海南华侨中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级第二次阶段考 数学科 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，则的共轭复数 A． B． C． D． 2．已知向量，，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为 A．4 B．6 C．8 D．12 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则与相交 D．若，，则与至多有一个公共点 6．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石．已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为 A． B． C． D． 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为 A． B． C． D． 8．设向量，，满足，，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有 A、三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形可以确定一个平面 10．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是 A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 11．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是 A．平面 B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，，则__________． 13．请写出一个周期为2的函数：__________． 14．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为__________；若点是线段上的动点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，其中． （1）若是纯虚数，求实数的值： （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 16．（15分）已知向量，，且函数． （1）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数最小值及对应的的值； （2）若，且，求的值． 17．（15分）正方体的棱长为2，为棱的中点． （1）求证：平面 （2）设平面作平面，求证：； （3）求三棱锥的体积． 18．（17分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）如图，的角平分线交于点，且，， （ⅰ）求的长度； （ⅱ）若边上的中线与相交于点，求的余弦值． 19．（17分）对于给定，设其外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”． （1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”； （2）证明：“分离比”； （3）试求出“分离比”的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级第二次阶段考数学科参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C2.A3.D4.C5.D6.B7.A8.D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.AB 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-313.f(x)=sinr(答案不唯-)14.40m,25 四、解答题（本大题共5小题，共77分，应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15.(本小题满分13分) m2-m-2=0 【详解】(1)若z是纯虚数，则需满足 m2-3m+2≠0 由m2-m-2=（m-2)m+1=0解得m=2或m=-1,， 由m2-3m+2=(m-1)(m-2）≠0解得m≠1且m≠2， 综上，实数m的值为-1； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，则需满足 m2-m-2<00, m2-3m+2>0 由m2-m-2=（m-2)(m+1)<0解得-1<m<2, 由m2-3m+2=(m-1)(m-2)>0解得m<1或m>2, 所以不等式组①的解为-1<m<1, 即实数m的取值范围为(-1,1). 16.(本小题满分15分) 【详解】(1)因为m= （2n吃5or+n》-(os克n-mr》】 所=指=2如5w号5os登mm-5cs=2如(-写引 函数了八国的图檬上的点的级坐标不变，横坐标缩木为原来的分斜y=2sn2x一写引 月所等很有左平移经个单位，为a=2[+到引引-m2x+引 4 当2x+及=3π+2km,k∈Z时，即x 62 2π+kx,keZ时，f(x)n=-2 @因为-2sm(引号所以m引号 所以co)m司引-22， 所以sinx= [到mo-52y591a 6 17.(本小题满分15分) 解：(1)证明：连结DB,设DBAC=G,连结EG, ,正方体ABCD-A'B'CD'中，四边形ABCD为正方形，∴.G是BD的中点， 又E是DD'的中点， .BD'∥EG,又BD平面ACE,EGC平面ACE .BD'∥平面ACE (2)证明：由(I)知：BD'∥平面ACE,又BDc平面ABCD 且平面ACE平面ABCD'=I,.BD'∥I (3)解：正方体AC中，由D'E=1,AD=2, 可得：Sa-)DE~AD=)X1×2=1,C到平面AED'的距离为正方体楼长2， 2 2 1 2 VCE=Vc-ABD=?SA4ED·2=-x1×2=日 3 3 18.(本小题满分17分) 【详解】(1)在△ABC中，由bsin B-csinC+(c-a)sinA=0及正弦定理，得b2-c2+(c-a)a=0, 即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得c0sB=0C=2C=),而0<B<π，所以B=刀 2ac 3 (2)(i)已知∠ABC的角平分线交AC于点D,则∠ABD=∠CBD= 6 007s*084087s088ns0附·0S+00S=9出O9V2— Γ2 即x3x4x5-x4xBDx+5×3xBD×5,解得BD=12,5 22 22 7 (i)因为CE为△ABC的中线， 所以CE=CA+C8)=cB+B1+CB)=8A-2BC, 又CE-481-2BC=4BA-B1BC+8C=4-6+9=7,则C=V万， 因为AB=4,|BC=3,∠ABC=?,BD为∠ABC的角平分线， 在△ABD中，因为，AD AB AD 得到 AB-①， sin∠4BD sin∠BDA sin sin∠BDA 6 在△BDC中，因为 CD BC 存到Co BC ②， sin∠DBC sin∠BDC sin sin∠BDC 6 又sin∠BDA=sin∠BDC,由①÷②得到 ADAB4 DCBC3' 所以80=B1+40=84+号4C=81+8C-8d到-号81+8c, 同8ncE-号8+8c)4-28c-6a-2818c-8c） 316-2438- 18 ioDFEBD.CE)C BD.CE 7 V21 14 即LDFE的余弦值为-2 14 19.(本小题满分17分) (1)设等腰直角三角形△ABC的直角边长为a,则斜边长为√2a, 直角三角形外接圆直径即为斜边，则R=V20 2 由面积公式得S=a=a+a+2ar,解得r a2-v2 2 2 2a R ∴f== 2 =√2+1. r a2-V2 2 (2)由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 R sin C, 三角形面积S=。absinC=abc, 1 4R 又S=r.a+b+c 2 2S abc .r= a+b+c 2R(a+b+c) RB2R(atbc(atb+c)(sind+sin B+sinC)sin d+sin B+sinc abc abc 8Rsin Asin Bsin C 2sin Asin B sin C (3)sin A+sin B=sin 2 A+B+C=π， A+B ∴.sin =sin πC） C =C0S一 2 22 2 CA-B .sin A+sin B=2cos-cos 2 21 sinC=2 sin-cos÷ 2 2 C4-B+2sincos c A-B +sin C .sin A+sin B+sin C=2cos-cos cos 2 2 2 2 2 S C A-BcosA+B=2C0s2 =2c0s 2 cos- 0s1cos6。o.C 2 d cosB=4cos -cos 2 2 A。BC .sin d+sin B+sinc 4cos- 2 2sin Asin Bsin C 2.2sin A B.cos B.2sin cos 2 osA.2sin号co CC 4sin A:B sin C sin 2 2 2 2 2 2 令=2y=2,=分，则x+y+2=即x+y= AB。C 2 2 则sin xsiny=cos(x-川-cos(x+y cos(x--川cos[8 cos(x-y)-sinz 2 2 cosx-y)≤1， sin xsin y-m2,放sin xsin ysinz≤sn2sn3, 令t=sinz,则te(0,1, 则y-1-s加到sn二转化为g=山-，业-+行，函数开日向下，对称轴为1= 2 222 2 当林0取太热大方8明，马 1 此时t=sinz= )，则z=,又x=y，x=y=z三 6 6 则A=B=C=T,即△ABC为等边三角形附， 3 n4sin号simS取最大位g, 、1 sin 22 8 1 ∴.fmin=，1 =2. 4× 8