精品解析：2026年河北省沧州市任丘市二模数学试题

2025—2026学年第二学期二模考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 比大4的数是( ) A. 1 B. C. D. 9 2. 如图，则（ ） A. B. C. D. 3. 两个大小不同的正方体按如图摆放，组成一个几何体，下列不是这个几何体的三视图为（ ）． A. B. C. D. 4. 在计算时，下列数中x能取的值是( ) A. 1 B. C. 0 D. 2 5. 若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 和相乘后得正有理数的是（ ） A. B. C. D. 7. 不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图所示的箭头图形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（ ） A. ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①②都错 D. ①②都对 11. 将一张长方形纸片（如图1）进行折叠操作，第一次折叠后如图2），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；第二次折叠后（如图3），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；……按此操作，若将纸片沿着剪开，此时小于20°，则n的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 课堂上老师给出如下问题：在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，，，四边形是矩形，将直线沿横轴平移个单位，是否存在的值使得矩形内部（不含边界）的整点落在直线两侧的个数之比为？甲：矩形内部的整点共有个，不能分成个数比为，所以不存在这样的值．乙：存在，其中一个值为．下面的说法正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 15. 在我国古代数学名著《九章算法比类大全》中记载有一则“哪吒战夜叉”的趣题．书中是这样叙述的：八臂一头号夜叉、三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，不相胜负正交加．三十六头齐出动，一百八手乱相抓，旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？这道题的意思是：夜叉有1个头8条胳膊，哪吒有3个头6条胳膊，哪吒与夜叉打得不可开交，只看见战场上有36个头108条胳膊在搏斗，旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？题目中夜叉的个数为________． 16. 如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时，与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，，其中，那么图中阴影面积（即）为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设的结果为P． （1）若，求P的值； （2）若P为正数，求x的最大整数值． 18. 有一道题：“先化简，再求值：，其中”，小明的化简过程如下： 原式 请你判断他的化简过程是否正确？若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 19. 已知题目：如图，B，D，E，C在同一直线上，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．………………………………………第①步 在和中，∵，∴，………第②步 ∴．…………………………………………………………………第③步 （1）老师批改时，告知小明在第______步中出现错误，请你写出正确的证明过程； （2）若，，通过计算比较与的大小． 20. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题，竞赛采用限定时间快速答题的方式进行，多选，不选，选错都算错．竞赛结束后，学校抽取了m名学生的答卷，将他们答对的题数（单位：道）统计如下（有几个数据被墨水污染了）；2，8，4，10，18，5，9，10，12，11，20，16，15，13，10，15，14，13，将以上数据分5个等次，绘制了尚不完整的频数分布直方图及扇形统计图．（A：，B：，C：，D：，E：）， （1）________，________； （2）求的值，并补出频数分布直方图中B等次部分； （3）直接写出答对题数的众数和中位数． （4）再追加一名学生参赛，该同学要至少答对几道题才能使答对题数的中位数提高？请直接写出． 21. 摄氏温度和热力学温度是两种不同的温度计量方法，二者成一次函数关系，与之间的部分对应数值如表所示． 摄氏温度 1 2 3 4 热力学温度 274 275 276 277 （1）求与之间的函数解析式； （2）是热力学温度中的绝对零度，则绝对零度是________； （3）一定质量的理想气体，在压强不变时，气体体积与气体的热力学温度成正比，即常数．在压强不变时，将的的氮气加热到时，求此时氮气的体积发生了什么变化，变化到了多少？ 22. 如图1和图2，中，对角线，是上一点（不与点重合），以为直径作半圆，圆心为点，交于点． （1）如图1，若半圆与相切，点为切点，连接并延长，交于点，求证：； （2）如图2，若半圆与交于点，，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取3.14） 23. 已知同一坐标系中，直线与过点的抛物线． （1）当时： ①求出此时抛物线解析式． ②设点在轴下方，且到轴距离1个单位．抛物线上是否存在这样的点？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． ③抛物线沿纵轴平移个单位时和直线只有一个交点，求值． ④是直线上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，且点在点下方，直接写出线段的长度随的增大而减小时，的取值范围． （2）无论怎样变化，抛物线与直线始终有两个交点，设这两个交点分别为，．直接写出线段的中点到抛物线对称轴的距离． 24. 如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，． （1）在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、； （2）________，________； （3）求为何值时，直线平分矩形的面积； （4）当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围； （5）点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期二模考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 比大4的数是( ) A. 1 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，再按照有理数加法法则计算结果即可． 【详解】解： 2. 如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：直尺较长的两边是一组平行线，由两直线平行，同位角相等得到的对顶角为， 所以． 3. 两个大小不同的正方体按如图摆放，组成一个几何体，下列不是这个几何体的三视图为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出该几何体的三视图，再逐项判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： ∴只有选项A不是． 4. 在计算时，下列数中x能取的值是( ) A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为0、除法中除数不为0，列出限制条件，排除不符合要求的选项，即可得到答案． 【详解】解：∵分式运算中，分母不能为0，除数不能为0， ∴原式需满足以下条件： ， 解得：且且， 选项A的，选项B的，选项C的都不满足条件，只有选项D的符合要求，因此选D． 5. 若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的整理，根与系数的关系和平面直角坐标系内点的象限特征，先将方程整理为一般形式，再求出两根之积和两根之和，得到点的坐标后判断象限即可． 【详解】解：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：，其中，， ∵对于一元二次方程，两根之积为，两根之和为 ∴ ， ∴点的坐标为，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限 6. 和相乘后得正有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用平方差公式可简化计算，只需将各选项与相乘，判断结果是否为正有理数即可得到答案． 【详解】解：选项A∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项B∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项C∶ ，结果是负有理数，不符合要求． 选项D∶ ，是正有理数，符合要求． 7. 不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 【详解】解：∵袋子中共有个球，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为（个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 8. 如图所示的箭头图形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 9. 如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证明四边形是正方形，则四边形的周长为，则可得到，根据点E在上，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴四边形的周长为， ∵， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（ ） A. ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①②都错 D. ①②都对 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知： ， ∴， ∴平分，， 故①对②错． 11. 将一张长方形纸片（如图1）进行折叠操作，第一次折叠后如图2），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；第二次折叠后（如图3），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；……按此操作，若将纸片沿着剪开，此时小于20°，则n的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的变化分别求解第一次折后，，第二次折后，从而可得第次折后的角为：，由＜20°，经验算可得答案． 【详解】解：∵第一次折叠后（如图2），补原图形，使得， 由矩形 ∴， 即． 同理：第二次折叠后，补图如图3， 由 ， 每一次折叠后形成的角都为原角的， 第次折后的角为：， 所以有：＜20°， 经验算可得：n的最小值为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化类，考查了矩形的性质，轴对称的性质，解决本题的关键是观察图形的变化发现规律并总结出规律． 12. 课堂上老师给出如下问题：在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，，，四边形是矩形，将直线沿横轴平移个单位，是否存在的值使得矩形内部（不含边界）的整点落在直线两侧的个数之比为？甲：矩形内部的整点共有个，不能分成个数比为，所以不存在这样的值．乙：存在，其中一个值为．下面的说法正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线解析式，平移后得到新直线；矩形内共个内部整点，按分配总份数，不能整除，但要注意：平移后的直线可能经过部分整点，这些点不属于两侧，因此两侧的整点总数会小于，甲错误；代入算出直线，全部整点都在直线同侧，无法满足比例，乙错误． 【详解】解：∵， 设直线：， 代入得， 解得， ∴解析式：， ∵将直线沿横轴平移个单位， ∴平移后：， 甲：矩形中，，内部（不含边界）整点满足： ， 整点：一共个整点， 两侧个数比，总份数，总整点， 若两侧整点个数比为，则两侧数量分和，都不是整数， 但要注意：平移后的直线可能经过部分整点，这些点不属于两侧， 因此两侧的整点总数会小于， 故甲说法错误； 乙：存在，其中一个值为， 平移后直线：， 代入矩形内部整点横坐标： 当时，，此时对应的个整点都在直线上方； 当时，，此时对应的个整点都在直线上方； 当时，，此时对应的个整点都在直线上方； 当时，，此时对应的个整点都在直线上方； 当时，，此时对应的个整点都在直线上方； 即个整点都在直线下方，不满足整点落在直线两 侧的个数之比为，乙的说法错误 综上，甲错乙错． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴ 则该圆的半径可能是（答案不唯一）． 15. 在我国古代数学名著《九章算法比类大全》中记载有一则“哪吒战夜叉”的趣题．书中是这样叙述的：八臂一头号夜叉、三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，不相胜负正交加．三十六头齐出动，一百八手乱相抓，旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？这道题的意思是：夜叉有1个头8条胳膊，哪吒有3个头6条胳膊，哪吒与夜叉打得不可开交，只看见战场上有36个头108条胳膊在搏斗，旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？题目中夜叉的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】设战场上有个夜叉，个哪吒，根据总头数与总胳膊数的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到夜叉的个数． 【详解】解：设战场上有个夜叉，个哪吒． 根据题意，可得方程组： ①，得③ ． ，得． 解得． 16. 如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时，与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，，其中，那么图中阴影面积（即）为________． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形边长为，由动点同速得，借助正六边形特征算出四边形与面积相等；通过面积等量代换推出，结合，算出． 【详解】解：如图， 连接、、，作，垂足为， 正六边形各边长相等，设边长为，点从运动到，总路程为； ∵同速同时运动， ∴运动的路程， ∵ ∴都是等边三角形， 同理，正六边形的中心与相邻顶点构成的、都是等边三角形， ∴ ∴，即 ∴ ∴四边形的面积等于个等边三角形的面积： ∴ ∴， 设与交于点，则：， ​， ∴​， ∵， ∴， 故． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设的结果为P． （1）若，求P的值； （2）若P为正数，求x的最大整数值． 【答案】（1）的值为 （2）的最大整数值为 【解析】 【小问1详解】 解：当时， ； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴， 解得， ∴的最大整数值为． 18. 有一道题：“先化简，再求值：，其中”，小明的化简过程如下： 原式 请你判断他的化简过程是否正确？若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】小明的化简过程不正确， 正确解答过程如下：原式     将代入得 ． 【解析】 【分析】先分解分母，通分后合并分子，约分得到最简结果，再代入的值计算． 【详解】略 19. 已知题目：如图，B，D，E，C在同一直线上，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．………………………………………第①步 在和中，∵，∴，………第②步 ∴．…………………………………………………………………第③步 （1）老师批改时，告知小明在第______步中出现错误，请你写出正确的证明过程； （2）若，，通过计算比较与的大小． 【答案】（1）②；见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由不能证明两个三角形全等可知第②步有错；根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再利用证明，则可证明结论； （2）由全等三角形的性质和三角形外角的性质推出，，则可求出，进而可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：观察过程可知，小明在第②步中有错，原因是不能证明两个三角形全等， 正确过程如下所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ． 20. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题，竞赛采用限定时间快速答题的方式进行，多选，不选，选错都算错．竞赛结束后，学校抽取了m名学生的答卷，将他们答对的题数（单位：道）统计如下（有几个数据被墨水污染了）；2，8，4，10，18，5，9，10，12，11，20，16，15，13，10，15，14，13，将以上数据分5个等次，绘制了尚不完整的频数分布直方图及扇形统计图．（A：，B：，C：，D：，E：）， （1）________，________； （2）求的值，并补出频数分布直方图中B等次部分； （3）直接写出答对题数的众数和中位数． （4）再追加一名学生参赛，该同学要至少答对几道题才能使答对题数的中位数提高？请直接写出． 【答案】（1）； （2），频数分布直方图补全如下： （3）众数为，中位数为 （4）至少需要答对道题 【解析】 【分析】（1）用E等次的学生人数除以所占的百分比即可得到抽取的学生数，再用A等次的学生人数除以抽取人数，即可得出所占的百分比； （2）根据扇形统计图中的百分比计算出，再作差求出B等次的人数，最后补全频数分布直方图即可； （3）将已知数据重新排列，结合频数分布直方图确定丢失的数据的个数和所在的等次，再根据众数和中位数的定义进行计算即可； （4）根据中位数的性质进行判断即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，E等次的学生有3人，占比为， ∴抽取的学生数为（人）， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴B等次的学生人数为（人）， 频数分布直方图如答案所示； 【小问3详解】 解：将已知数据从小到大排列，得： ，，，，，，，，，，，，，，，，，， 其中A等次2人，B等次2人，C等次6人，D等次6人，E等次2人， 结合频数分布直方图可知，缺失的数据有2个，1个在B等次，1个在E等次， ∴这20个数的第10个数为11，第11个数为12， ∴这组数的中位数为， ∵这组数中，10出现3次，出现的次数最多， ∴这组数的众数为10； 【小问4详解】 解：要想使整体的中位数提高，则必须进入前， 由（3）可知，原中位数为， ∴至少需要答对12道题． 21. 摄氏温度和热力学温度是两种不同的温度计量方法，二者成一次函数关系，与之间的部分对应数值如表所示． 摄氏温度 1 2 3 4 热力学温度 274 275 276 277 （1）求与之间的函数解析式； （2）是热力学温度中的绝对零度，则绝对零度是________； （3）一定质量的理想气体，在压强不变时，气体体积与气体的热力学温度成正比，即常数．在压强不变时，将的的氮气加热到时，求此时氮气的体积发生了什么变化，变化到了多少？ 【答案】（1） （2） （3）氮气的体积增加了，变化到了 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中求出的解析式，计算出的值； （3）设时，氮气的体积为，分别计算出和对应的热力学温度，根据题意列出方程，求解出的值，并作比较即可． 【小问1详解】 解：设， 将；，，代入，得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴绝对零度是； 【小问3详解】 解：设时，氮气的体积为， 当时，；当时，， 根据题意可得：， 解得， ∵， ∴氮气的体积增加了，变化到了． 22. 如图1和图2，中，对角线，是上一点（不与点重合），以为直径作半圆，圆心为点，交于点． （1）如图1，若半圆与相切，点为切点，连接并延长，交于点，求证：； （2）如图2，若半圆与交于点，，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取3.14） 【答案】（1）见解析； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，可证，进一步可知，根据平行四边形的性质可知，即可求解； （2）①作于点，设半圆的半径为，根据解三角形可知半径，即可求解弧长； ②根据是直径，可知，进而可知，根据余弦值可知长度，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图1． ∵半圆与相切，点为切点， ∴ ∵， ∴, ∴ 又， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 解：①作于点，如图2． 设半圆的半径为，则 ∵， ∴ ∵， ∴ 解得 ∴的长为 ② 如图3，∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 而, ∴ 23. 已知同一坐标系中，直线与过点的抛物线． （1）当时： ①求出此时抛物线解析式． ②设点在轴下方，且到轴距离1个单位．抛物线上是否存在这样的点？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． ③抛物线沿纵轴平移个单位时和直线只有一个交点，求值． ④是直线上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，且点在点下方，直接写出线段的长度随的增大而减小时，的取值范围． （2）无论怎样变化，抛物线与直线始终有两个交点，设这两个交点分别为，．直接写出线段的中点到抛物线对称轴的距离． 【答案】（1）①；②存在，点的坐标为；③；④ （2） 【解析】 【分析】（1）①使用待定系数法求解即可； ②根据题意，，将代入，求解出对应的的值； ③先写出平移后的抛物线解析式，再与直线联立，得到关于的一元二次方程，利用求解出的值； ④先联立直线与抛物线求出交点坐标，再结合图象确定点在点上方时，的取值范围．利用直线和抛物线的解析式求出点和点的坐标，从而求出与的关系式，根据二次函数的增减性判断范围，最后取公共部分即可； （2）设点、的横坐标为、，中点的横坐标为，将点代入抛物线解析式可得，则，对称轴为直线．联立直线与抛物线并化简可得，由韦达定理可得，则，因此中点到对称轴的距离为． 【小问1详解】 解：①当时，点的坐标为， 将点代入，得， ∴抛物线的解析式为； ②∵点在轴下方，且到轴距离1个单位， ∴， 将代入，得， ∴存在，点的坐标为； ③平移后的抛物线解析式为， 联立直线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得； ④解：如图，设直线与抛物线的交点为点和点， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 由图可知，当时，点在点的下方时， ∵点在直线上， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 综上，的取值范围为； 【小问2详解】 解：设点、的横坐标为、，中点的横坐标为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线解析式为，对称轴为直线， 联立直线与抛物线，并消去，得， ， ∵， ∴， 整理，得， 根据根与系数的关系可得，， 由中点公式可得，， ∴线段的中点到抛物线对称轴的距离为． 24. 如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，． （1）在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、； （2）________，________； （3）求为何值时，直线平分矩形的面积； （4）当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围； （5）点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长． 【答案】（1）点如图所示： （2）； （3） （4）或 （5） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为所求的点，连接、即可； （2）由对称性的性质可得，利用勾股定理计算出即可； （3）连接、交于点，由直线平分矩形的面积可知，直线过点，则，由对称性可知，，从而计算出，因此； （4）由为定值可知，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，设的中点为，连接，分类讨论，当点在线段上时，容易证明四边形是矩形，则，，使用勾股定理可得，则．容易证明，则，计算得；当点在线段上时，则，，在中，使用勾股定理构造方程，解出，结合图形判断范围即可； （5）连接，取的中点，连接，容易判断是的中位线，则为定值，因此点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动．分析圆弧的两个端点，当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点；点与点重合时，容易计算出，则，进而得出点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧，使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， 根据题意，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称； 【小问2详解】 解：∵为边的中点， ∴， 由轴对称的性质可得，， 当点与点重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，； 【小问3详解】 解：如图，连接、交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点， ∵为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设的中点为，连接， 根据题意，， 由（2）可知，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ①当点在线段上时，如图， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、为、的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由轴对称的性质可得，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点在矩形内左侧的圆弧上； ②当点在线段上时，如图， ∴， 同理①可得，， ∴， 由轴对称的性质可得，， 在中，， ∴， 解得， ∴当时，点在矩形内右侧的圆弧上； 综上所述，当或时，点在矩形内部（不含边界）； 【小问5详解】 解：如图，连接，取的中点，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图， 当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点，即点处，则； 当点与点重合时，点在点处，延长交于点， 在中，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧， ∴点的运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $