精品解析：2026年江苏盐城市东台市第一教育联盟第三次阶段测试数学试题

2026年江苏省盐城市东台市第一教育联盟三模九年级数学 （试卷分值150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴确定点的取值范围，再估算各选项的数值进行判断． 【详解】解：由图可知，点在和之间，即． A．，，故A不符合； B．，，故B符合； C．，，，，即，故C不符合； D．，故D不符合． 3. 盐城，一个让人打开心扉的地方，素有“东方湿地之都”之美誉！全市湿地总面积约769700公顷．数据769700用科学记数法表示为（ ） A. 7.697×103 B. 7.697×104 C. 76.97×104 D. 7.697×105 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法要求形式为，其中，n为整数． 【详解】解：． 4. 已知，下列各式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的两条基本性质逐一分析选项，判断式子是否一定成立即可． 【详解】解：∵， ∴根据等式的基本性质1（等式两边同时加上同一个数，等式仍成立），可得，故A选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴两边同时乘得，再根据等式基本性质1，两边同时加a得，故B选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴根据等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得，故C选项一定成立，不符合题意． 对于D选项，当时，分式和无意义，只有当时，根据等式基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 5. 二次函数的图象如图所示，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据当时函数值大于，即，根据图象与轴没有交点，可知，即可判断出所在的象限． 【详解】解： 解：根据图象与轴没有交点， ∴， ∵当时函数值大于，即 ∴点在第二象限 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ．   故选：C ． 7. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为， 故选：A． 8. 为了发扬“中国航天精神”，每年的月日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 航 B. 天 C. 精 D. 神 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图相对的面之间要间隔一个正方形，可知：与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 【详解】解：与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 二、填空题（本大题共有 8小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 盐城是全国海上风电产业的标杆城市，截至2026年第一季度，全市海上风电并网规模已突破7200000千瓦，持续领跑全国．数据7200000用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式的规律探索，分别找出代数式的符号、系数绝对值、的次数对应的规律，再将代入规律计算即可． 【详解】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 11. 九年级某班的40名学生进行物理，化学两种实验测试．经最后统计可知，物理实验做对了的有35人，化学实验做对了的有30人，两种实验都做错了有5人．则两种实验都做对的有___________人． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这两种实验都做对的有x人，根据九年级某班的40名学生进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有35人，化学实验做对的有30人，两种实验都做错的有5人，可列方程求解． 【详解】解：设这两种实验都做对的有x人， ， 解得． 故都做对的有30人． 故答案为：30． 12. 如图，已知在中，，，，点是边上的动点，过点作分别交于点于点，连接，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】以点A为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点C作于点G，利用特殊角的三角函数，确定点C的坐标，后应用待定系数法确定直线的解析式，交轨法确定点D的坐标，继而确定F的坐标，构造二次函数求最值即可． 【详解】解：以点A为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 过点C作于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设的解析式为， 故， 解得， ∴的解析式为， 设的解析式为， 故， 解得， ∴的解析式为， 设， ∵， ∴， 不妨设的解析式为， 故， 解得， ∴的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故当时，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的应用，待定系数法求解析式，交轨法求坐标，构造二次函数求最值，平行线的性质，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． 13. 将直线沿轴平移个单位，与反比例函数的图象只有一个公共点，则实数的值是______． 【答案】1或7 【解析】 【分析】①将直线沿轴向上平移个单位，得到，联立，得到，求得； ②将直线沿轴向下平移个单位，得到，联立，得到，求得． 【详解】解：分两种情况讨论： ①将直线沿轴向上平移个单位， ∴平移后解析式为：， 联立， 整理得：， ∴，即， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴； ②将直线沿轴向下平移个单位， ∴平移后解析式为： 联立， 整理得：， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴； 综上，实数的值为或． 14. 如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 【答案】116 【解析】 【分析】连接，利用求出，进而求出，最后利用圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】如图，连接． 是的直径， ． ， ． ． 四边形是的内接四边形， ， ． 15. 如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质得，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵与所在的圆相切于点B， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值、根据二次根式性质化简，零指数幂，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边都乘以，化分式方程为整式方程，然后根据整式方程的求解方法解答即可． 【详解】解：， 方程两边都乘以得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，, 检验:当时，， 故原方程的解是． 19. 先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式， ，，， ，1，2， 将代入得，原式． 20. 已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． （1）请说明； （2）求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）在和中，，，，故； （2）由（1）得，故，故，故，又，故，，故，从而平分． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）得， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分． 21. 为了让学生更加了解盐城湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（，，，），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次参加测评人数为_________人，并补全条形统计图； （2）若该校九年级共有1000人，成绩为80分及以上记为优秀，请估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数； （3）现有成绩为等级的两位同学和等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率是多少？ 【答案】（1）100，补全条形统计图见解析 （2）750人 （3） 【解析】 【分析】（1）因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得到B等级人数，补全条形统计图． （2）因为优秀为A、B等级，所以先计算样本中A、B等级人数和占总人数的比例，再用九年级总人数乘该比例得到估计的优秀人数． （3）先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果数，根据概率公式计算对应概率． 【小问1详解】 解：∵C等级有20人，占总人数的20%， ∴总人数为：  人， ∴ D等级人数： 人； B等级人数： 人． 补全条形图：B等级画高度为35的条形，D等级画高度为5的条形即可． 【小问2详解】 解：成绩80分及以上为优秀，即A、B等级为优秀，抽查中优秀人数占比为：  ， 估计九年级1000人中优秀人数为：  人． 答：估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数750人． 【小问3详解】 记2名A等级同学为​，2名B等级同学为​，列表得所有等可能的抽取结果： 共12种等可能的结果，其中恰好1名A等级、1名B等级的结果有8种， ∴恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率为 ． 答：恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率是​． (也可以去掉重复的结果共6种，恰好1名A等级、1名B等级的结果有4种，．方法不唯一．） 22. 如图，已知． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点D，E，F分别在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据作图过程证明四边形为菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点E，再作线段的垂直平分线，交于点D，F，则四边形即为所求； （2）根据尺规作图的步骤可知平分，是的垂直平分线，进而得出，，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 证明：根据作图过程可知平分，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． （1）求直线与双曲线的表达式； （2）点为双曲线的任一点，若，求点坐标； （3）若点，则当时，的取值范围是_________． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线得，，解得，，故直线表达式为，将点代入双曲线得，，解得，，故双曲线的表达式为； （2）由（1）得，当时，，故点C的坐标为，又，故，从而，设点的坐标为，则，解得，，故点的坐标为或； （3）因为当时，的图像在的图像下方，所以当时，或． 【小问1详解】 解：将点代入直线得，， 解得，， 直线表达式为， 将点代入双曲线得，， 解得，， 双曲线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，， 点C的坐标为， 又， ， ， 点为双曲线的任一点， 设点的坐标为，则， 化简得，，则， 解得，， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点和点，当时，的图像在的图像下方， 当时，或． 24. 如图，在中，以为直径的与交于点，延长交于点，连接，点为线段上一点，连接，且满足． （1）求证：是的切线； （2）若，、交于点M，记与的面积分别为，．若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由和圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，推出，即可证明是的切线； （2）根据锐角三角形的定义和勾股定理可表示，再根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得出：，由，求出，再由面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 又 ∵为的直径， ， ， ， ， ， 又 ∵为的直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， 设， 则，， 过点D作交于点G， ∴， 即， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 解得：（负值已舍去）， ． 25. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． （1）求证：函数图像上总存在“等值点”； （2）设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； （3）将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的值为，，或 【解析】 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线，即可证明； （2）由（1）可设，，，根据求出，然后将代入求解即可； （3）首先求出函数的表达式为，然后求出图像和图像的交点坐标，然后根据题意分4种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数 ∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线 ∴当时，两个函数值相等， ∴函数图像上总存在“等值点”； 【小问2详解】 解：由（1）可设，， ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入得， 解得； 【小问3详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为 ∴关于经过且平行于轴的直线对称的点的坐标为 ∴翻折后新函数的表达式为 联立函数和函数得， 解得， 将代入得， 将代入得， ∴图像和图像的交点坐标为和 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 综上所述，当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，的值为，，或． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； （3）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）的最大值为，点D的坐标为； （3）线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 27. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题．如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： 老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： （2）“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先由菱形性质得、，再由等边三角形性质得、，通过角的等量代换推出，利用证明，根据全等三角形对应边相等即可得出； （2）先由菱形和平行线的性质推出，证明是等边三角形得，再结合(1)中的结论推出，最后利用且，通过等量代换即可得出； （3）先过点作于，利用角的三角函数求出、，再分点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别设，表示出和的长度，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下：四边形是菱形， ，， ， ， ，即， 是等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：． 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ， 分两种情况讨论： ①如图2，当点在线段上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； ②如图3，当点在线段的延长线上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江苏省盐城市东台市第一教育联盟三模九年级数学 （试卷分值150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A. B. C. D. 3. 盐城，一个让人打开心扉的地方，素有“东方湿地之都”之美誉！全市湿地总面积约769700公顷．数据769700用科学记数法表示为（ ） A. 7.697×103 B. 7.697×104 C. 76.97×104 D. 7.697×105 4. 已知，下列各式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图所示，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 为了发扬“中国航天精神”，每年的月日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 航 B. 天 C. 精 D. 神 二、填空题（本大题共有 8小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 盐城是全国海上风电产业的标杆城市，截至2026年第一季度，全市海上风电并网规模已突破7200000千瓦，持续领跑全国．数据7200000用科学记数法可表示为________． 10. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 11. 九年级某班的40名学生进行物理，化学两种实验测试．经最后统计可知，物理实验做对了的有35人，化学实验做对了的有30人，两种实验都做错了有5人．则两种实验都做对的有___________人． 12. 如图，已知在中，，，，点是边上的动点，过点作分别交于点于点，连接，则的最小值为___________． 13. 将直线沿轴平移个单位，与反比例函数的图象只有一个公共点，则实数的值是______． 14. 如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 15. 如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 16. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程． 19. 先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值． 20. 已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． （1）请说明； （2）求证：平分． 21. 为了让学生更加了解盐城湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（，，，），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次参加测评人数为_________人，并补全条形统计图； （2）若该校九年级共有1000人，成绩为80分及以上记为优秀，请估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数； （3）现有成绩为等级的两位同学和等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率是多少？ 22. 如图，已知． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点D，E，F分别在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据作图过程证明四边形为菱形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． （1）求直线与双曲线的表达式； （2）点为双曲线的任一点，若，求点坐标； （3）若点，则当时，的取值范围是_________． 24. 如图，在中，以为直径的与交于点，延长交于点，连接，点为线段上一点，连接，且满足． （1）求证：是的切线； （2）若，、交于点M，记与的面积分别为，．若，，求的长． 25. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． （1）求证：函数图像上总存在“等值点”； （2）设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； （3）将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； （3）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 27. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题．如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： 老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： （2）“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $