山东省淄博市桓台一中附属学校2024年九年级中考前测试数学试题

**基本信息** 以神舟十三号航天图标、外卖平台统计等真实情境为载体，通过几何综合（如矩形旋转）、函数应用（如抛物线与四边形面积）等题型考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配三模分层备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、中心对称、几何图形、统计量|第2题以航天图标考中心对称，体现科技情境；第5题结合外卖费考统计量，落实数据观念| |填空题|5/20|二次根式、因式分解、抛物线平移、旋转|第13题定弦抛物线平移，考查空间观念；第15题含旋转的动态几何，培养创新意识| |解答题|8/90|几何证明、统计分析、函数综合、圆与三角形|第22题圆中内心与动点路径，考查推理能力；第23题抛物线与角平分线综合，体现模型应用|

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码。 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不允许使用计算器。 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 5．不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列为负数的是(     ) A. B. C. D. 2. 年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(     ) A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 3. 两个矩形的位置如图所示，若，则(     ) A. B. C. D. 4. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是(     ) A. B. C. D. 5．我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是(     ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 已知的半径为，是的弦，点在弦上．若，，则长为(     ) A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论： 四边形是菱形；； ；若平分，则． 其中正确结论的个数是(     ) A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是(     ) A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(     ) A. B. C. D. 10. 如图，在▱中，对角线，相交于点，，，若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为(     ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.请直接填写最后结果. 11. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________________． 12. 如图，根据图形把多项式因式分解为          __________． 13. 若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________. 第12题图 第14题图 第15题图 14. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，联结，那么线段的长度为_____． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为______． 三、解答题：本大题共8 个小题，共 90 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分10分） (1)先化简，再求值：，其中，． (2)解不等式组： ． 17.（本小题满分10分） 如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且， ， ，垂足分别为，，且 求证：平分， 若，，求的长． 18.（本小题满分10分） 张老师为了了解学生训练前后定点投篮情况规则为在罚球线投篮次，统计进球个数，对本班男、女生的投中个数进行了统计，并绘制成如图频数分布折线图． 小红根据图列出表格： 人数 平均数 众数 中位数 男生 女生 请你帮助小红完成表格中的据：          ，          ，           通过张老师对投篮要点的讲解和示范，一周后学生的投中个数比训练前明显增加，全班投中个数变化的人数的扇形统计图如图所示，求训练后投中个数增加次的学生人数和全班增加的投中总个数 从训练前投中数是个的名同学中随机抽取名同学，作为投篮示范生，求抽取人恰好都是女生的概率． 19.（本小题满分10分） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． 求这两个函数的表达式； 请结合图象直接写出不等式的解集； 若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标． 20.（本小题满分12分） 某市为实现网络全覆盖，年拟建设基站七千个如图，在坡度为：的斜坡上有一建成的基站塔，基站塔与水平地面垂直，小明在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走米到达处，在处测得塔顶的仰角为点、、、均在同一平面内参考数据：，， 求处的竖直高度； 求基站塔的高． 21.（本小题满分12分） 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个元，在销售过程中发现，日销售量个与销售单价元之间满足如图所示的一次函数关系． 求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围； 若该玩具某天的销售利润是元，则当天玩具的销售单价是多少元？ 设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 22.（本小题满分13分） 在⊙O中，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），∠ACB＝120°，点I是△ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD，BD． （1）求证：AD＝BD； （2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由． （3）在⊙O的半径为2，点E，F是的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长． 23.（本小题满分13分） 已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4)、B(-3，0），过点A作直线AC//x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接AD，CD. （1）求抛物线的表达式； （2）在直线CD的下方y轴左边的抛物线上取一点N,过点N作NG//y轴交CD于点G，求四边形CNOG面积的最大值； （3）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ,请求出点Q的坐标. 初四数学练习题参考答案（仅供参考） 1、 选择题（每小题4分，共计40分.） 1-10. DBCADDBABC 2、 填空题（每空4分，共计20分） 11. 且 12.  13.（-1，-4） 14. 15.或  三、解答题（共8个题，共计90分） 16.(10分) (1)解： ， 当，时，原式．  (2)解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 故不等式组的解集为．  17.（10分） 证明：，， ， 在和中， ≌， ， ，， 平分； 解：≌，， ， ， ， ，， ， 在和中， ≌， ， ， ．  18.（10分） (1)  、、 (2)人，即训练后投中个数增加次的学生为人个，即全班增加的投中总个数为个． (3)由折线图可知，有名男生和名女生，共计人，均是投中个球，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取人恰好都是女生的结果数为，即抽取人恰好都是女生的概率是． 19．（10分） 解：把代入，得： 反比例函数的解析式为； 把代入  得：  把、代入 得：解得： 一次函数的解析式为； 根据图象得：当或时，． 不等式的解集为或； 如图，设直线与轴交于点， 直线与轴交于点，点坐标为， 的面积为，  ， ，  或， 点的坐标为或． 20.（12分） 解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，， 斜坡的坡度为：， ， 即， 设米，则米， 在中，米，由勾股定理得， ， 即， 解得， 米，米， 答：处的竖直高度为米； 斜坡的坡度为：， 设米，则米， 又， 米， 米， 在中，米，米， ， ， 解得， 米，米， 米， 米， 答：基站塔的高为米．  21.(12分) 解：设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点． 把这两点的坐标代入一次函数， 得， 解得， 一次函数的关系式为； 根据题意，设当天玩具的销售单价是元， 由题意得， ， 解得：，， 当天玩具的销售单价是元或元； 根据题意，则， 整理得：； ， 当时，有最大值，最大值为； 当玩具的销售单价定为元时，日销售利润最大；最大利润是元．  22.(13分) （1）证明：∵点I是△ABC的内心， ∴CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝×120°＝60°， ∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∠BAD＝∠BCD＝60°， ∴△ADB为等边三角形， ∴AD＝BD；---------------------------------------------------------3分 （2）解：AB＝DI． 理由如下：连接AI， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI＝∠BAI， ∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI＝60°+∠BAI， ∠DIA＝∠ICA+∠CAI＝60°+∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DA＝DI， ∵△ADB为等边三角形， ∴AB＝AD， ∴AB＝DI；-----------------------------------------------------------3分 （3）由（2）得AD＝DI＝DB， ∴点I在以D点为圆心，DA为半径，圆心角为60°的弧上， 连接DE、DF交此弧于点I′、I″，如图， ∴当点C从点E运动到点F时，点I随之运动形成的路径长为弧I′I″的长， ∵点E，F是的三等分点 ∴∠ADE＝∠EDF+∠FDB＝20°， 连接OA，作OH⊥AD于H，则AH＝DH， ∵△ADB为等边三角形， ∴∠OAH＝30°， ∴OH＝OA＝1，AH＝OH＝， ∴AD＝2， ∴弧I′I″的长度＝＝π， 即点I随之运动形成的路径长为π．-------------------------------------------4分 23.(13分) （1）抛物线过点A（1，4），B（-3，0） ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）当y=4时，则 +3x=4 解得： ∴点C的坐标为（-4，4） 设直线CD的解析式为， 将C（-4，4），D（4，0）代入，得： 解得： ∴直线CD的解析式为 如图，在直线CD的下方y轴左边的抛物线上取一点N，过点N做NG∥y轴交CD于点G，连接CN，NG，OG 设点N的坐标为 则点G的坐标为 ∴ ∵-1＜0 ∴当时，NG取最大值，最大值为 当NG取最大值时，四边形CNOG面积最大 （3）当y=4时，则+3x=4 解得： ∴点C的坐标为（-4，4） ∵A（1，4），D（4，0） ∴ 取点E（-1，0），连接CE交抛物线于点Q，如图所示 ∵AC=5，DE=4-（-1）=5,AC∥DE。 ∴四边形ACED为平行四边形 ∵AC=AD ∴四边形ACED为菱形， ∴CD平分∠ACQ 设直线CE的解析式为， 将C（-4,4），E（-1,0）代入，得： 解得： ∴直线CE的解析式为 ∴联立直线CE与抛物线解析式组成方程组， 得： 解得：， ∴点Q的坐标为（） 初四数学　第5页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $