精品解析：安徽蚌埠京师实验高级中学等多校联考2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（2）

高一5月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以在复平面内对应点的坐标为． 2. 若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】设该扇形的圆心角为α，半径为r． 因为扇形的弧长与面积的数值相等， 所以，解得． 3. 为了得到一个偶函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角函数图象的平移规律得到平移后的函数表达式，再根据偶函数的性质判断平移的单位长度即可. 【详解】由题意知，平移后函数为偶函数，结合原函数的解析式，可设其解析式为 ， 设将原函数的图象向左平移个单位长度， 即得， 因该函数为偶函数，则有， 则得 ，解得 故当时，，将函数的图象向左平移个单位长度，即得的图象. 4. 已知，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，为纯虚数，故充分性成立； 当为纯虚数时，解得，故必要性成立． 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件． 5. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知力，则力对该物体所做的功为（ ） A. 14 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意得，又， 所以力对物体所做的功． 6. 如图为四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形的两锐角分别为α，β（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直角三角形的直角边分别为a，b，使用三角函数的定义和二倍角公式求解. 【详解】不妨设直角三角形的直角边分别为a，b，且，则， 所以，解得（负值舍去），所以． 所以，，所以，，则． 7. 在中，边上的中线为，的中点为E，过点E的一条直线与，分别交于点F，G．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由中线与中点关系，推导出，因三点共线，所以，由、，对比两组基底系数，消去中间参数，化简算出. 【详解】如图： 由题意可得．因为E是AD的中点， 所以． 因为F，E，G三点共线，所以， 因为，所以， 所以消去x，可得． 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差化角与积化和差公式化简题设等式，代入条件，利用二倍角公式将其整理成关于的一元二次方程即可求解． 【详解】由，可得（*）， 因为，， 代入（*）可得． 因为，则，， 则得， 即， 设,则得,即． 因为，所以，解得,即． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数和，则（ ） A. 和的图象的对称轴相同 B. 和的值域相同 C. 和的最小正周期相同 D. 和的零点相同 【答案】BC 【解析】 【分析】化简可得，作两函数图象，结合图象判断结论. 【详解】，作出和的图象如图所示，由图可知，A，D错误，B，C正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. D. 的零点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断A，应用正弦及余弦函数单调性及值域判断B，C，应用正弦函数值及零点定义计算判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为R，且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，令，则，由正弦函数在上单调递增，可得的值域为，故B错误； 对于C，，， 因为，，所以，， 所以，，则，故C正确； 对于D，令，可得，又，所以，则，故D正确． 11. 在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等边三角形，则其布洛卡角 C. 若，则 D. 若，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用三角形内角和与诱导公式，证明A选项；再结合等边三角形的对称性与正弦定理，求解B选项的布洛卡角；接着对、用正弦定理，结合正弦定理的边角关系推导出C选项的比例式；最后利用余弦定理和均值不等式分析D选项的最值，得出D错误． 【详解】对于A，因为，所以， 而，所以，即， 所以，A正确； 对于B，因为为等边三角形，， 所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以，又，所以，，B正确； 对于C，在中，，即， 在中，，即， 所以，由正弦定理得， 因为，所以，即，C正确； 对于D，由，可得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最小值为，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解. 【详解】，. 故答案为：. 13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件与余弦定理求出边长，再使用面积公式求出面积. 【详解】由余弦定理得， 解得（负值舍去），所以． 又因为，所以， 所以△ABC的面积为． 14. 已知是的重心，若，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用重心向量公式，结合数量积为零，可得边角关系，再结合余弦定理，可利用基本不等式来求最值． 【详解】设角的对边分别为．因为是的重心， 所以，． 因为，所以， 所以， 即， 又， 代入可得， 即， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为， 则的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求向量与的夹角的余弦值； （2）当为何值时，与垂直？ 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，进而利用夹角的坐标运算求得向量与的夹角的余弦值； （2）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，利用数量积的坐标运算可求得的值. 【小问1详解】 因为， 所以． 所以． 设与的夹角为， 则． 【小问2详解】 因为， 所以． 因为与垂直， 所以，即， 解得． 16. 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记，． （1）若，求； （2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC和△BOD的面积分别为，，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数值的定义得到，的值，进而根据两角和差公式即可求解； （2）结合（1），倍角公式，及同角三角函数的关系即可求解． 【小问1详解】 因为，所以． 由题可知，，，， 且，，，． 若，即，则， 所以． 【小问2详解】 结合（1），有， ， 又，则，所以． 因为，则，所以，． 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以， 所以， 又因为，所以，即， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以点在直线上． 因为，所以，即为边上的高． 由余弦定理可得， 所以． 由等面积法可得， 即，解得． 18. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）解不等式； （3）若方程在上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出函数的值域； （2）先通过换元法，将关于 的一元二次不等式转化为关于 的不等式，解出的范围；再结合 的值域，舍去无意义的解；最后解三角不等式，得到的解集； （3）先求解方程，得到的表达式，再根据的取值范围确定根的个数，最后计算的值. 【小问1详解】 ， 令，因为，所以， 由正弦函数的性质可知，，， 故在上的值域为． 【小问2详解】 令 ，则：， 因式分解：，解得：或， 因为，且，所以无解，则， 所以：，即：， 所以 ， 解得： ， 所以原不等式的解集为：. 【小问3详解】 作出的图象和直线，如图所示， 因为，所以，即， 所以，或， 解得：或， 由图可知，的图象与直线在内有5个交点， 则所有根从小到大依次为：， 由正弦函数图象的对称性，可知的图象关于或对称， 因此：，，，， 所以 . 19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设，记在上的最小值为，求； （3）设，若，，使得成立，求β的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像求出相应的参数从而求出函数； （2）结合小问（1）的函数表达式与题目图像，对进行分类讨论； （3）求出，在满足条件的情况中找出的最大值大于即可. 【小问1详解】 由题图可知，， 因为，所以． 由五点作图法可知，解得． 所以． 【小问2详解】 令，因为，所以， 当时，有， 由图象可得． 当时，有， 由图象可得， 综上所述， 【小问3详解】 因为，所以． 作出的图象如图所示： ，，使得成立，只需． 当时，单调递减， 由，可得x在长度为的区间上变化， 只需求出在上的所有最大值中的最小值． 如图，当区间关于直线对称时，在上的最大值取得最小值，即为， 所以． 又，所以，所以β的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一5月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 为了得到一个偶函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知力，则力对该物体所做的功为（ ） A. 14 B. 12 C. 8 D. 6 6. 如图为四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形的两锐角分别为α，β（），则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，边上的中线为，的中点为E，过点E的一条直线与，分别交于点F，G．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数和，则（ ） A. 和的图象的对称轴相同 B. 和的值域相同 C. 和的最小正周期相同 D. 和的零点相同 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. D. 的零点为 11. 在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等边三角形，则其布洛卡角 C. 若，则 D. 若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则__________. 13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________． 14. 已知是的重心，若，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求向量与的夹角的余弦值； （2）当为何值时，与垂直？ 16. 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记，． （1）若，求； （2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC和△BOD的面积分别为，，若，求． 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，，，求． 18. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）解不等式； （3）若方程在上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设，记在上的最小值为，求； （3）设，若，，使得成立，求β的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $