衔接点01 运算与技巧（讲义，人教版全国通用）数学小升初衔接

衔接点01 运算与技巧 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 考点阐释 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 1） 等差数列 等差数列就是相邻两个数之间的差（我们叫它“公差”）是固定不变的。比如：1, 3, 5, 7, 9（每次加2）。 核心公式： 求项数（一共有几个数）： 项数 = (末项 - 首项) ÷ 公差 + 1 求和公式（总和）： 总和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2 应用与计算示例 题目： 计算 3 + 7 + 11 + 15 + ... + 39 的总和。 第一步：找已知条件。 首项是 3，末项是 39，公差是 4（7-3=4）。 第二步：算项数。 项数 = (39 - 3) ÷ 4 + 1 = 36 ÷ 4 + 1 = 10（一共有10个数）。 第三步：算总和。 总和 = (3 + 39) × 10 ÷ 2 = 42 × 10 ÷ 2 = 210。 2）等比数列 等比数列就是相邻两个数之间的倍数（我们叫它“公比”）是固定不变的。比如：1, 2, 4, 8, 16（每次乘2）。 核心公式 求和公式： 总和 = (最大数 × 公比 - 最小数) ÷ (公比 - 1) 应用与计算示例 题目： 计算 3 + 9 + 27 + 81 的总和。 第一步：找已知条件。 最小数是 3，最大数是 81，公比是 3（9÷3=3）。 第二步：套公式。 总和 = (81 × 3 - 3) ÷ (3 - 1) 总和 = (243 - 3) ÷ 2 总和 = 240 ÷ 2 = 120。 方法总结 等差数列是“加减法”的规律，求和靠“头尾相加乘个数除以2”。 等比数列是“乘除法”的规律，求和靠“最大数乘倍数减最小数，再除以倍数减1”。 题型1 活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2025·重庆涪陵·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。  （1）10.5－6.25－3.75＋7.5； （2）  ； （3）； （4） ； （5）； （6）（9＋7）÷（＋） 【详解】（1）10.5－6.25－3.75＋7.5 ＝10.5＋7.5－6.25－3.75 ＝（10.5＋7.5）－（6.25＋3.75） ＝18－10 ＝8 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） （4） ＝ ＝ ＝ （5）原式= = =1 （6）原式=（＋）÷（＋） =[65×（＋）]÷[5×（＋）] =65÷5 =13 例2．（2025·江苏·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 （1）7.6×2.5×4          （2）87×         （3）26.4－3.28－6.4－4.72 （4）1.25×8×4×2.5        （5） 73×101            （6） 【详解】（1）7.6×2.5×4 ＝7.6×（2.5×4） ＝7.6×10 ＝76 （2）87× ＝（86＋1）× ＝86× ＝85＋ ＝85 （3）26.4－3.28－6.4－4.72 ＝26.4－6.4－3.28－4.72 ＝（26.4－6.4）－（3.28＋4.72） ＝20－8 ＝12 （4）1.25×8×4×2.5 ＝（1.25×8）×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 （5）73×101 ＝73×（100＋1） ＝73×100＋73×1 ＝7300＋73 ＝7373 （6） ＝（）×32 ＝ ＝8＋20 ＝28 变式1．（2025·浙江杭州·小升初真题）选择合理的方法计算。 （1）        （2）          （3） （4）31.4÷12.5÷8     （5）8×3÷[1÷（3－2.95）] （6）2018÷2018＋ 【详解】（1）2－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝1 （3） ＝ ＝3 ＝3 ＝2 （4）31.4÷12.5÷8 ＝31.4÷（12.5×8） ＝31.4÷100 ＝0.314 （5）8×3÷[1÷（3－2.95）] ＝8××（3.2－2.95） ＝8××0.25 ＝8×0.25× ＝2× ＝ （6）2018÷2018 ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018×＋ ＝＋ ＝1 变式2．（2025·重庆永川·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）     （2） （3）     （4） （5）      （6） 【详解】（1） ＝325－35 ＝290 （2） （3） （4） （5） （6） 变式3． 题型2 巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例3．计算： （1）2 （2） 【详解】（1） = 每两个数为一组，一共有338组，每组的结果是3；原式． （2）原式＝＝0， 变式1 （1） 的总和。 （2）小明第一天跑 500 米，以后每天比前一天多跑 100 米，连续跑 10 天，共跑多少米？ （3）电影院第一排 20 个座位，每排比前一排多 2 个座位，共 15 排，总座位 510 个。求最后一排座位数。 变式3 （1）计算 （2） 棋盘前 8 个格子，第 1 格放 1 粒麦子，之后每格是前一格的 2 倍，共需多少粒麦子？ （3）一根绳子连续剪 5 次，每次剪下剩余的一半，5 次剪下的总长为 31 米。求原长。 题型4 巧分组法 例4（2026·浙江温州·小升初真题）用合适的方法计算下面各题。                                  变式1．（2025·北京丰台·小升初真题）计算下面各题。 108－972÷54              2.5×（9.8－1.6）÷5                                           变式2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1）        （2） （3）    （4） （5） （6） 题型5 分数与小数的计算 例5（2025·江苏淮安·小升初真题）计算下面各题（能简便计算的要简便计算）。 12.5×3.9×8                    0.9＋9.9＋99.9＋999.9                                          变式1．（2025·河南郑州·小升初真题）计算。 （1）         （2） （3）     （4） 变式2．（2025·四川绵阳·小升初真题）体操比赛的规则规定：去掉一个最高分和一个最低分后，剩下裁判的平均分作为运动员的最后得分。某位运动员的分数情况是：十名裁判员打分后，平均分为8.5分；去掉一个最高分，平均分为8.4分；去掉一个最低分，平均分为8.76分。那么这位运动员的最后得分为多少？ 题型6 整数的运算 例6（2025·重庆渝北·小升初真题）一片草地，可供5头牛吃30天，或者可供4头牛吃40天。如果4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃______天。 变式1．（2026·四川成都·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1620 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式2．（2026·四川泸州·小升初真题）小明的妈妈春节前去市场买了3千克葡萄和2千克苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每千克提价5角钱，苹果每千克降价3角钱，买7千克葡萄和5千克苹果共花了21元，则春节后购物时，（葡萄，苹果）每千克的价格分别是（    ）。 A．2.5元，0.7元 B．2元，1元 C．2元，1.3元 D．2.5元，1元 变式3．（2025·上海闵行·小升初真题）已知○、□、△各代表一个数，根据○＋△＝12，△＋□＝8，△－□＝6，可知下列选项正确的是（    ）。 A．○＝9 B．□＝2 C．□＝4 D．△＝7 变式4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）王叔叔自驾去云南旅游，途中到加油站加95号汽油，加油前，油表显示和当日油价如下图所示，汽车油箱容积为64升，王叔叔的加油卡里还有400元，能将油箱加满吗？ 汽油油号 92 95 98 油价（元／升） 6.98 7.38 8.91 1．（2025·广东广州·小升初真题）用递等式计算。                                    【答案】13；2 5； 【详解】（1） ＝（2.38＋0.62）＋（＋） ＝3＋10 ＝13 （2） ＝3－－ ＝3－（＋） ＝3－1 ＝2 （3） ＝36×－36× ＝32－27 ＝5 （4） ＝ ＝×（＋） ＝×1 ＝ 2．（2025·山西大同·小升初真题）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程。 ÷＋× 2.5÷1.25÷8×4 68÷－68 【答案】；1；6800 【详解】 3（2025·重庆渝北·小升初真题）计算。                                                            4．（2025·河南郑州·小升初真题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，21，… 计算：这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 图形 … 算式 … 序号 ① ② ③ ④ … (1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           ( )×( )。 ( )×( )。 (2)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点01 运算与技巧 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 考点阐释 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 1） 等差数列 等差数列就是相邻两个数之间的差（我们叫它“公差”）是固定不变的。比如：1, 3, 5, 7, 9（每次加2）。 核心公式： 求项数（一共有几个数）： 项数 = (末项 - 首项) ÷ 公差 + 1 求和公式（总和）： 总和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2 应用与计算示例 题目： 计算 3 + 7 + 11 + 15 + ... + 39 的总和。 第一步：找已知条件。 首项是 3，末项是 39，公差是 4（7-3=4）。 第二步：算项数。 项数 = (39 - 3) ÷ 4 + 1 = 36 ÷ 4 + 1 = 10（一共有10个数）。 第三步：算总和。 总和 = (3 + 39) × 10 ÷ 2 = 42 × 10 ÷ 2 = 210。 2）等比数列 等比数列就是相邻两个数之间的倍数（我们叫它“公比”）是固定不变的。比如：1, 2, 4, 8, 16（每次乘2）。 核心公式 求和公式： 总和 = (最大数 × 公比 - 最小数) ÷ (公比 - 1) 应用与计算示例 题目： 计算 3 + 9 + 27 + 81 的总和。 第一步：找已知条件。 最小数是 3，最大数是 81，公比是 3（9÷3=3）。 第二步：套公式。 总和 = (81 × 3 - 3) ÷ (3 - 1) 总和 = (243 - 3) ÷ 2 总和 = 240 ÷ 2 = 120。 方法总结 等差数列是“加减法”的规律，求和靠“头尾相加乘个数除以2”。 等比数列是“乘除法”的规律，求和靠“最大数乘倍数减最小数，再除以倍数减1”。 题型1 活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2025·重庆涪陵·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。  （1）10.5－6.25－3.75＋7.5； （2）  ； （3）； （4） ； （5）； （6）（9＋7）÷（＋） 【详解】（1）10.5－6.25－3.75＋7.5 ＝10.5＋7.5－6.25－3.75 ＝（10.5＋7.5）－（6.25＋3.75） ＝18－10 ＝8 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） （4） ＝ ＝ ＝ （5）原式= = =1 （6）原式=（＋）÷（＋） =[65×（＋）]÷[5×（＋）] =65÷5 =13 例2．（2025·江苏·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 （1）7.6×2.5×4          （2）87×         （3）26.4－3.28－6.4－4.72 （4）1.25×8×4×2.5        （5） 73×101            （6） 【详解】（1）7.6×2.5×4 ＝7.6×（2.5×4） ＝7.6×10 ＝76 （2）87× ＝（86＋1）× ＝86× ＝85＋ ＝85 （3）26.4－3.28－6.4－4.72 ＝26.4－6.4－3.28－4.72 ＝（26.4－6.4）－（3.28＋4.72） ＝20－8 ＝12 （4）1.25×8×4×2.5 ＝（1.25×8）×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 （5）73×101 ＝73×（100＋1） ＝73×100＋73×1 ＝7300＋73 ＝7373 （6） ＝（）×32 ＝ ＝8＋20 ＝28 变式1．（2025·浙江杭州·小升初真题）选择合理的方法计算。 （1）        （2）          （3） （4）31.4÷12.5÷8     （5）8×3÷[1÷（3－2.95）] （6）2018÷2018＋ 【详解】（1）2－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝1 （3） ＝ ＝3 ＝3 ＝2 （4）31.4÷12.5÷8 ＝31.4÷（12.5×8） ＝31.4÷100 ＝0.314 （5）8×3÷[1÷（3－2.95）] ＝8××（3.2－2.95） ＝8××0.25 ＝8×0.25× ＝2× ＝ （6）2018÷2018 ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018×＋ ＝＋ ＝1 变式2．（2025·重庆永川·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）     （2） （3）     （4） （5）      （6） 【详解】（1） ＝325－35 ＝290 （2） （3） （4） （5） （6） 变式3． 题型2 巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例3．计算： （1）2 （2） 【详解】（1） = 每两个数为一组，一共有338组，每组的结果是3；原式． （2）原式＝＝0， 变式1 （1） 的总和。 解：首项 ，末项 ，公差 （）。 先求项数： $ 再用求和公式： . 答案： 533 （2）小明第一天跑 500 米，以后每天比前一天多跑 100 米，连续跑 10 天，共跑多少米？ 解： 首项 ，公差 ，项数 。 先求末项（第 10 天跑的距离）： $ 用求和公式： 答案： 9500 米 （3）电影院第一排 20 个座位，每排比前一排多 2 个座位，共 15 排，总座位 510 个。求最后一排座位数。 解： 首项 ，公差 ，项数 ，总和 。 设末项为 ，代入求和公式： $ 答案： 48 个座位 变式3 （1）计算 解： 最小数（首项） ，最大数（末项） ，公比 （）。 直接套用公式： $$ 答案： 242 （2） 棋盘前 8 个格子，第 1 格放 1 粒麦子，之后每格是前一格的 2 倍，共需多少粒麦子？ 解： 最小数 ，公比 ，项数 。 先求最大数（第 8 格）： 用求和公式： 答案： 255 粒麦子 （3）一根绳子连续剪 5 次，每次剪下剩余的一半，5 次剪下的总长为 31 米。求原长。 解： 设原长为 米，则剪下的长度依次为： 这是一个公比为 的等比数列，首项 ，末项 。 用求和公式： $$ 已知总和为 31 米： 答案： 32 米 题型4 巧分组法 例4（2026·浙江温州·小升初真题）用合适的方法计算下面各题。                                  【答案】； ； 【分析】（1）利用乘除混合运算性质，调整计算顺序简化过程； （2）根据分数小数四则混合运算顺序，先算括号内乘法，再算加法，最后算除法； （3）先把拆分成，再运用乘法结合律进行凑整计算； （4）根据分数小数四则混合运算顺序，先算小括号内的减法，再算乘法，最后算减法。 【详解】（1） （2） （3） （4） 变式1．（2025·北京丰台·小升初真题）计算下面各题。 108－972÷54              2.5×（9.8－1.6）÷5                                           【答案】90；4.1；； ；； 【分析】108－972÷54先算除法再算减法； 2.5×（9.8－1.6）÷5先算小括号里面的减法，再按从左往右的顺序计算； 通过添加小括号先计算与的和，与的和，再计算减法即可简便运算； 提出逆用乘法分配律计算比较简便； 先算小括号里面的减法，再按从左往右的顺序计算； 先算小括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后算括号外面的加法。 【详解】108－972÷54 ＝108－18 ＝90 2.5×（9.8－1.6）÷5 ＝2.5×8.2÷5 ＝20.5÷5 ＝4.1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1）        （2） （3）    （4） （5） （6） 【答案】（1）； （2）5.25； （3）； （4）4.755； （5）； （6）。 【分析】（1）本题可用乘法分配律简便计算：先用括号内两项分别乘21，消去分母简化计算，最后算加法。 （2）从最内层小括号开始逐层计算；先算除法，再依次算小括号、中括号；百分数75%＝，最后从左到右算加减。 （3）先统一数的形式：带分数、小数全部化成分数，从内到外逐层算括号，再依次计算乘除。 （4）严格遵循运算顺序：先算小括号内除法→小括号减法→中括号加法→乘法→最终减法。 （5）先化简第一项算式，再统一提取公因数，逆用乘法分配律简便计算。 （6）拆分4个模块分步计算：带分数化简、中括号乘法、凑整简便运算、小数分数统一后乘法分配律计算，最后全部合并求和。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ （4） （5）     （6） 题型5 分数与小数的计算 例5（2025·江苏淮安·小升初真题）计算下面各题（能简便计算的要简便计算）。 12.5×3.9×8                    0.9＋9.9＋99.9＋999.9                                          【答案】 390；1110.6；； 7；2；41 【分析】12.5×3.9×8，根据乘法交换律，交换后边两个乘数的位置，再从左往右算； 0.9＋9.9＋99.9＋999.9，给每个加数都加上0.1，转化成1＋10＋100＋1000，这样多加了4个0.1，最后再减去0.4即可； ，将拆成、拆成、拆成、拆成，中间抵消，最后只算即可； ，交换中间减法和加法，将两个小数结合，根据减法的性质，将两个分数加起来再计算； ，将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算，再与相乘； ，根据乘法分配律，36分别与小括号里的数相乘，再相加减。 【详解】12.5×3.9×8 ＝12.5×8×3.9 ＝100×3.9 ＝390 0.9＋9.9＋99.9＋999.9 ＝1＋10＋100＋1000－0.4 ＝1111－0.4 ＝1110.6 变式1．（2025·河南郑州·小升初真题）计算。 （1）         （2） （3）     （4） 【答案】（1）356；（2）6；（3）3；（4） 【分析】（1）根据乘法交换律a×b＝b×a，将算式变成，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成再计算； （2）先计算出小括号内算式，1－25%＝75%，再将0.75和75%变成分数，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成再计算； （3）将代分数变成假分数，再将分数除法转换成分数乘法，接着将60%换成分数，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成再计算； （4）将带分数拆成整数＋分数的形式，，利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c将这个分数加法变成：再计算。 【详解】（1） （2） （3）   （4） 【点睛】这几题主要考查了运算定律的灵活应用：核心是乘法分配律（含逆用），同时涉及乘法交换律以及结合律的配合；数的形式转化：小数、分数、百分数之间的互化，带分数与假分数的转化；四则运算的简便计算技巧：带分数除法的拆分技巧、除法转乘法（除以一个数等于乘它的倒数）。 变式2．（2025·四川绵阳·小升初真题）体操比赛的规则规定：去掉一个最高分和一个最低分后，剩下裁判的平均分作为运动员的最后得分。某位运动员的分数情况是：十名裁判员打分后，平均分为8.5分；去掉一个最高分，平均分为8.4分；去掉一个最低分，平均分为8.76分。那么这位运动员的最后得分为多少？ 【答案】8.68分 【分析】根据总分＝平均分×总人数，分别求出10名裁判员打的总分、去掉一个最高分后的总分和去掉一个最低分后的总分，最低分＝10名裁判员打的总分－去掉一个最低分后的总分，最高分＝10名裁判员打的总分－去掉一个最高分后的总分，再根据去掉一个最高分和一个最低分后的分数＝10名裁判员打的总分－最高分－最低分，再除以8就是最后得分。 【详解】8.5×10－8.4×9 ＝85－75.6 ＝9.4（分） 8.5×10－8.76×9 ＝85－78.84 ＝6.16（分） （8.5×10－9.4－6.16）÷8 ＝（85－9.4－6.16）÷8 ＝（75.6－6.16）÷8 ＝69.44÷8 ＝8.68（分） 答：这位运动员的最后得分为8.68分。 题型6 整数的运算 例6（2025·重庆渝北·小升初真题）一片草地，可供5头牛吃30天，或者可供4头牛吃40天。如果4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃______天。 【答案】6 【分析】假设1头牛1天吃1份草，5头牛30天吃的草包括草地上原来有的草和30天新长的草，4头牛40天吃的草包括草地上原来有的草和40天新长的草，求出两种情况下的总草量，总草量的差对应（40－30）天增长的草量，求出每天增长的份数和原来草的份数，根据原来总草量的份数和每天草增长的份数求出4头牛吃30天后剩下的草量，最后除以（牛的总数量－每日草增量）即可求得再吃的天数。 【详解】假设1头牛1天吃1份草。 5头牛30天吃的总草量：5×30×1＝150（份） 4头牛40天吃的总草量：4×40×1＝160（份） 草每天增长的份数：（160－150）÷（40－30） ＝10÷10 ＝1（份） 原来草的份数：150－1×30 ＝150－30 ＝120（份） 4头牛吃30天后剩下的草量：120＋1×30－4×30 ＝120＋30－120 ＝30（份） 可以再吃的天数：30÷（4＋2－1） ＝30÷5 ＝6（天） 【点睛】牛吃草的同时草也在生长，解答此题的关键是求出草每天生长多少。 变式1．（2026·四川成都·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】1620；；；； 【分析】（1） 通过积不变变形统一公因数，再用逆乘法分配律使计算简便。 （2）先把带分数化成假分数， 把分数除法转化成分数乘法，再用逆乘法分配律，最后约分使计算简便。 （3） 裂项相消，分母拆成乘积。4＝1×4，28＝4×7，70＝7×10，130＝10×13，208＝13×16，    。 （4）运用换元法使计算简便。设A＝，整式展开后同类项全部抵消，只剩常数。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1620 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4）设A＝，则 ＝（1＋A）（A＋）－ ＝A＋＋A2＋－2） ＝A＋＋A2＋－A－－A2 ＝ 变式2．（2026·四川泸州·小升初真题）小明的妈妈春节前去市场买了3千克葡萄和2千克苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每千克提价5角钱，苹果每千克降价3角钱，买7千克葡萄和5千克苹果共花了21元，则春节后购物时，（葡萄，苹果）每千克的价格分别是（    ）。 A．2.5元，0.7元 B．2元，1元 C．2元，1.3元 D．2.5元，1元 【答案】A 【分析】1元＝10角，据此把5角和3角分别换算成0.5元和0.3元，先求出买了3千克葡萄和2千克苹果春节后购物时共花的钱数是8＋0.5×3－0.3×2＝8＋1.5－0.6＝8.9（元），再用8.9×5即可得到春节后买3×5＝15（千克）葡萄和2×5＝10（千克）苹果共花了多少钱；再根据 “春节后买7千克葡萄和5千克苹果共花了21元”用21×2即可得到春节后买7×2＝14（千克）葡萄和5×2＝10（千克）苹果一共花了多少钱；再相减即可得到春节后购买15－14＝1（千克）葡萄需要多少钱，再乘7即可得到买7千克葡萄需要多少钱，再用21元减去买7千克葡萄需要的钱数即可得到5千克苹果多少元，最后除以5即可得到苹果每千克多少元。 【详解】8＋3×0.5－0.3×2 ＝8＋1.5－0.6 ＝9.5－0.6 ＝8.9（元） 8.9×5－21×2 ＝44.5－42 ＝2.5（元） 2.5÷（3×5－2×7） ＝2.5÷（15－14） ＝2.5÷1 ＝2.5（元） （21－2.5×7）÷5 ＝（21－17.5）÷5 ＝3.5÷5 ＝0.7（元） 春节后购物时，（葡萄，苹果）每千克的价格分别是2.5元，0.7元。 变式3．（2025·上海闵行·小升初真题）已知○、□、△各代表一个数，根据○＋△＝12，△＋□＝8，△－□＝6，可知下列选项正确的是（    ）。 A．○＝9 B．□＝2 C．□＝4 D．△＝7 【答案】D 【分析】根据“△＋□＝8，△－□＝6”，也就是两数之和为8，两数之差为6；再根据和差公式：较大数＝（和＋差）÷2，较小数＝（和－差）÷2，所以△为（8＋6）÷2，算出结果为7，□为（8－6）÷2，算出结果为1，□也可用“和－△”得到，即8－7结果也为1。再根据“○＋△＝12”，所以○＝12－△，即12－7结果为5。据此解答。 【详解】由分析可得： （8＋6）÷2 ＝14÷2 ＝7 8－7＝1 12－7＝5 所以△＝7，□＝1，○＝5 A．○＝9，答案错误，不符合题意； B．□＝2，答案错误，不符合题意； C．□＝4，答案错误，不符合题意； D．△＝7，答案正确，符合题意； 故答案为：D 变式4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）王叔叔自驾去云南旅游，途中到加油站加95号汽油，加油前，油表显示和当日油价如下图所示，汽车油箱容积为64升，王叔叔的加油卡里还有400元，能将油箱加满吗？ 汽油油号 92 95 98 油价（元／升） 6.98 7.38 8.91 【答案】不能 【分析】把油箱总容积64升看作单位“1”，还剩整个油箱容积的，需要加油的油量为油箱容积的（1－），根据“求比一个数少几分之几的数是多少，用乘法计算”，用64×（1－）求出加油升数，再结合95号油价，用加油的升数乘油价算出总费用，和400元对比判断能否加满。 【详解】64×（1－）×7.38 ＝64××7.38 ＝56×7.38 ＝413.28（元） 413.28＞400 答：王叔叔的加油卡里还有400元不能将油箱加满。 1．（2025·广东广州·小升初真题）用递等式计算。                                    【答案】13；2 5； 【详解】（1） ＝（2.38＋0.62）＋（＋） ＝3＋10 ＝13 （2） ＝3－－ ＝3－（＋） ＝3－1 ＝2 （3） ＝36×－36× ＝32－27 ＝5 （4） ＝ ＝×（＋） ＝×1 ＝ 2．（2025·山西大同·小升初真题）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程。 ÷＋× 2.5÷1.25÷8×4 68÷－68 【答案】；1；6800 【详解】 3（2025·重庆渝北·小升初真题）计算。                                                            【答案】31600000；120； ；3 7.4；886； ； 155 【分析】（1）把分数转化成小数，根据积的变化规律，将前面的乘法算式进行变为33338.75×790，再根据乘法分配律进行计算； （2）将36拆成1.2×30，用乘法结合律把算式转化为1.2×32.7，再根据乘法分配律进行计算； （3）将带分数拆成，再根据乘法分配律进行计算； （4）把带分数化成假分数，用乘法分配律把被除数、除数统一拆分得到相同的部分，再计算； （5）对算式中的每个乘法算式的项进行转化，凑出共同的因数0.11，再根据乘法分配律进行计算； （6）将10001改写成73×137,444改写成12×37，再把除法化成乘法，再约分，把右边的分数的分子279换成280－1，再根据乘法分配律进行化简，然后再约分即可； （7）通过计算可知，每一项的结果都是“2＋分数单位”的形式，分母为原来的分母，然后再根据分数的裂项公式进行解答； （8）先算小括号里面的乘法和减法，前边中括号里面根据减法的性质进行计算，再算后面中括号里面的减法，再算中括号外面的除法，再算中括号外面的乘法，最后算中括号外面的减法。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 4．（2025·河南郑州·小升初真题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，21，… 计算：这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 图形 … 算式 … 序号 ① ② ③ ④ … (1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           ( )×( )。 ( )×( )。 (2)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 【答案】(1) 5 8 8 13 (2)⑧ 【分析】（1）观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于这组数末项和前一项的和，所以长方形面积＝末项数×（末项数＋前一项数），据此解答。 （2）根据观察可以发现，①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于1×2；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 因为1870＝34×55＝34×（34＋21），34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【详解】（1）观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于这组数末项和前一项的和，所以长方形面积＝末项数×（末项数＋前一项数）。 因此：5×8；8×13。 观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           5×8。 8×13。 （2）规律：①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于1×2；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 观察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，尝试计算发现： 34×55＝34×（34＋21）＝34×55＝1870 34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 按此规律继续拼长方形，序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【点睛】解题关键是发现斐波那契数列与图形面积的规律，并利用这一规律推导和计算。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $