精品解析：2026年山东临沂市罗庄区初中学业水平考试适应性训练试题 数学（二模）

2026年初中学业水平考试适应性训练试题 数学 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，，，中只有是有理数，其余三个都是无理数. 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意 3. 神舟十九号飞船在轨道上运行时，每小时飞行约28800千米，科学记数法表示为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【详解】解：千米千米. 4. 如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）        A.     B.     C.     D.     【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图定义求解即可． 【详解】解：从几何体正上方向下观察： 该几何体从左到右共3列，从后到前（远离正面到靠近正面）共3行； 最后排（靠上）、中间排都有3个正方体，左中右三列都有正方形；最前排（靠下）只有右列存在1个正方体，对应位置只有1个正方形， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项定义，单项式除法法则，平方差公式，积的乘方法则，对各选项逐一判断． 【详解】A． 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误． B．，结果不等于，故本选项错误． C． ，等式左右相等，故本选项正确． D．，结果不等于，故本选项错误． 6. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设乙车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将时间单位统一为小时，再根据速度关系得到甲车速度，最后利用“甲车行驶时间比乙车多5分钟”列方程即可. 【详解】解：，设乙车速度为，乙车速度是甲车速度的倍， 甲车速度为，甲车行驶全程的时间为，乙车行驶全程的时间为， 甲车先走，两车同时到达，即甲车比乙车多行驶， 列方程得. 7. 为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正五边形的性质求出，然后由正方形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴． 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出所有选取两个不同数的等可能结果，再找出和为奇数的结果，利用概率公式计算即可，用到奇偶加法性质：偶数奇数奇数，奇数奇数偶数． 【详解】解：∵在质数2，3，5中随机选取两个不同的数，所有等可能的结果共3种，分别为，，． 其中和为奇数的结果共2种，分别为，． ∴所求概率为． 9. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为．若点恰好为线段最靠近点的一个四等分点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与交于点M，根据矩形和翻折的性质可得，再设，则，并根据勾股定理得，然后根据面积相等表示出，接下来根据求出a，即可得出答案． 【详解】解：设与交于点M， ∵四边形是矩形， ∴． 根据翻折的性质，得， 设，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴． 10. 如图，在平行四边形中，，，、分别是边、上的动点，且．当的值最小时，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长至点H，使，连接，根据平行四边形的性质证明，进而得到，当A、E、H三点共线时，有最小值，证明，则，据此求出的长． 【详解】解：如图，延长至点H，使，连接， 四边形是平行四边形， 、、、， ， 在和中， ， ， ， ， 当A、E、H三点共线时，有最小值， ， ， ， ， ， ， 解得：． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ，即. 12. 关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大的原则确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0. 再结合方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0. 解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， 根的判别式，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为_______________（用含a的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，根据题意可得运算结果可以表示为：． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得：， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ∴“2”上边的数是，“20”右边的数表示4，上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算及解不等式组 （1）计算：； （2）求不等式组的解集． 【答案】（1） （2）原不等式组的解集为： 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 17. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 18. 某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长交于，延长交于，设，在中，，可得，，在中，通过，列出方程，解方程求得，最后通过，求得的值． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， 由题易知，四边形为矩形， 则， 设，则， 在中，， ， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 则， 答：书圣阁的高度约为m． 19. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程 430 440 450 460 470 车辆数/辆 2 3 6 5 4 型号 平均里程 中位数 众数 A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【分析数据】（1）小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______； （3）由上表填空：______；______； 【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）20，图见解析；（2）72；（3）430；450；（4）选择C型，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．掌握定义是解题的关键． （1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为390km的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（1）（辆）， 的数量为：（辆）， 补全条形统计图如下： 故答案为：20； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：72； （3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应第第10，11辆的平均数， ，， ∴， C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程的出现次数最多共6辆， ∴． 故答案为：430，450； （4）∵三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数，中位数，都是最高的， ∴选择C型号的纯电动汽车较为合适． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数可得答案；再将点代入反比例函数关系式求出点，然后将两个点的坐标代入一次函数表达式为得出方程组，求出解即可； （2）先求出直线与坐标轴的交点，，进而求出，，再根据得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，再根据“两点之间线段最短”可得的最小值等于的长，再求出直线的解析式，然后令求出，则此题可解． 【小问1详解】 解：在反比例函数上， ， 反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ， ， 设一次函数表达式为， ， ，， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，如图，设直线交轴于点，交轴于点，又直线为， 当时，；当时，， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：由题意，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 根据“两点之间线段最短”可得的最小值等于的长， 与关于轴对称， 为．又， 设的解析式为， 则， 解得， 直线为． 令，则， ． 21. 如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； 【小问2详解】 略． 22. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． （1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：． 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先证，得到，，再根据和内角和推导，证即可得出结论； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证； （3）由（2）知点，则点G的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧上，再根据α的变化求圆心角即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是含有的直角三角尺， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 故答案为：，； （2）证明：是直角三角形，是的中点， ， 由（1）知， 是直角三角形， ， ； （3）解：由（2）知，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧， 连接，， 旋转角从变化到， 此时点的运动路线就是， 取中点，连接， ，，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 的长度为， 即点经过路线的长度为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、弧长公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1）=；>；< （2） （3）b的值为或 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由的最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 是由向下平移1个单位得到，且与x轴交点的坐标分别为，，， ，且， ，，； 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）可知：， ； 【小问3详解】 解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得或（不符合题意，舍去）， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性训练试题 数学 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 神舟十九号飞船在轨道上运行时，每小时飞行约28800千米，科学记数法表示为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）        A.     B.     C.     D.     5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设乙车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为．若点恰好为线段最靠近点的一个四等分点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，、分别是边、上的动点，且．当的值最小时，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________． 12. 关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为_______________（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算及解不等式组 （1）计算：； （2）求不等式组的解集． 17. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 18. 某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 19. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程 430 440 450 460 470 车辆数/辆 2 3 6 5 4 型号 平均里程 中位数 众数 A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【分析数据】（1）小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______； （3）由上表填空：______；______； 【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标． 21. 如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 22. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． （1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：． 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 23. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $