精品解析：河南新乡市辉县市2025-2026学年下学期九年级数学作业（二模）

九年级数学作业 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国自主研发的某手机芯片内集成了约153亿个晶体管，将153亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 为了了解某地区老年人的健康状况，小明在公园里调查了60名老年人今年生病的次数，小颖在医院里调查了50名老年人今年生病的次数，小亮在邻居中调查了30名老年人今年生病的次数，小萌利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人今年生病的次数，你认为他们的调查方式比较合理的是（ ） A. 小萌 B. 小亮 C. 小颖 D. 小明 5. 如图，点A在点B的北偏西方向上，点B在点C的北偏东方向上，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 8. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 星期天，小明从早上六点开始每隔半小时对他家附近的气温和一个水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘制成如图所示的图象（实曲线表示气温，虚曲线表示水温），其中横轴表示时间，纵轴表示温度．已知水池里水的质量为100t． 小贴士 ①物质吸收或释放的热量，其中为该物质的比热容，为该物质的质量，为该物质升高或降低的温度． ②水的比热容． 下列说法正确的是（ ） A. 气温与时间的关系为二次函数关系 B. 水温上升或下降的速度比气温快 C. 质量为1g的空气在时吸收的热量比在时放出的热量少 D. 水池里的水在6－13时吸收的热量约为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 数轴上与最接近的整数是___________． 12. 为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是________． 13. 观察下列等式：，，，，……，依此规律归纳可知，第个等式是：_______． 14. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图①是光束在水中的径迹．如图②，现将一束光以一定的入射角α（）射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线l为法线，若水深为，则线段________m． 15. 如图，四边形是边长为的正方形，点F是边延长线上一个动点，点E在直线的上方，且，，若恰为等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 为了迎接体育中考，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），随机抽取男同学和女同学各20名，并对成绩进行了整理、分析，部分信息如下． ①男同学成绩的频数直方图如图所示（数据分为4组：，，，）； ②男同学成绩在这一组的具体分数是：82，83，84，84，84，87，89； 女同学成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89； ③抽取成绩的统计量如下表． 性别 平均数 中位数 众数 男 83.5 84 女 82.1 88 89 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值是_______． （2）下列描述中正确的有_______（填序号）． ①因为抽取的20名女同学的成绩的平均数是82.1分，所以至少有10名女同学成绩在82.1分以下． ②抽取的20名男同学中，成绩为75分的一定少于3人． ③在抽取的同学中，女同学超过88分的人数比男同学多． （3）成绩不低于85分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生240人，男学生260人，且所有学生都参加了模拟测试．估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数． 18. 尺规作图：在矩形中，要求用直尺和圆规作菱形，使点分别在边上． 小明：如图1，作的中垂线分别交于点，连结． 小刚：如图2，连结，作的中垂线分别交于点，连结． 请选择一位同学的作法，判断是否正确，并说明理由．（注：若全选，按第一种作答评分） 19. 据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料．已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？ （2）若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整；乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？ 20. 数学自由且严谨，对于同一个问题，往往可以通过不同的角度和方法进行分析和解决．例如，如果矩形的面积为，周长为，研究这个矩形的面积与周长之间的关系． 【任务一】请分别从方程和函数的角度分析、解决问题：“是否存在矩形，使周长？如果存在，请求出该矩形两邻边的长；如果不存在，请说明理由．” （1）从方程的角度． （2）从函数的角度．设矩形的两邻边的长为，．从矩形的面积为得到与的函数关系式为，从矩形的周长为得到与的函数关系式及的取值范围是：______________，请在同一直角坐标系中将两个函数的图象补充完整，并通过函数图象解决问题． 【任务二】求矩形的周长的取值范围． 21. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 22. 已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点． （1）求线段的长； （2）当时，若，求的值； （3）将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围． 23. 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点 重合，然后展开铺平，得到折痕 ；第二步：然后将 绕点顺时针方向旋转得到，点 的对应点分别是点，直线与边交于点（点不与点重合），与边 交于点． （1）折痕的长为　　　　． （2）在绕点 旋转的过程中，试判断 与的数量关系，并证明你的结论． （3）在绕点旋转的过程中，探究下列问题： 如图，当直线经过点时，的长为　　　　　． 如图，当直线 时，求的长． （4）在绕点 旋转的过程中，连接，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的基本概念，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 相反数是指只有符号不同的数， ∴ 的相反数是． 故选：B． 2. 中国自主研发的某手机芯片内集成了约153亿个晶体管，将153亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，本题先把153亿化为普通整数，再正确确定和的值． 【详解】解：153亿，根据科学记数法对的要求，将原数小数点左移10位，得到，， 因此153亿用科学记数法表示为． 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 4. 为了了解某地区老年人的健康状况，小明在公园里调查了60名老年人今年生病的次数，小颖在医院里调查了50名老年人今年生病的次数，小亮在邻居中调查了30名老年人今年生病的次数，小萌利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人今年生病的次数，你认为他们的调查方式比较合理的是（ ） A. 小萌 B. 小亮 C. 小颖 D. 小明 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查．解题的关键是要注意样本的代表性、校本的广泛性和样本随机性． 抽样调查应该注意样本容量的大小和代表性． 【详解】解：A．小萌利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人的健康状况，简单随机抽样，样本合适，故此选项符合题意； B．选项调查30人数量太少，故此选项不符合题意； C．选项选择的地点没有代表性，医院的病人太多，故此选项不符合题意； D．选项选择的地点没有代表性，公园里的老人都比较注意运动，身体比较健康，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，点A在点B的北偏西方向上，点B在点C的北偏东方向上，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方向角，平角的概念，理解方向角、平角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义，平角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ， ∴， ∴， 故选：C ． 6. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“同大取大”的规则即可判断的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集为， 两个边界中更大，且当时，不等式组解集仍为，符合要求， ． 7. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 9. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先求得，再利用直角三角形的性质求得，又由点是的中点得，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 10. 星期天，小明从早上六点开始每隔半小时对他家附近的气温和一个水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘制成如图所示的图象（实曲线表示气温，虚曲线表示水温），其中横轴表示时间，纵轴表示温度．已知水池里水的质量为100t． 小贴士 ①物质吸收或释放的热量，其中为该物质的比热容，为该物质的质量，为该物质升高或降低的温度． ②水的比热容． 下列说法正确的是（ ） A. 气温与时间的关系为二次函数关系 B. 水温上升或下降的速度比气温快 C. 质量为1g的空气在时吸收的热量比在时放出的热量少 D. 水池里的水在6－13时吸收的热量约为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数与图像的关系，读懂图像是解题的关键． 根据图像所得的信息逐项分析，即可解答． 【详解】解：A．由图像不是抛物线可知，气温与时间的关系不是二次函数关系，该选项错误； B．由图像可知，在时，气温上升的速度比水温快，该选项错误； C．由图像可知质量为1g的空气在时吸收的热量比在时放出的热量少，故该选项正确． D．有图像可得 ∴水池里的水在6－13时吸收的热量约为，该选项错误． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 数轴上与最接近的整数是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由接近整数，便可推理得到最接近的数． 【详解】解：∵接近整数， ∴与最接近的整数是：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了无理数的估算，关键是正确估算最接近的整数是2． 12. 为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．画树状图（用A、B、C分别表示“篮球”“足球”“排球”三种选修课）展示所有种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“篮球”“足球”“排球”三种选修课） ∵共有种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 故答案为：． 13. 观察下列等式：，，，，……，依此规律归纳可知，第个等式是：_______． 【答案】（为正整数） 【解析】 【分析】先将已知等式按序号对应，分别观察等式左边各部分，等式右边常数与序号的关系，归纳得出猜想后，利用整式乘法公式验证猜想，得到第个等式． 【详解】解：将已知等式按序号对应整理得： 当时， 当时， 当时， 归纳猜想可得，第个等式左边为，右边为， 利用平方差公式验证： 左边， ∴左边等于右边，猜想成立． 故（为正整数）． 14. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图①是光束在水中的径迹．如图②，现将一束光以一定的入射角α（）射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线l为法线，若水深为，则线段________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，等角的三角函数值相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得，则，，则，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，而， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形是边长为的正方形，点F是边延长线上一个动点，点E在直线的上方，且，，若恰为等腰三角形，则的长为______． 【答案】或者 【解析】 【分析】设，即，，分类讨论：第一种情况，恰为等腰三角形，，延长交于点N，先证明四边形是矩形，即有，进而有，解方程即可；第二种情况，恰为等腰三角形，，在中，由，可得，解得，此时点D、E重合，不符合题意，此种情况舍去；第三种情况，恰为等腰三角形，，延长交于点M，如图，同上可证明四边形是矩形，先证明，即在中，，可得，解方程即可． 【详解】∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， 设，即， ∴， 分类讨论： 第一种情况，恰为等腰三角形，， 延长交于点N，如图， ∵，， ∴，即四边形是矩形， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得：， 即此时； 第二种情况，恰为等腰三角形，，如图， ∴， ∵在中，， ∴， 解得，此时点D、E重合，不符合题意，此种情况舍去； 第一种情况，恰为等腰三角形，， 延长交于点M，如图， 同上可证明四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：，此时， 故答案为：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，再加减运算即可； （2）先利用完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为了迎接体育中考，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），随机抽取男同学和女同学各20名，并对成绩进行了整理、分析，部分信息如下． ①男同学成绩的频数直方图如图所示（数据分为4组：，，，）； ②男同学成绩在这一组的具体分数是：82，83，84，84，84，87，89； 女同学成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89； ③抽取成绩的统计量如下表． 性别 平均数 中位数 众数 男 83.5 84 女 82.1 88 89 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值是_______． （2）下列描述中正确的有_______（填序号）． ①因为抽取的20名女同学的成绩的平均数是82.1分，所以至少有10名女同学成绩在82.1分以下． ②抽取的20名男同学中，成绩为75分的一定少于3人． ③在抽取的同学中，女同学超过88分的人数比男同学多． （3）成绩不低于85分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生240人，男学生260人，且所有学生都参加了模拟测试．估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数． 【答案】（1）83.5 （2）②③ （3）223人 【解析】 【分析】（1）总共有20个数据，中位数为第10、11位，前两组共8人，两数落在80～90分段为83、84，求这两个数平均数得中位数； （2）①平均数不能确定低分人数；②84分有3个，为众数，所以75分人数一定少于3人；③分别统计男女生超88分人数，再对比； （2）用男女样本优秀率乘对应总人数，求和估算． 【小问1详解】 解：男同学一共有20名同学，在和共有 (人)，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据，在这一组的第2，3个数，分别为83、84，故中位数； 【小问2详解】 ①因为平均数不能确定低于平均分人数，故①说法错误； ②因为男同学众数为84分，并且有3人是84分，所以成绩为75分的一定少于3人；故②说法正确； ③因为女生的中位数是88分，且女生成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89，所以超过88分的人数为10人，因为男生的中位数是83.5分，且男生成绩在这一组的具体分数是：82，83，84，84，84，87，89，所以超过88分的人数为6人，所以在抽取的同学中，女同学超过88分的人数比男同学多，故③说法正确； 【小问3详解】 （人)， 答：估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数约223人． 18. 尺规作图：在矩形中，要求用直尺和圆规作菱形，使点分别在边上． 小明：如图1，作的中垂线分别交于点，连结． 小刚：如图2，连结，作的中垂线分别交于点，连结． 请选择一位同学的作法，判断是否正确，并说明理由．（注：若全选，按第一种作答评分） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——过一点作已知直线的垂线，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用垂线段最短可判断，进而判断出，则可判断小明的作法错误；利用矩形的性质和已知条件得出，再得出四边形是平行四边形，最后利用有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得出结论，则可判断小刚的作法正确． 【详解】解：小明的作法错误，理由如下： 在矩形中，， ， 又， ， 四边形不是菱形，故小明的作法错误． 小刚的作法正确，理由如下： 记与交点为， 则， 在矩形中，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 是的中垂线， 为菱形，故小刚的作法正确． 19. 据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料．已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？ （2）若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整；乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？ 【答案】（1） 甲品牌材料每个80元，乙品牌材料每个130元 （2） 最少购买10个甲品牌材料 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设一个甲品牌材料需要元，则一个乙品牌材料需要元，根据“用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设该学校此次购买y个甲品牌材料，则购买个乙品牌材料，根据“该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设一个甲品牌材料需要x元，则一个乙品牌材料需要元． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：购买一个甲品牌材料需要80元，购买一个乙品牌材料需要130元． 【小问2详解】 解：设该学校此次购买y个甲品牌材料，则购买个乙品牌材料． 根据题意，得， 解得： ∴y的最小值为10． 答：该学校此次最少购买10个甲品牌材料． 20. 数学自由且严谨，对于同一个问题，往往可以通过不同的角度和方法进行分析和解决．例如，如果矩形的面积为，周长为，研究这个矩形的面积与周长之间的关系． 【任务一】请分别从方程和函数的角度分析、解决问题：“是否存在矩形，使周长？如果存在，请求出该矩形两邻边的长；如果不存在，请说明理由．” （1）从方程的角度． （2）从函数的角度．设矩形的两邻边的长为，．从矩形的面积为得到与的函数关系式为，从矩形的周长为得到与的函数关系式及的取值范围是：______________，请在同一直角坐标系中将两个函数的图象补充完整，并通过函数图象解决问题． 【任务二】求矩形的周长的取值范围． 【答案】任务一：（1）矩形的长为，宽为 （2） 任务二： 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，求解一次函数的解析式，画一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 任务一：（1）设矩形的一边长为，可得，解出的值，即可解答； （2）根据矩形的周长为，可得，，在同一直角坐标系中将两个函数的图象补充完整，由图象可知，矩形的长为，宽为时，矩形面积为； 任务二：若矩形的面积为，周长为，则两个函数图象有交点，联立反比例函数与一次函数的方程，得，解不等式即可求解． 【详解】解：任务一：（1）存在，理由如下： 设矩形的一边长为，根据题意，得， 解得：，， 矩形的长为，宽为； （2）矩形的周长为， ， ， ，的取值范围是， 在同一坐标系中画出这两个函数的图象，如图： 由图象可知，矩形的长为，宽为时，矩形的面积为， 故答案为：； 任务二：周长为，由任务一知：， 若矩形的面积为，则两个函数图象有交点， ，即有实数根， ， ， ． 21. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先由，可得，再由是⊙O的切线，可得，，即可求证． （2）先由的值得出和的关系，在利用勾股定理求得的长，通过推理可证，得出成比例线段求解． 【小问1详解】 连接，如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴，， ∴． 【小问2详解】 ∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数逆运用，解答此题的关键是作出辅助线． 22. 已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点． （1）求线段的长； （2）当时，若，求的值； （3）将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围． 【答案】（1）4 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）在中，当时，，解得：，，求得点A、B的坐标，即可求得答案； （2）当时，利用待定系数法可得直线的解析式为，连接，过点D作轴于点E，由，可得，可得直线的解析式为，联立方程求得，再运用正切函数定义即可求得答案； （3）由平移得新抛物线：，再由的最小值为4，且，可知：点在线段上，即抛物线的对称轴左侧与x轴的交点为P，即求得的取值范围． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴顶点， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图1，连接，过点D作轴于点E， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ∵将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线， ∴， 令，得， 解得：， ∵的最小值为4，且， ∴点在线段上，即抛物线在对称轴左侧部分与轴的交点为在线段上， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、线段和的最小值问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 23. 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点 重合，然后展开铺平，得到折痕 ；第二步：然后将 绕点顺时针方向旋转得到，点 的对应点分别是点，直线与边交于点（点不与点重合），与边 交于点． （1）折痕的长为　　　　． （2）在绕点 旋转的过程中，试判断 与的数量关系，并证明你的结论． （3）在绕点旋转的过程中，探究下列问题： 如图，当直线经过点时，的长为　　　　　． 如图，当直线 时，求的长． （4）在绕点 旋转的过程中，连接，则的最小值为 ． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）； （4） 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求解； （）．连接，证明即可求证； （）由旋转和等腰三角形的性质得，设，由勾股定理可得 ，求出即可求解；过作于，交于，则四边形是矩形，得，利用三角形面积可得，进而得到，证明，得到，即可求解； （）连接，则，当三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接， 由旋转的性质得，，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 【小问4详解】 解：如图，连接，则， 当三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $