精品解析：安徽省广德中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

安徽省广德中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题 一、单选题 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则，所以的虚部为 2. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 3. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作的平行线交于M点，解三角形计算结合斜二测画法的意义即可得出结果. 【详解】 过作的平行线交于M点，则易知， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是. 故选：A 4. 设为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的公式，即可求得，进而平方再开方求解模长. 【详解】由题意可得，且，则， 所以. 5. 购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设3个盲盒分别为，三个动漫手办分别为, 总情况数：每个盲盒有3种可能，3个盲盒的总情况数为27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有6种情况，分别为；；； ；；， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为. 6. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若⊥，m，则m⊥ C. 若m⊥，mn，n，则⊥ D. 若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【解析】 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 7. 已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm，下底半径为18cm，母线长为17cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作两个这样的灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为. 8. 已知平面向量满足：，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合极化恒等式即可求解. 【详解】令，，，的中点为，如图所示： 因为，所以， 又因为为的中点，所以，， 则， 所以， 因此 ， 当且仅当时，上式不等式可取等号. 此时取得最小值. 二、多选题 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 10. 已知复数，下列说法一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例可判断AB；根据复数加减法的几何意义及坐标表示可判断C；根据复数模长的乘法运算可判断D即可. 【详解】对于A，设，显然，但，故A错误： 对于B，当时， 则，， 满足，但此时都是虚数，而虚数之间不能比较大小，故B错误； 对于C，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量， 复数加减法对应向量加减法，故将和， 分别为和为邻边构成的平行四边形的两条对角线的长度， 所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 11. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A. 当P在线段BC₁上运动时， B. 当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C. 当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，证明平面即可证明；对于B，求三棱锥的体积判断B的真假；对于C，根据线线角的概念确定与所成角的取值范围，判断C的真假；对于D，判断点轨迹，求的轨迹长度判断D的真假． 【详解】对于A，如图所示，连接，， 为平行四边形，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 同理可证， ，平面，平面， 平面，，故A正确； 对于B，当在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故B错误； 对于C，如图所示，取中点，连接，，， 易知为等边三角形，故． 当在线段上运动时， 因为，所以或其补角为异面直线与所成角． 当与重合时，异面直线与所成角为． 当与不重合时，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的范围为，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与平面所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）， 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 12. 一组数据6，4，，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的上四分位数为_______. 【答案】10 【解析】 【详解】由题意可得：，解得， 将数据按升序排列可得：3，4，6，6，8，10，12， 则，从小到大，选择第6个数据作为上四分位数，即10. 13. 某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】依题意用表示，再利用诱导公式与余弦定理列出关于的方程，从而得解. 【详解】设四门通天铜雕的高度， 由，可得， 在中，因为，所以， 可得， 即，解得， 所以旗杆的高度为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是抓住，利用余弦定理得到关于的方程，从而得解. 14. 正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】求上下底面正三角形的外接圆半径，设球心位置并列方程，求球的半径，求球的表面积. 【详解】上底面边长，其外接圆半径，则，， ， 下底面边长，其外接圆半径，则，， ， 设球心到上底面的距离为，球的半径为， 因为棱台高为，所以球心到下底面的距离为， 根据球心到上下底面顶点距离相等， 则有： ，代入，， 得到， 解得， 将代入，得到 ， 则球的表面积为 . 四、解答题 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）众数为75，平均数为74 （3）总平均数为60，总方差为23 【解析】 【分析】（1）根据各组小矩形的面积之和为1，即可求解； （2）最高小矩形中点的横坐标即为众数，根据平均数的计算公式即可求解平均数； （3）根据分层随机抽样的平均数与方差公式即可求解. 【小问1详解】 各组小矩形的面积之和为1， ， . 【小问2详解】 由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为. 故估计样本成绩的众数为75，平均数为74. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的人数为，成绩在的人数为， 故两组成绩合并后的总平均数为， 总方差为. 16. 如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面间的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【小问1详解】 在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. 【小问2详解】 平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为. 17. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可； （2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 由正弦定理得，， ， ， ，， 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， ， ，, ， ，，， 所以的取值范围为. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，，是角平分线，交于. （1）求的长. （2）延长至点，使得，求. （3）若是角平分线所在直线上一点，且满足（，），若，求取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式得到，得到，再由，结合三角形面积公式，解得. （2）在、中，由余弦定理求得，，根据角平分线定理求得,再在中，利用余弦定理求得； （3）设，结合，得，则，由得，结合，得. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得. 因为，，所以， 所以， 所以 因为，所以, 因为是角平分线，所以. 由， 根据三角形面积公式，可得 . 即， 解得. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理,得， 所以， 在中，，， 由余弦定理， 则. 由是角平分线，得，所以. 在中，，，， 由余弦定理； 【小问3详解】 设，则 ∴，则 . ∵，∴ ∵，∴，解得. ∵，∴ 19. 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． （1）当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 （2）若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 【答案】（1）①证明见解析 ；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由已知得再根据面面垂直的性质、判定定理，即可证；②取的中点，连接，根据已知及二面角定义得为二面角的平面角，进而求其正切值； （2）过P点作，垂足为H，应用正弦定理、三角形面积公式、棱锥的体积公式得，令，结合同角三角函数关系及相关函数性质求体积的最大值. 【小问1详解】 ①分别是边的中点，， 在等腰直角，则，即 因平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，平面平面； ②取的中点，连接， 由①可知平面，平面，则， 由是边的中点，，， ，为中点， ，平面， 平面，因平面，， 为二面角的平面角， 平面，平面， 在中， 所以二面角的正切值为. 【小问2详解】 过P点作，垂足为H，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 在中，由正弦定理，，则， ， ， 令， ，，则， ， 令，则函数在单调递增， 当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省广德中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题 一、单选题 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 3. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 设为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 5. 购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若⊥，m，则m⊥ C. 若m⊥，mn，n，则⊥ D. 若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 7. 已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm，下底半径为18cm，母线长为17cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作两个这样的灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量满足：，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 10. 已知复数，下列说法一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 11. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A. 当P在线段BC₁上运动时， B. 当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C. 当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 三、填空题 12. 一组数据6，4，，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的上四分位数为_______. 13. 某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为______m． 14. 正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为________． 四、解答题 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 16. 如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面间的距离. 17. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，，是角平分线，交于. （1）求的长. （2）延长至点，使得，求. （3）若是角平分线所在直线上一点，且满足（，），若，求取值范围. 19. 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． （1）当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 （2）若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $