精品解析：2026年河南省新乡市长垣市二模数学试题

九年级数学 注意事项： 1．本试卷三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数为． 2. 如图是一个立体图形的展开图，这个立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【详解】解：该立体图形展开图中有三个长方形，两个三角形，则这个立体图形是三棱柱． 3. 春季是树木花粉的散播高峰期，杨树、柏树等风媒花花粉颗粒小、质量轻、产量大、传播远，极易被吸入呼吸道诱发过敏．一颗柏树花粉的直径仅约为．的原数为（ ） A. 280000 B. 2800000 C. 0.0000028 D. 0.000028 【答案】D 【解析】 【分析】利用的还原规则，将的小数点向左移动位即可得到原数． 【详解】解：对于科学记数法，还原为原数时，需要把的小数点向左移动位， 对于来说，只需将的小数点向左移动5位，即可得到原数为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式运算与二次根式化简，根据完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方法则、二次根式的性质逐一判断选项正误． 【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意． 5. 以下事件中，是必然事件的是（ ） A. 太阳从西边落下 B. 走到有红绿灯的路口时，恰好是绿灯 C. 地球自东向西自转 D. 夏天会下冰雹 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件.只需要根据概念对各选项进行判断即可． 【详解】∵必然事件的定义为：一定条件下，必然会发生的事件是必然事件． A选项中，太阳东升西落是客观自然规律，太阳从西边落下一定发生，是必然事件． B选项中，走到红绿灯路口遇到绿灯是不确定事件，可能发生也可能不发生，是随机事件． C选项中，地球自西向东自转，自东向西自转不可能发生，是不可能事件． D选项中，夏天可能下冰雹也可能不下，是随机事件． 6. 2026年不但是建党105周年，也是国家“十五五”规划的开局之年，在党和国家的发展进程中具有承前启后的重要意义．某学校计划开展“重温党史、启航新程”活动，设置了经典诗词朗诵、读书笔记分享和展望未来画报三项活动，小明和小红都随机选了一项活动报名参加，则他俩选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可． 【详解】解：记三项活动分别为A，B，C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，小明和小红恰好选择同一项活动的有3种情况， ∴他们选择同一项活动的概率． 7. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵ ∴由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 8. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】选项A：， ， ，方程无实数根． 选项B：， ， ，方程有两个相等的实数根． 选项C：， ， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：整理得， ， ，方程有两个相等的实数根． 9. 如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点，连接．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，根据已知条件证得，得到，再在中，利用“直角三角形中，所对的边是斜边的一半”和勾股定理求解． 【详解】解；如图所示，过点作交于点， ， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 10. 生态学家们发现，虽然一个种群数量的上限和环境压力水平有关，但种群数量（个）随单位时间（天）的变化情况遵循同样的规律，将与之间的函数关系表示在平面直角坐标系中，得到如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ） A. 种群数量随着时间的推移不断增大 B. 每天增加的种群数量相同 C. 种群数量的平均增长速度约在第3天达到最大 D. 第5天结束时的种群数量为300个 【答案】C 【解析】 【详解】解：A. 根据函数图象可得，当时，种群数量随着时间的推移不断增大，故该选项不正确，不符合题意； B. 函数图象为“S”形曲线，每天增加的种群数量不相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 根据函数图象可得，种群数量的平均增长速度约在第3天达到最大，故该选项正确，符合题意； D. 第5天结束时的种群数量为400个，故该选项不正确，不符合题意； 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点是一次函数图象上的一点，且函数图象经过第一、二、四象限，请写出一个满足条件的函数表达式：________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质确定系数的取值范围，再结合已知点的坐标求解即可． 【详解】解：设满足条件的一次函数表达式为， 一次函数图象经过第一、二、四象限， ，， 将点代入， 得， 可取， 则满足条件的一次函数表达式为． 12. 关于，的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ②①，得： 合并同类项得 解得 把代入①，得： 解得 方程组的解为． 13. 如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点，若，四边形的面积为20，则四边形的面积为____． 【答案】10 【解析】 【分析】利用四边形中位线定理得出四边形是菱形，易证，得到，同理，得，通过面积转化即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，如图： 分别是的中点， ∴， 同理，得，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， 平行四边形是菱形， ， ∴， ∴， ∴， 同理，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定风车每4秒转顺时针一圈，1005秒后点的位置，然后根据旋转的性质，即可写出点的坐标． 【详解】解：风车平均每4秒转一圈，1005秒转动（圈）， 即风车在转动251圈后，又转动圈， 如图，，过、分别作、垂直于轴垂足分别为、， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵是第四象限的点， ∴． 15. 如图1，在中，．以为一边，在外作一个等腰三角形，使其顶角与相等，我们称是的“伴随三角形”．如图2，在中，，，若是的“伴随三角形”，且，则的长度为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】对等腰的顶角进行分类讨论，由可得只有或，分别利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意可得：是等腰三角形，且顶角与相等， 当时，如图所示，过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵等腰顶角， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： 同理可得：， ∵等腰顶角， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 蜜雪冰城为了保证稳定的供应和柠檬的品质，在四川安岳建立了全国最大的柠檬商品生产地，全县的柠檬种植面积达到了48万亩，覆盖果农33万人．在四川安岳随机抽取了20亩柠檬种植地调查亩产量，并进行统计分析，结果如下表，同时选取一棵土壤肥力、管理水平都处于中等水平的果树统计每颗柠檬的质量，按质量将柠檬分为3组：第一组：；第二组：；第三组，并将信息绘制成扇形统计图．其中第二组柠檬符合蜜雪冰城的要求，被称为类果． 亩产量 面积（亩） 组内平均数 6 950 10 1060 4 1150 根据以上信息，解答下列问题： （1）每颗柠檬质量的中位数落在第____组； （2）求这20亩柠檬种植地的总产量； （3）一家拥有100亩柠檬种植地的农户在调查结束后引入了现代化农业管理模式，包括水肥一体化管网系统、科学套袋、智慧农业等技术赋能与精细管护方式，此举不但实现了当年果园亩产量翻倍，还将A类果的占比提高到了．若A类果的收购价为，请计算该农户这年销售A类果的收入提高了多少万元． 【答案】（1）二 （2） （3）万元 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行判断即可； （2）将每组的亩数乘以对应的平均数，再求和即可； （3）先根据调查结果计算每亩的平均产量，再分别计算引入现代化农业管理模式前后，销售A类果的收入，作差得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，样本中，每颗柠檬质量的数据的第位数落在第二组， ∴中位数落在第二组； 【小问2详解】 解：． 答：这20亩柠檬种植地的总产量为； 【小问3详解】 解：由调查结果可知，原本每亩的平均产量为， 该农户原本销售A类果的收入为（万元）， 引入了现代化农业管理模式后，销售A类果的收入为（万元）， ∴收入提高了（万元）． 答：该农户这年销售A类果的收入提高了万元． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，且点为的中点．已知点的坐标为点的坐标为．以为圆心，长为半径画弧，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点C的坐标，将C点坐标代入，即可求出k值，得到反比例函数表达式． （2）将代入反比例函数表达式求出a值，得到D点坐标．因为都是的半径，所以先求出长度，再结合B、C、D三点坐标判断的度数，之后利用扇形面积公式求出扇形的面积，再求出的面积，用扇形面积减去三角形面积即可得到阴影部分面积． 【小问1详解】 解：为的中点，，， 点的坐标为． 将点代入，得， ． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接． 由题意得，， ． 将代入，得． 点的坐标为． ，的纵坐标都是1， 轴． ． ， ． ． ． 阴影部分的面积． 19. 如图，是的直径，是圆上位于上方的一点，是上一点，经过点的切线与的延长线交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点，连接．作出点，并说明四边形是矩形；（尺规作图部分不写步骤，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的直径为5，，，求的长度． 【答案】（1） 是的直径， ． ， ． 四边形是矩形． （2）4 【解析】 【分析】（1）以为顶点，为边，在的下方作，交于点即可；根据直径所对的圆周角是直角得出，根据平行线的性质求出，然后根据矩形的判定即可得证； （2）根据切线的性质并结合（1）中的结论可得出，根平行线的性质并结合已知可得出，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 的直径为5， ． 与相切， ． ． ， ． ， ． ． ，即． 解得． ． 20. 带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如图2是步行辅助器的侧面示意图．其中横杆与地面平行，框架与横杆的夹角，框架与把手（与地面平行）的夹角．已知长为，长为，点和点是车轮的圆心，车轮的半径为．求把手到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，把手到地面的高度等于车轮半径，利用三角函数分别求出，即可求出把手到地面的高度． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点， 由题意得， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵，车轮半径为， ∴． 答：把手到地面的高度约为． 21. 4月23日是世界读书日．某书店决定在世界读书日前购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多5元，用1400元购进A类图书的数量与用1050元购进B类图书的数量相同． （1）求A，B两类图书每本的进价各是多少元； （2）书店计划在4月推出“以租代买”活动，共有两个活动方案． 方案一：每本书租金为3元． 方案二：在书店办理5元/月的阅读卡后每本书租金为2元． 若你想在该书店租书阅读，该如何选择活动方案？ 【答案】（1）A类图书每本的进价为20元，B类图书每本的进价为15元 （2）当4月租书量小于5本时，选择方案一；当4月租书量大于5本时，选择方案二；当4月租书量等于5本时，两个方案都可以． 【解析】 【分析】（1）设B类图书每本的进价为元，则A类图书每本的进价为元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设4月租书的数量为本，方案一的费用为元，方案二的费用为元．易得，．然后分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设B类图书每本的进价为元，则A类图书每本的进价为元． 由题意得．解得∶． 经检验，是原方程的根，且符合题意．此时． 答：A类图书每本的进价为20元，B类图书每本的进价为15元． 【小问2详解】 解：设4月租书的数量为本，方案一的费用为元，方案二的费用为元． 方案一：．方案二： ． 当时， ． 解得． 当时，． 解得． 当时，． 解得． 答：当4月租书量小于5本时，选择方案一；当4月租书量大于5本时，选择方案二；当4月租书量等于5本时，两个方案都可以． 22. 一辆车沿直线匀速移动，经过某处开始刹车，刹车后的时间为，车辆在刹车后行驶的距离为，设车辆未刹车前的行驶速度为，关于的函数关系满足．（为常数） （1）如果该车刹车前的行驶速度为，刹车后，车辆距离刹车处的距离为．求此时关于的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）求（）中车辆刹车后行驶的最远距离； （3）当忽略路况、天气和车辆质量变化的影响时，同一台车关于的函数关系式中二次项系数的值相同．若（）中的车辆以的速度行驶在高架桥上，前方同一车道的处停着一辆事故车．若一个人正常清醒情况下的反应速度为，请通过计算说明不变道的情况下，两车是否会相撞． 【答案】（1）； （2）车辆刹车后行驶的最远距离为； （3） 不会相撞，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）将，，代入即可得解； （2）由 可得当的最大值即刹车后行驶的最远距离； （3）根据题意得出此时刹车后行驶的最远距离，再加上反应时间内车辆行驶的距离，与事故车的距离对比即可说明是否相撞． 【小问1详解】 解：将，，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解： ， 当时，取最大值，最大值为， （1）中车辆刹车后行驶的最远距离为； 【小问3详解】 解：两车不会相撞，理由如下： 此时， 即车辆刹车后行驶的最远距离为， 则从发现事故车到车辆停止，总共行驶的距离为， ， 两车不会相撞． 23. 在中，，是的中点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点与点关于直线对称，直线交于点． （1）如图1，当，时，连接． ①填空：______，______（用含的代数式表示） ②求和的度数； （2）如图2，当时，的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若发生改变，请求出的大小． 【答案】（1）①；；②； （2）不变．理由如下： 如图2，连接． 设， ，是的中点， ，， 则． ，， 是等边三角形． ， 则． ， ． ． ，关于直线对称， ． ． 【解析】 【分析】（1）①先利用旋转的性质与等边三角形的判定得出是等边三角形，进一步得出，，利用三角形内角和定理即可求解；②利用即可求出，延长，得出，，进一步得到，利用对顶角相等得到，即可求解． （2）先证明是等边三角形，得到，．利用三角形内角和定理求出，再利用轴对称的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①∵在中，，是的中点， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴； ②， 如图，延长， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个立体图形的展开图，这个立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 圆锥 3. 春季是树木花粉的散播高峰期，杨树、柏树等风媒花花粉颗粒小、质量轻、产量大、传播远，极易被吸入呼吸道诱发过敏．一颗柏树花粉的直径仅约为．的原数为（ ） A. 280000 B. 2800000 C. 0.0000028 D. 0.000028 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下事件中，是必然事件的是（ ） A. 太阳从西边落下 B. 走到有红绿灯的路口时，恰好是绿灯 C. 地球自东向西自转 D. 夏天会下冰雹 6. 2026年不但是建党105周年，也是国家“十五五”规划的开局之年，在党和国家的发展进程中具有承前启后的重要意义．某学校计划开展“重温党史、启航新程”活动，设置了经典诗词朗诵、读书笔记分享和展望未来画报三项活动，小明和小红都随机选了一项活动报名参加，则他俩选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点，连接．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 生态学家们发现，虽然一个种群数量的上限和环境压力水平有关，但种群数量（个）随单位时间（天）的变化情况遵循同样的规律，将与之间的函数关系表示在平面直角坐标系中，得到如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ） A. 种群数量随着时间的推移不断增大 B. 每天增加的种群数量相同 C. 种群数量的平均增长速度约在第3天达到最大 D. 第5天结束时的种群数量为300个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点是一次函数图象上的一点，且函数图象经过第一、二、四象限，请写出一个满足条件的函数表达式：________． 12. 关于，的二元一次方程组的解为_____． 13. 如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点，若，四边形的面积为20，则四边形的面积为____． 14. 传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 15. 如图1，在中，．以为一边，在外作一个等腰三角形，使其顶角与相等，我们称是的“伴随三角形”．如图2，在中，，，若是的“伴随三角形”，且，则的长度为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 蜜雪冰城为了保证稳定的供应和柠檬的品质，在四川安岳建立了全国最大的柠檬商品生产地，全县的柠檬种植面积达到了48万亩，覆盖果农33万人．在四川安岳随机抽取了20亩柠檬种植地调查亩产量，并进行统计分析，结果如下表，同时选取一棵土壤肥力、管理水平都处于中等水平的果树统计每颗柠檬的质量，按质量将柠檬分为3组：第一组：；第二组：；第三组，并将信息绘制成扇形统计图．其中第二组柠檬符合蜜雪冰城的要求，被称为类果． 亩产量 面积（亩） 组内平均数 6 950 10 1060 4 1150 根据以上信息，解答下列问题： （1）每颗柠檬质量的中位数落在第____组； （2）求这20亩柠檬种植地的总产量； （3）一家拥有100亩柠檬种植地的农户在调查结束后引入了现代化农业管理模式，包括水肥一体化管网系统、科学套袋、智慧农业等技术赋能与精细管护方式，此举不但实现了当年果园亩产量翻倍，还将A类果的占比提高到了．若A类果的收购价为，请计算该农户这年销售A类果的收入提高了多少万元． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，且点为的中点．已知点的坐标为点的坐标为．以为圆心，长为半径画弧，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积．（结果保留） 19. 如图，是的直径，是圆上位于上方的一点，是上一点，经过点的切线与的延长线交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点，连接．作出点，并说明四边形是矩形；（尺规作图部分不写步骤，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的直径为5，，，求的长度． 20. 带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如图2是步行辅助器的侧面示意图．其中横杆与地面平行，框架与横杆的夹角，框架与把手（与地面平行）的夹角．已知长为，长为，点和点是车轮的圆心，车轮的半径为．求把手到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 21. 4月23日是世界读书日．某书店决定在世界读书日前购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多5元，用1400元购进A类图书的数量与用1050元购进B类图书的数量相同． （1）求A，B两类图书每本的进价各是多少元； （2）书店计划在4月推出“以租代买”活动，共有两个活动方案． 方案一：每本书租金为3元． 方案二：在书店办理5元/月的阅读卡后每本书租金为2元． 若你想在该书店租书阅读，该如何选择活动方案？ 22. 一辆车沿直线匀速移动，经过某处开始刹车，刹车后的时间为，车辆在刹车后行驶的距离为，设车辆未刹车前的行驶速度为，关于的函数关系满足．（为常数） （1）如果该车刹车前的行驶速度为，刹车后，车辆距离刹车处的距离为．求此时关于的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）求（）中车辆刹车后行驶的最远距离； （3）当忽略路况、天气和车辆质量变化的影响时，同一台车关于的函数关系式中二次项系数的值相同．若（）中的车辆以的速度行驶在高架桥上，前方同一车道的处停着一辆事故车．若一个人正常清醒情况下的反应速度为，请通过计算说明不变道的情况下，两车是否会相撞． 23. 在中，，是的中点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点与点关于直线对称，直线交于点． （1）如图1，当，时，连接． ①填空：______，______（用含的代数式表示） ②求和的度数； （2）如图2，当时，的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若发生改变，请求出的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $