精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星湖学校2026年中考二模数学卷

江苏省苏州市苏州工业园区星湖学校2026年中考二模数学卷 （满分130分，调研时间120分钟．） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A为，是负数； 选项B：，是正数； 选项C：，是正数； 选项D：，是正数； 又∵有理数大小比较中，负数小于所有正数， ∴四个数中最小的数是． 2. 为了节能出行，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，下列新能源车标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 据人民网消息2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出品40317000万元，创历史同期新高，同比增长．数据40317000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法解题即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，完全平方公式，同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，同底数幂除法和幂的乘方逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 不等式的非负整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键．直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案． 【详解】解：， 解得：， 则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个． 故选：D． 6. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，先根据三角形的外角的性质得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点A、B分别在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，求角的正切值以及相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再证明，所以，整理得解得，故，即可作答． 【详解】解：分别过作轴，作轴，如图所示： ∵轴，轴， ∴ ∵点A、B分别在反比例函数的图像上， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 则， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∴在中，， 故选：A 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值4 B. 最大值7 C. 最小值4 D. 最小值7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应的位置上．） 9. 在函数中，自变量的取值范围是________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 10. 因式分解： ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，因式分解的方法主要包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，则需要涂漆的面积为________（结果保留π）. 【答案】72 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积等于πrl计算即可. 【详解】12÷2=6cm, π×6×12=72（cm2）. 故答案为72. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于πrl. 12. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 人工智能与我们的学习生活的关系日益密切，某班为调查同学对人工智能了解情况，设计了一张含有10个问题的调查问卷，答对题数和答对人数的情况如下表所示，则答对题数量的中位数是_______． 答对题数 7 8 9 10 答对人数 5 19 20 6 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 利用中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：本次调查的人数为， 所以中位数取排序后的第25位和26位数的平均数， 所以中位数是， 故答案为：9． 14. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率为____． 【答案】20% 【解析】 【分析】设平均每月增长的百分率是，那么10月份的利润是元，11月份的利润是元，而此时利润是3600元，进而可列出方程． 【详解】解：设平均每月增长的百分率是，由题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均每月增长的百分率应该是． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，是平均增长率问题．解题的关键是掌握等量关系一般是：增长前的量平均增长率）增长的次数=增长后的量． 15. 如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是____________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，连接，过点O作于点H，证明，得，再证明是的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点H，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴点为的中点， 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴圆心O到的距离是2.4． 故答案为：2.4． 16. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间的距离公式等知识点．作交的延长线于点，设，则，，证明，求得，，利用勾股定理求得，，即，则的最小值为点到点和点的距离最小，再利用坐标与图形的性质求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， 设， ∵， ∴，， ∵正方形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为点到点和点的距离最小，如图， 作点关于的对称点，连接， 则的最小值为的长， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共11小题，共82分，把解答过程填写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算或证明过程．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将代入求解． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接，作射线，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线作图、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）由作图可知，，平分，则，由，，即可得到结论； （2）证明，，得到，则，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：由作图可知，，平分， ∴ ∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 21. 青少年园林模型创意实践活动包括．“A．古建守护创新活动”、“B．四大园林团体场景创意活动”、“C．园林智能模型创意活动”3个项目．小聪和小明拟从上述3个项目中随机选一个项目参加活动． （1）小聪选中“A．古建守护创新活动”的概率是______； （2）小聪和小明恰好选中同一个项目的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法和概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小聪选中“A．古建守护创新活动”的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 由题意，列表如下： A B C A B C 共9种等可能的结果，其中小聪和小明恰好选中同一个项目的结果有3种， ∴小聪和小明恰好选中同一个项目的概率． 22. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 补全统计图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）根据的人数与占比求得总人数，再求得的占比，进而求得的值，根据的占比乘以，即可得出图②中所在扇形的圆心角； （2）先求得、的数量，再补全统计图，即可求解； （3）用，即可求解． 【小问1详解】 解： 的占比为 ∴，则， 图②中所在扇形的圆心角是， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：的人数是：人， 的人数是：人， 【小问3详解】 估计全校选择的人数是人 23. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积． 【答案】（1）1； （2）4或14 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质： （1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数经过 ∴ ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 令，解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ①点在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重合，如图， ∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合， 将代入，则， ∴， 在反比例函数中，当时，， ∴， ∴， ②点在线段的延长线上， 同理得：，， ∴， 在反比例函数中，当时，， ∴， ， 综上所述，或14． 24. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 （2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 25. 如图，中，．以为直径的交于点，交于点，过点作，且使，连接． （1）求证：为的切线； （2）已知的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定，直径定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数解直角三角形，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据平行线的性质证出，得到，根据直径定理得到，继而根据平行线的性质可得出结论； （2）连接，，利用圆内接四边形的性质得出，证出，然后利用锐角三角函数和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵， ， ， 又∵， ， ∵为的直径， ， ， ∵， ， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵为的直径， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ∵的半径为5， ∴， ∵为的直径， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 由勾股定理得． 26. [理解概念] 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的________； （2）钝角三角形的“矩形框”有________个； （3）[巩固新知] 如图①，的“矩形框”ABDE的边，，则周长的最小值为________cm： （4）如图②，已知中，，，，求的“矩形框”的周长； （5）[解决问题] 如图③，锐角三角形木板ABC的边，，，求出该木板的“矩形框”周长的最小值． 【答案】（1）或一半 （2）1 （3） （4）14cm或 （5） 【解析】 【分析】（1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （3）如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短，且 再利用勾股定理可得答案； （4）当AC或BC与“矩形框”一边重合时，利用矩形的性质直接可得答案；当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D．再利用等面积法求解CD，从而可得答案； （5）分三种情况讨论：当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F．再利用勾股定理求解．可得此时矩形框的周长为： 当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D．求解．可得此时矩形框的周长为： 当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E．求解．可得此时矩形框的周长为： 从而可得答案． 【小问1详解】 解： 故答案为：或一半； 【小问2详解】 由矩形框的含义可得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边， 所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为1 【小问3详解】 如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短， 由对称的性质可得 而 此时： 故答案为： 【小问4详解】 当AC或BC与“矩形框”一边重合时，周长为； 当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D． ∵在中，， ∴， ∴． ∵． ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为14cm或． 【小问5详解】 当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F． 设，则， 在中，∵，∴． 在中，∵，∴． ∴，解得， ∴． 此时矩形框的周长为： 当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D． ∵． ∴． 此时矩形框的周长为： 当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E． ∵， ∴． 此时矩形框的周长为： ∴当BC与“矩形框”一边重合时，周长最小， 可知该木板的“矩形框”周长的最小值为 【点睛】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，二次根式的化简，清晰的分类是解本题的关键． 27. 如图①，在平面直角坐标系中，若菱形满足，轴，则称该菱形为“标准可放缩菱形”．抛物线与轴交于点，，顶点为点，与轴交于点． （1）求二次函数的函数表达式； （2）若菱形的顶点与点重合，点恰好落在抛物线上，求点的坐标； （3）如图②，已知抛物线的顶点为点，其中，直线与抛物线，对称轴右侧的曲线分别交于点，，且，两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点，重合，求的值和点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，解直角三角形，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）①设直线与轴分别交于点，求出点坐标，作交的延长线于点，求出，平行线的性质推出，求出点坐标，待定系数法求出的值；②根据的值，得到直线和抛物线的解析式，进而求出的坐标，求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，，顶点为点，与轴交于点交， ， 把，代入，得， 解得， 【小问2详解】 解：， 当时， 解得，， ， ， 菱形，轴， ，轴， 当菱形的顶点与点重合，点恰好落在抛物线上时，分两种情况： ①当点在上方时，如图，作轴， 则 设，， ，， ， ， 即， 点恰好落在抛物线上， ， 解得或（舍去）， ； ②当点在下方时，如图， 同理可得， ， 解得或（舍去）， ， 综上，或； 【小问3详解】 解：设直线与，轴分别交于点，， 当时，， ， ， ，两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点、重合，如图，作交的延长线于， 则，轴，， ， ， 设，，则， ， ， 轴， ， ， ， ， 把代入， 得， ； 可知直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 联立， 解得或（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市苏州工业园区星湖学校2026年中考二模数学卷 （满分130分，调研时间120分钟．） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 2. 为了节能出行，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，下列新能源车标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据人民网消息2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出品40317000万元，创历史同期新高，同比增长．数据40317000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的非负整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点A、B分别在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值4 B. 最大值7 C. 最小值4 D. 最小值7 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应的位置上．） 9. 在函数中，自变量的取值范围是________； 10. 因式分解： ________ 11. 给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，则需要涂漆的面积为________（结果保留π）. 12. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是_____． 13. 人工智能与我们的学习生活的关系日益密切，某班为调查同学对人工智能了解情况，设计了一张含有10个问题的调查问卷，答对题数和答对人数的情况如下表所示，则答对题数量的中位数是_______． 答对题数 7 8 9 10 答对人数 5 19 20 6 14. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率为____． 15. 如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是____________． 16. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为_______． 三、解答题：（本大题共11小题，共82分，把解答过程填写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算或证明过程．） 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接，作射线，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 青少年园林模型创意实践活动包括．“A．古建守护创新活动”、“B．四大园林团体场景创意活动”、“C．园林智能模型创意活动”3个项目．小聪和小明拟从上述3个项目中随机选一个项目参加活动． （1）小聪选中“A．古建守护创新活动”的概率是______； （2）小聪和小明恰好选中同一个项目的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 22. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 23. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积． 24. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 25. 如图，中，．以为直径的交于点，交于点，过点作，且使，连接． （1）求证：为的切线； （2）已知的半径为5，，求的长． 26. [理解概念] 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的________； （2）钝角三角形的“矩形框”有________个； （3）[巩固新知] 如图①，的“矩形框”ABDE的边，，则周长的最小值为________cm： （4）如图②，已知中，，，，求的“矩形框”的周长； （5）[解决问题] 如图③，锐角三角形木板ABC的边，，，求出该木板的“矩形框”周长的最小值． 27. 如图①，在平面直角坐标系中，若菱形满足，轴，则称该菱形为“标准可放缩菱形”．抛物线与轴交于点，，顶点为点，与轴交于点． （1）求二次函数的函数表达式； （2）若菱形的顶点与点重合，点恰好落在抛物线上，求点的坐标； （3）如图②，已知抛物线的顶点为点，其中，直线与抛物线，对称轴右侧的曲线分别交于点，，且，两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点，重合，求的值和点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $