄取的热量在此范围之内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知摄取热量范围在[1.90，2.00)的数据为：1.90，1.90，1.91，1.91，1.91，1.93，1.94，1.94，1.95，1.95，1.96，1.96，1.97，1.98，1.99.若1.91是这100个样本数据的第k百分位数，求正整数k的值. 解：在区间[1.40，1.90)内有100×0.1×(0.6＋1.1＋1.1＋1.8＋2.1)＝67个数， 所以1.91是这100个样本数据的第70，71，72个数，则第70，71个数的平均数，或第71，72个数的平均数为1.91，同时，第69，70个数的平均数，或第72，73个数的平均数皆不是1.91. 因为k∈N＋，所以100×k％＝k为整数， 所以当1.91是这100个样本数据的第k百分位数时，必有k＝70或k＝71，故k的值为70或71. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2025年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约有1 000万人，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图①所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图②所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)估计该城市50岁以上且已签约家庭医生的居民人数； 解：估计该城市50～60岁签约的居民有1 000×0.015×10×55.7％＝83.55(万人)；60～70岁签约的居民有1 000×0.010×10×61.7％＝61.7(万人)；70～80岁签约的居民有1 000×0.004×10×70.0％＝28(万人)；80岁以上签约的居民有1 000×0.003×10×75.8％＝22.74(万人). 故估计该城市50岁以上且已签约家庭医生的居民有83.55＋61.7＋28＋22.74＝195.99(万人). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)据统计，该城市被访者的签约率约为 44％.为把该城市年满18周岁居民的签约 率提高到55％以上，应着重提高图②中 哪个年龄段的签约率？并根据已有数据 陈述理由. 解：由题意可估计该城市年龄在10～20 岁的居民有1 000×0.005×10＝50(万人)； 年龄在20～30岁的居民有1 000×0.018×10＝180(万人). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以估计该城市居民年龄在18～30岁的 人数大于180万，小于230万，签约率为 30.3％；估计该城市居民年龄在30～50 岁的有1 000×0.037×10＝370(万人)，签 约率为37.1％；估计该城市居民年龄在50 岁以上的有1 000×0.032×10＝320(万人)， 签约率超过55％，上升空间不大. 故由以上数据可知这个城市居民年龄在30～50岁这个年龄段的人数约为370万，与其他年龄段相比人数是最多的，且签约率与55％相比较低，所以为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55％以上，应着重提高30～50岁这个年龄段的签约率. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 $