精品解析：2026年河南省平顶山市叶县第三协作区二模数学试题

2026年河南省平顶山市叶县第三协作区二模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 将“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 4. 如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 9. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则旋转2026次点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在一块长方形草坪）中的四周铺设了石板小路，草坪的两条对角线相交于点O，现在有一辆自动巡检小车从拐角A出发，沿着石板小路按运动．设小车当前所在位置为点P，它从出发到当前位置的行驶路程为x，的面积为y，已知y与x的函数关系图象如图2所示，则对角线的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 12. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 13. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 14. 如图，为边长为2的等边三角形内部一动点，连接，，，过点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则图中阴影部分面积的和为____________________． 15. 无人机测绘正方形区域，正方形边长为4千米，为的中点（测绘基站），无人机的测绘范围为以为圆心、1千米为半径的圆形区域．测绘时需将线段绕点逆时针旋转生成校正路径，连接，则的最大值为_____________千米． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算和解不等式组 （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 17. “劳动创造幸福，科技成就未来．”为落实素质教育、弘扬科学精神，某市每年都会举办一届“青少年科技节”．下面两个不完整的统计图为某校2026年参加科技节中创新实践活动（包括机器人、编程、科探、创客四个项目）的学生人数统计图，根据图中提供的信息，请解答以下问题： （1）该校参加比赛的总人数是___________，机器人参赛的人数是___________； （2）机器人所在扇形的圆心角的度数是___________，并把条形统计图补充完整； （3）从全市中小学参加创新实践活动选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年中小学参加创新实践活动人数为2485，请你估算今年参加创新实践活动的获奖人数是多少． 18. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 19. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 20. 随着人民群众生活水平的提高，高层住宅越来越多，高层建筑的消防安全问题越来越受到人民群众的关注．某公司开发出新型高层建筑消防安全救援逃生系统，如图，为高层建筑，为消防安全救援逃生通道，小明为了测量建筑物的高度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进32米到达处，测得楼顶点的仰角为．已知． 请根据以上数据求建筑物的高度（测角仪的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据） 21. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 22. 在一次“校园科技节”物理探究活动中，某物理小组用发射器从距地面2米高的处将一个小球斜抛向前方．建立如图所示的平面直角坐标系，下图1中的抛物线表示小球的飞行高度（单位：）关于飞行水平距离（单位：）的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知小球发射后水平飞行时，飞行的最大高度是． （1）求关于的函数关系式； （2）如图2，为发射器，为标靶，小球由点射出，，若，则小球能否击中标靶？请说明理由． 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题．如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： 老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： （2）“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省平顶山市叶县第三协作区二模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用初中实数比较大小的基本规则即可求解，即正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小 【详解】解： ∵正数大于0，0大于负数， ∴，，可排除A，C选项； 对于两个负数，比较大小遵循绝对值大的数反而小， ∵，，， ∵， ∴， ∴比小的数是 2. 将“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿． 3. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 4. 如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作，得出，确定，，结合图形即可求出结果 【详解】解：过点A作， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∴ 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘及完全平方公式； 根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘的法则及完全平方公式逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算正确； D、，故本选项运算错误； 故选：C. 6. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 7. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，其中《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》分别用表示， 共有12种等可能结果，其中恰好是“论语”和“大学”的有2种结果， ∴从中随机抽取2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是， 故选：C ． 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识点，把三角形的面积化为矩形的面积是解题的关键． 先证明、，把三角形的面积化为矩形的面积进而求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴的面积=矩形的面积． 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则旋转2026次点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图：过B作轴于D，根据坐标与图形、特殊角的三角函数值、菱形的性质求得，则菱形每旋转6次会回到原来的位置，，则点的坐标与点的坐标相同；如图，根据题意画图，可以发现点和点B关于y轴对称，即可确定，进而确定的坐标，即旋转2026次点的坐标． 【详解】解：如图：过B作轴于D， ∵，， ∴, ∴, ∴，即， ∵菱形， ∴， ∴, ∵把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴菱形每旋转6次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转2026次点的坐标的坐标与点的坐标相同； 根据题意作图如下：可以发现点和点B关于y轴对称， ∵， ∴，即， ∴旋转2026次点的坐标为． 10. 如图1，在一块长方形草坪）中的四周铺设了石板小路，草坪的两条对角线相交于点O，现在有一辆自动巡检小车从拐角A出发，沿着石板小路按运动．设小车当前所在位置为点P，它从出发到当前位置的行驶路程为x，的面积为y，已知y与x的函数关系图象如图2所示，则对角线的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设的长度a，的长度b， ①如图：当点P在上时，过O作于M， 易得、，再根据函数的增减性可得；当点P在上时，过O作于N，则，，同①可得：，，利用函数的增减性以及等式的性质可得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设的长度为a，的长度为b， ①如图：当点P在上时，过O作于M， ∴的面积为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，的面积最大为3，即； ∵长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，即 ②如图：当点P在上时，过O作于N，则，， 同①可得：， 的面积为， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，的面积最小为0， ∴，即， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 12. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 13. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 14. 如图，为边长为2的等边三角形内部一动点，连接，，，过点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则图中阴影部分面积的和为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作三边的平行线即可把等边三角形分成三个平行四边形和三个等边三角形，再根据平行四边形和等边三角形的性质得到即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作交于，交于，过点作交于，交于，过点作交于，交于，过点作于， ∴四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴， ∵边长为2的等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． 15. 无人机测绘正方形区域，正方形边长为4千米，为的中点（测绘基站），无人机的测绘范围为以为圆心、1千米为半径的圆形区域．测绘时需将线段绕点逆时针旋转生成校正路径，连接，则的最大值为_____________千米． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据题意得出，确定，将绕点C逆时针旋转得到其中点E的对应点为H，点F的对应点为G，连接，得出，确定为等腰直角三角形，得出，，点G在以H为圆心、半径为1的圆上运动，确定当E、H、G三点共线且点G在点位置时，取得最大值，即可求解． 【详解】如图，连接， ∵正方形边长为4，E为中点， ， 在中，由勾股定理得：， 将绕点C逆时针旋转得到其中点E的对应点为H，点F的对应点为G，连接， ， ， 为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∵的测绘范围为以为圆心、1千米为半径的圆形区域， ∴点G在以H为圆心、半径为1的圆上运动， ∴当E、H、G三点共线且点G在点位置时，取得最大值， ∴，即的最大值为千米． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算和解不等式组 （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）2025 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂，绝对值和根式进行计算，再算加减即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解不等式得，； 解不等式，得． 所以不等式组的解集是． 在数轴上表示不等式组的解集为： 17. “劳动创造幸福，科技成就未来．”为落实素质教育、弘扬科学精神，某市每年都会举办一届“青少年科技节”．下面两个不完整的统计图为某校2026年参加科技节中创新实践活动（包括机器人、编程、科探、创客四个项目）的学生人数统计图，根据图中提供的信息，请解答以下问题： （1）该校参加比赛的总人数是___________，机器人参赛的人数是___________； （2）机器人所在扇形的圆心角的度数是___________，并把条形统计图补充完整； （3）从全市中小学参加创新实践活动选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年中小学参加创新实践活动人数为2485，请你估算今年参加创新实践活动的获奖人数是多少． 【答案】（1）人；8人； （2），条形统计图补充如下： （3）994人 【解析】 【分析】（1）根据编程的人数和比例即可得出总人数，然后减去其他实践活动的人数即可； （2）根据360度乘以机器人所占比例即可得出圆心角，结合（1）中结果补全统计图即可； （3）用总人数乘以获奖人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：总人数为：人， 机器人参赛的人数是人； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 根据题意得：人． 18. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）是的切线， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】对于（1），作线段的垂直平分线，交于点E，作直线； 对于（2），根据“等边对等角”得，，再根据直角三角形两个锐角互余得，进而得出，则答案可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 20. 随着人民群众生活水平的提高，高层住宅越来越多，高层建筑的消防安全问题越来越受到人民群众的关注．某公司开发出新型高层建筑消防安全救援逃生系统，如图，为高层建筑，为消防安全救援逃生通道，小明为了测量建筑物的高度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进32米到达处，测得楼顶点的仰角为．已知． 请根据以上数据求建筑物的高度（测角仪的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据） 【答案】米． 【解析】 【分析】设米，在中解直角三角形可得，利用等腰直角三角形的性质可得，即，解得，最后求出的值即可解答． 【详解】解：设米． 在中，， ， ． 在中，． ， ， ，解得：， 米． 21. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元 （2）该游客最多购买11个A种挂件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 22. 在一次“校园科技节”物理探究活动中，某物理小组用发射器从距地面2米高的处将一个小球斜抛向前方．建立如图所示的平面直角坐标系，下图1中的抛物线表示小球的飞行高度（单位：）关于飞行水平距离（单位：）的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知小球发射后水平飞行时，飞行的最大高度是． （1）求关于的函数关系式； （2）如图2，为发射器，为标靶，小球由点射出，，若，则小球能否击中标靶？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能击中标靶． 理由是：由（1），知 ， 时， ， ∴不能击中标靶． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，将点代入求解即可； （2）将代入（1）中函数解析式与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，得抛物线顶点坐标为． 设抛物线解析式为， 在函数图象上， ， ， 即 ． 【小问2详解】 略 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题．如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： 老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： （2）“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先由菱形性质得、，再由等边三角形性质得、，通过角的等量代换推出，利用证明，根据全等三角形对应边相等即可得出； （2）先由菱形和平行线的性质推出，证明是等边三角形得，再结合(1)中的结论推出，最后利用且，通过等量代换即可得出； （3）先过点作于，利用角的三角函数求出、，再分点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别设，表示出和的长度，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下：四边形是菱形， ，， ， ， ，即， 是等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：． 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ， 分两种情况讨论： ①如图2，当点在线段上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； ②如图3，当点在线段的延长线上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $