专题01 二次根式必刷题（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（人教版）

**基本信息** 聚焦二次根式从概念（定义、最简）到性质、运算（化简、混合、分母有理化）再到应用的完整逻辑链，通过9类题型系统覆盖核心考点，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义及有意义条件|3题|判断二次根式、求取值范围|概念生成基础| |最简二次根式|3题|识别与化简|定义深化应用| |性质化简|5题|利用性质化简求值|性质推导核心| |同类二次根式|2题|识别与参数计算|概念关联拓展| |大小比较|3题|数值与代数式比较|性质应用延伸| |混合运算|4题|加减乘除综合运算|运算能力培养| |分母有理化|3题|化简与拓展计算|运算技巧提升| |化简求值|2题|代入字母求值|性质与运算综合| |应用|2题|实际问题解决|知识应用实践|

专题01 二次根式必刷题 【题型1：二次根式定义及有意义的条件】 【题型2：最简二次根式的定义及运用】 【题型3：利用二次根式的性质化简】 【题型4：同类二次根式】 【题型5：二次根式大小比较】 【题型6：二次根式的混合运算】 【题型7：分母有理化的有关运算】 【题型8：已知字母的值，化简求值】 【题型9：二次根式的应用】 【题型1：二次根式的定义及有意义的条件】 1．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 根据二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：，为二次根式，故A正确； B：，二次根式被开方数为非负数，为负数，故B不符合题意； C：为5的立方根，故C不符合题意； D：为的立方根，故D不符合题意； 故选：A． 2．使二次根式有意义的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 3．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，代数式有意义需满足分母不为零且根号内非负，即且，即可求解． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴，且即， ∴且， 故选：D． 【题型2：最简二次根式的定义及运用】 4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件是①被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数含有分母，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C．满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； D．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意． 5．将化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 _______． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【题型3：利用二次根式的性质化简】 7．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 8．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 9．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，有，将二次根式转化为绝对值问题，结合绝对值的性质求解． 【详解】由题意得， 即，， 故选：B． 10．化简：______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据绝对值的性质计算得到结果． 【详解】解：． 11．化简：_______． 【答案】/ 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ，即 ． 【题型4：同类二次根式】 12．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，它与不是同类二次根式，则A不符合题意， B、，它与是同类二次根式，则B符合题意， C、，它与不是同类二次根式，则C不符合题意， D、是最简二次根式，与不是同类二次根式，则D不符合题意， 故选：B． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 根据同类二次根式需被开方数相同得到，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：2． 【题型5：二次根式大小比较】 14．比大小：__________． 【答案】> 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 15．已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 【题型6：二次根式的混合运算】 17．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则，计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算二次根式除法，然后算二次根式减法即可； （）根据平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算乘除，再化简二次根式即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简、二次根式的加减运算、平方差公式、二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算． （1）根据二次根式的化简、二次根式的加减运算法则进行求解； （2）根据平方差公式、二次根式的混合运算法则进行求解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 【题型7：分母有理化的有关运算】 21．化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式分母有理化即可，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 22．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． （1）直接利用分母有理化即可解答； （2）先利用分母有理化得到规律，再根据规律化简，然后再计算即可； （3）先分母有理化可得，即，进而得到，再对变形，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ∴ ． （3）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：___________； (2)观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果； (3)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 【题型8：已知字母的值，化简求值】 24．已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 25．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 【题型9：二次根式的应用】 26．已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 27．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式必刷题 【题型1：二次根式定义及有意义的条件】 【题型2：最简二次根式的定义及运用】 【题型3：利用二次根式的性质化简】 【题型4：同类二次根式】 【题型5：二次根式大小比较】 【题型6：二次根式的混合运算】 【题型7：分母有理化的有关运算】 【题型8：已知字母的值，化简求值】 【题型9：二次根式的应用】 【题型1：二次根式的定义及有意义的条件】 1．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．使二次根式有意义的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【题型2：最简二次根式的定义及运用】 4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．将化成最简二次根式为______． 6．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 _______． 【题型3：利用二次根式的性质化简】 7．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 8．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 9．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．化简：______． 11．化简：_______． 【题型4：同类二次根式】 12．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【题型5：二次根式大小比较】 14．比大小：__________． 15．已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 16．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【题型6：二次根式的混合运算】 17．计算：． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2) 【题型7：分母有理化的有关运算】 21．化简：_____． 22．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 23．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：___________； (2)观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果； (3)计算：（提示：）． 【题型8：已知字母的值，化简求值】 24．已知，求下列各式的值 (1) (2) 25．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【题型9：二次根式的应用】 26．已知，求下列各式的值 (1) (2) 27．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $