精品解析：江苏省苏州市昆山市2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题

2024-2025学年八年级下学期第二次形成性评价 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉语是中华民族智慧结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3. 若分式的值为0，则的值是（ ） A B. 5 C. D. 0 4. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 2025 B. C. 1 D. 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，那么与的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形中，点是线段的黄金分割点即，表示以为边的正方形的面积，表示矩形面积，则与的大小关系（ ） A. 无法确定 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 ___灯．（填“红、绿、黄”） 10. 如果，那么（ ） 11. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 12. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为______． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为______． 14. 若关于的方程无解，则的值是_______． 15. 已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________． 16. 如图，矩形中，平分，过C点作，连接并延长交于点G，交于点M．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是________． 三、解答题（共11小题，满分82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算：． 19. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k取值范围； （2）当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为、，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 21. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 5本 人数 10人 25人 30人 a 15人 （1）本次调查共抽取学生多少人？ （2）表中a值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 ． （3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数． 22. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出（点C在小正方形的顶点上），为等腰三角形且为； （2）在图2中画出（点D在小正方形的顶点上），使为等腰三角形（为钝角）．且在上取一点E，使得（保留作图痕迹）． 23. 如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 24. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，交对角线于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑件，同年9月份制作泥塑件． 素材2 泥塑的制作成本为元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为元/件时，月销售量为件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件? 26. 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点，直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，垂足为，求的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级下学期第二次形成性评价 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是中心对称图形，故该选项符合题意； C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为为分子为零、分母不为零成为解题的关键． 根据分式为零的条件进行计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，解得：． 故选A． 4. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义以及分母有意义，根据分母不为0，被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：A、，则能使有意义，故该选项符合题意； B、，则能使没有意义，故该选项不符合题意； C、，则能使没有意义，故该选项不符合题意； D、，则能使没有意义，故该选项不符合题意； 故选：A 5. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 2025 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，乘方运算，将一元二次方程进行配方变形，即可得到m，n的值，代入即可解答． 【详解】解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故选：D 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，那么与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比， 故选：C． 7. 如图，正方形中，点是线段的黄金分割点即，表示以为边的正方形的面积，表示矩形面积，则与的大小关系（ ） A. 无法确定 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割、矩形的面积公式、正方形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用正方形和矩形的面积公式有， ，由，推出，可得结论． 【详解】解：四边形是正方形， ． 表示以为边的正方形的面积， ． 表示矩形面积， ． ， ． ． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，利用相似的性质求出．作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值． 【详解】解：作交OB于点G， ∵矩形的对角线．． ∴，，即， ∵E，F分别AC，BC上，且在反比例函数上， ∴，， ∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 又∵， 即，解得：． 故选：D． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 ___灯．（填“红、绿、黄”） 【答案】黄 【解析】 【分析】本题考查的知识点是可能性的大小，根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵遇到红灯的概率＝＝； 遇到绿灯的概率＝＝； 遇到黄灯的概率＝＝， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 10. 如果，那么（ ） 【答案】 【解析】 【分析】根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求比，正确计算是解题的关键． 11. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 12. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 根据根据一元二次方程根与系数的关系求解则可，，将整理得到，代入即可． 【详解】解：∵分别是一元二次方程的两个根， ， ， 故答案：． 14. 若关于的方程无解，则的值是_______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】先将分式方程变形为整式方程，再将整式方程变形为(a-1)x=2的形式，根据方程无解的情况：a-1=0，或x-1=0，求得答案即可． 【详解】， ax=3+x-1， ∴(a-1)x=2. ∵的方程无解， ∴a-1=0，或x-1=0 当a-1=0时，解得a=1． 当x-1=0时，即x=1，此时，a=3. 故答案为1或3． 【点睛】此题考查了分式方程的解，一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：①当a≠0，b≠0时，方程有唯一一个解；②当a=0，b≠0时，方程无解；③当a=0，b=0时，方程有无数个解． 15. 已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长． 【详解】解：由题可知： ． 不成立， 由三角形的三边关系可知它的第三边长为3， 三角形周长为2+3+3=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和解一元二次方程的内容，学生需要掌握三角形任意两边之和大于第三边的结论，题中方程用因式分解法解更为简便，该题考查了考生对三角形三边关系的理解与应用以及灵活运用恰当的方法解一元二次方程的能力． 16. 如图，矩形中，平分，过C点作，连接并延长交于点G，交于点M．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有 ， ； 故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， 故②正确； ③如图，延长交于， 由①②得： ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， 由①得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， 故③错误； ④由上过程得：， ， ， ， 由③得：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 同理可证：， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键． 三、解答题（共11小题，满分82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解分式方程，熟知解一元二次方程及解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的步骤对所给方程进行求解即可； （2）根据解分式方程的步骤对所给方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 整理得， ． 当时，， 所以是原方程的增根，原方程无解． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可. 【详解】解： ； 19. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为、，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了求整式的值，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等； （1）由根的判别式得，即可求解； （2）由（1）可求出，据此求出原方程，由根与系数的关系进行求解即可； 能熟练利用根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：一元二次方程有实数根， ， 解得：， k的取值范围为且； 【小问2详解】 解：且； k取得最大整数值为， 原方程为， ， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识， （1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴． 21. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 5本 人数 10人 25人 30人 a 15人 （1）本次调查共抽取学生多少人？ （2）表中a的值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 ． （3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数． 【答案】（1）100 （2）20；108° （3）1950人 【解析】 【分析】（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数； （2）用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用360°乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数； （3）总人数乘以样本中“读书量”不少于3本的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：抽样调查的学生总数为：25÷25%＝100（人）， 答：本次调查共抽取学生100人； 【小问2详解】 a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20； 扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为：360°×＝108°， 故答案为：20；108°； 【小问3详解】 3000×＝1950（人）， 答：估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950人． 【点睛】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出（点C在小正方形的顶点上），为等腰三角形且为； （2）在图2中画出（点D在小正方形的顶点上），使为等腰三角形（为钝角）．且在上取一点E，使得（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作等腰直角即可； （2）作一个腰为5的等腰三角形且是钝角，取格点P，Q，连接交于点E，点E即为所求． 【小问1详解】 解：如图中，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，，点E即为所求． 23. 如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握萎形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再证，可得，进而可得四边形是平行四边形，结，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直角三角形的性质可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：∵平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，交对角线于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和已知条件得到，进而证明，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）可得，再结合已知条件可得，进而得到，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 25. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑件，同年9月份制作泥塑件． 素材2 泥塑的制作成本为元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为元/件时，月销售量为件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件? 【答案】任务：；任务：元/件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解；任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为. 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件 26. 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点，直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，垂足为，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质； （1）由，，得到， ∴，即可得到，； （2）由已知得到，再证明得到，接着证明，得到，代入计算即可得到； （3）如图，连接，过点作，过点作，过点作，垂足分别为，，过点作，垂足为，交于点，先证明，得到，即可证明，设，则，，在中利用勾股定理列方程求出，再证明得到，代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相似的三角形为或； （2）在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ∴，即， ； （3）如图，连接，过点作，过点作，过点作，垂足分别为，，过点作，垂足为，交于点. ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 设，则， 即， ， 在中，， 解得，即， 在和中，，， ， 在和中，， ， ， 在矩形中，， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，与面积的综合问题，灵活运用各知识点是解题的关键． （1）先求出点，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）联立直线与反比例函数解析求得，联立直线与直线求得，而，设，过点作轴交直线于点，可求，则，当点在直线右侧时，可得，由，得到，则；当点在直线作侧时，此时，同理可求； （3）如图，过点作于点，由可得为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，那么，故，由得，则，故，那么或，即可求解点坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过， ∴， 解得：， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立直线与反比例函数解析式得，， ∴， 解得：或， ∴， 联立直线与直线得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设，过点作轴交直线于点， 则，， ∴， ∴，如图： 当点在直线右侧时，∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在直线作侧时，∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则； ∵， ∴点距离轴和轴的距离相等且为， ∴直线与轴负半轴夹角为， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $