专题05 一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题05 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用根的判别式判断根的情况 题型二、利用根的判别式求字母的值 题型三、利用根的判别式求字母的取值范围 题型四、利用根的判定式证明方程一定有根或无根 题型五、利用根的判别式解决与三角形有关的问题 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 题型七、利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 题型八、根的判别式与根与系数关系的综合应用 题型九、一元二次方程的整数根问题（培优） B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用根的判别式判断根的情况 1．（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的判别式判断即可． 【详解】解：∵ ∴根的情况是有两个相等的实数根 故选：B 4．（24-25九年级上·广西钦州·期中）已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边关系得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，则 ， ∵a，b，c分别是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ∴原方程没有实数根， 故选：D． 题型二、利用根的判别式求字母的值 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，解方程即可．解题的关键是掌握：根的判别式是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴实数的值是． 故答案为：． 6．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 7．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题时能根据方程根的情况建立关系式是关键． 依据题意，由方程有两个相等的实数根，从而，进而计算可以得解． 【详解】解： 方程有两个相等的实数根， 故答案为： 8．（2024·甘肃定西·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式，当时，方程有实数根；当时，方程没有实数根；本题中根据方程有实数根，得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三、利用根的判别式求字母的取值范围 9．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元一次方程的解，根据二次系数非零及根的判别式，找出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．分类讨论及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，即：时，方程为：，有实数根； 当时， 解得：且， 综上所述：， 故选：B． 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程有两个实数根，求解，且即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， 又． ∴，且． 故选：C． 11．（2024•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D． 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且k≠﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的不等式组是解题的关键． 12．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 题型四、利用根的判定式证明方程一定有根或无根 13．（2024秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根． 【分析】计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论． 【详解】证明：∵m≠0， Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2） ＝m2﹣4m+4+8m ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2≥0， ∴方程一定有实数根； 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了有理数的整除性． 14．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式得出，据此可得答案． 【详解】证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 15．（2024春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可． 【详解】（1）证明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1） ＝4a2+4a+1﹣8a+8 ＝4a2﹣4a+1+8 ＝（2a﹣1）2+8， ∵（2a﹣1）2≥0， ∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0， ∴此方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9， ∴（2a﹣1）2＝1， 解得：a1＝0，a2＝1， ∵a≠1， ∴a＝0． 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键． 16．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知是关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值； (2)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念以及根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的取值范围是解决本题的关键． （1）将代入方程中即可求解k的值； （2）通过计算方程的根的判别式并判断其取值范围，当根的判别式时，方程有两个不等的实数根；当根的判别式时，方程有两个相等的实数根；当根的判别式时，方程没有实数根，由此即可证明． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程可得， 整理可得，解得； （2）证明：∵ ， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根． 题型五、利用根的判别式解决与三角形有关的问题 17．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长． 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长． 【详解】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，即b2+8b﹣20＝0； 解得b＝2，b＝﹣10（舍去）； ①当a为底，b为腰时，则2+2＜7，构不成三角形，此种情况不成立； ②当b为底，a为腰时，则7﹣2＜7＜7+2，能够构成三角形； 此时△ABC的周长为：7+7+2＝16． 答：三角形的周长是12． 【点睛】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解． 18．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根 （2）解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得：， 方程为， 解得或， 等腰的三边长分别为，符合题意； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上， 19．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为10 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程，确定出三边长，根据三角形的三边关系定理可得此情况舍去． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4， ∴， 解得， ∴方程为， 解得或， ∴、的值分别为2、4， ∴的周长为； 当边长为4的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴方程为， 解得， 此时，不符合三角形的三边关系，舍去； 综上，的周长为10． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 20．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； (2)若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． 【详解】（1）证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 21．设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 22．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若关于的一元二次方程的两根为，则（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数之间的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 23．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出和的值，再将通分变形，代入求值．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ ，． ∴ 故选：C． 24．（2023九年级上·湖南岳阳·专题练习）已知方程的两根是、． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，巧妙的将式子变形转化是解题的关键． （1）根据题意由韦达定理可得，，然后利用完全平方公式，将式子变形，代入数值，即可求解； （2）先确定的符号，由此可得，，再由利用完全平方公式进行变形，再代入数值即可求解． 【详解】（1）解：（1）由韦达定理可得：，， ， 则的值为； （2）由（1）可知，， 且， ，， 则，， ， 由， ， 则的值为4． 题型七、利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 25．（25-26九年级上·天津·开学考试）关于的一元二次方程有两个不等实根、．若方程两实根满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 根据根的判别式得出k的取值范围，再根据根与系数的关系得出k的值． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 由根与系数的关系，得． ， ， 解得：或， 又 ∵， ∴． 26．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 27．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围； （2）由根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：由根与系数的关系可知：，， ∴， ∴或， ∵； ∴． 28．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围 (2)若方程的两实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 题型八、根的判别式与根与系数关系的综合应用 29．（2024·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程． (1)如果方程有两个相等的实数根，求的值； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系： （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，再由，即可得，则． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是这个方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 31．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知：关于的方程． (1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若方程有两个实数根，且，求值． (3)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义．一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）先计算出，由此即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再由得到，求解即可得到答案； （3）根据题意得出求出，从而得到原方程为：，解得，由此即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得： ， 无论取任何实数值，方程总有两个实数根； （2）解：方程有两个实数根， ，， ， ， 解得：； （3）解：等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根， ， 解得：， 原方程为：， 解得：， 的周长． 32．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键． （1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程； （2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可． 【详解】（1）解：正确，理由如下， ∵， ∴， ∴关于的方程一定为一元二次方程； （2）解：当时，， ∴该方程为， ①∵该方程有实数解， ∴， ∴， 解得：； ②，整理得：， ∵和是该方程的两个实数解， ∴，， ∴代入中，得：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵由①得：； ∴． 题型九、一元二次方程的整数根问题（培优） 33．（24-25九年级上·北京·阶段练习）若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值为 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解得方法是解题关键． 根据题意得出且，确定或，然后验证即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴且， ∴或， 当时， 方程的根为， 当时， 方程的根为， ∴的值为2或8， 故答案为：2或8． 34．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）若关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数，则正整数k的值为 ． 【答案】1 【分析】先确定出k≠0，再求出x1=1，x2=-3+，再根据方程的解为整数和k为正整数，即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0有解， ∴k≠0，△＝（4k﹣1）2﹣4k（3k﹣1）＝16k2﹣8k+1﹣12k2+4k＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0， ∴， ∴x1＝-1，x2＝﹣＝﹣3+， ∵关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数， ∴是整数， ∵k为正整数， ∴k＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程. 35．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数． 当时，该方程为一元一次方程，则，此时，满足题意；当时，该方程为一元二次方程，由韦达定理可得，，故，进而解得，，或，，此时或，满足题意． 【详解】解：若，则， 此时，满足题意； 若，即，此时方程为一个一元二次方程， 设方程的两个整数根为，，且， ， 即，由韦达定理可知，， 从而， ∴， 则，，或，， 解得，，或，， 算得对应的或，均满足判别式， 综上所述，或或． 36．（2024秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值． 【分析】（1）求出Δ＝b2﹣4ac即可证出结论； （2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定a的值． 【详解】（1）证明：∵Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（a﹣2）， ＝4a2﹣8a+4﹣4a2+8a， ＝4＞0； ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：，x1＝1，． ∵方程的根均为整数， ∴为整数， ∴a＝±1或a＝±2， ∴正整数a为1，2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0时，方程由两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 1．（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，根据一元二次方程的定义可得，根据方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解． 【详解】解： 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 且． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东日照·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得，再根据方程有实数根可得，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 4．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 6．（24-25八年级下·山东东营·期中）已知：关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2009 【分析】本题考查了一元二次方程. （1）根据根的判别式计算即可； （2）将代入原方程得到，再代入计算即可. 【详解】（1）证明：， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程有一个根为3， ，即． ． 7．（23-24八年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 8．（24-25八年级下·北京房山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 【答案】(1)当时，方程的解为，， 当时，方程的解为， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键． （1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程； （2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积． 【详解】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 10．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）已知：关于的一元二次方程为常数． (1)当原方程有两个相等的实数根时，求的值； (2)若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时的值． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行列式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． ∵原方程有两个相等的实数根 ∵， 则 解得或； （2）解：∵的两根分别是和， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得 ∴ 解得或． ∵ 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； ∴或． 11．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两个实数根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1或2 【分析】（1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得：，， ∵方程的两个实数根都是正整数，即是正整数， ∴整数或2． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式是解此题的关键，一元二次方程（a、b、c为常数，），当时，方程有两边不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 【答案】(1)且 (2)，或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，且，然后解不等式即可得到m的范围； （2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程，然后把它的解代入可计算出n的值． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得且； （2）解：∵且， ∴m的最大整数为，此时方程变形为， 解得，， 把代入，得：， 解得； 把代入，得：， 解得． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用根的判别式判断根的情况 题型二、利用根的判别式求字母的值 题型三、利用根的判别式求字母的取值范围 题型四、利用根的判定式证明方程一定有根或无根 题型五、利用根的判别式解决与三角形有关的问题 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 题型七、利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 题型八、根的判别式与根与系数关系的综合应用 题型九、一元二次方程的整数根问题（培优） B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用根的判别式判断根的情况 1．（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（24-25九年级上·广西钦州·期中）已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 题型二、利用根的判别式求字母的值 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 6．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 7．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为 ． 8．（2024·甘肃定西·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 题型三、利用根的判别式求字母的取值范围 9．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 11．（2024•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D． 12．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 题型四、利用根的判定式证明方程一定有根或无根 13．（2024秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根． 14．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 15．（2024春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 16．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知是关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值； (2)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 题型五、利用根的判别式解决与三角形有关的问题 17．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长． 18．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 19．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； (2)若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 21．设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 22．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若关于的一元二次方程的两根为，则（    ） A．7 B． C．3 D． 23．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　） A． B． C． D． 24．（2023九年级上·湖南岳阳·专题练习）已知方程的两根是、． (1)求的值； (2)求的值． 题型七、利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 25．（25-26九年级上·天津·开学考试）关于的一元二次方程有两个不等实根、．若方程两实根满足，求的值． 26．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 27．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 28．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围 (2)若方程的两实数根分别为，，且，求的值． 题型八、根的判别式与根与系数关系的综合应用 29．（2024·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程． (1)如果方程有两个相等的实数根，求的值； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 30．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 31．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知：关于的方程． (1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若方程有两个实数根，且，求值． (3)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 32．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 题型九、一元二次方程的整数根问题（培优） 33．（24-25九年级上·北京·阶段练习）若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值为 ． 34．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）若关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数，则正整数k的值为 ． 35．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 36．（2024秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值． 1．（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 3．（25-26九年级上·山东日照·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围 ． 4．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 6．（24-25八年级下·山东东营·期中）已知：关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 7．（23-24八年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 8．（24-25八年级下·北京房山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 10．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）已知：关于的一元二次方程为常数． (1)当原方程有两个相等的实数根时，求的值； (2)若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时的值． 11．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两个实数根都是正整数，求整数的值． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $