专题06 期末真题百练通关（70题12大填空小压轴题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末填空小压轴，涵盖四边形与函数12类高频题型，70道真题构建从几何变换到代数应用的知识网络，强化直观想象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四边形综合|43题（折叠14题、最值8题）|以菱形、矩形、正方形为载体，考查折叠、旋转、动点最值|从图形性质到动态变换，构建空间观念与推理能力| |函数综合|27题（一次函数新定义7题、反比例+面积6题）|结合坐标系考查新定义、图形变换及面积计算|从坐标表示到函数模型，培养模型意识与应用能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06期末真题百练通关(70题12大填空小压轴题型) 真题实战：百练通关 题型1四边形最值（高频） 题型7 坐标变换 题型2四边形折叠（高频） 题型8坐标系中的新定义 题型3“四边形动点（高频） 题型9一次函数+等腰直角三角形 题型4四边形中旋转（高频） 题型10次函数新定义 题型5四边形面积 题型11一次函数平移、对称与旋转 题型6四边形新定义 题型12反比例函数+面积 题型1四边形最值（高频）（共8小题） 1.(25-26八年级下·上海奉贤期中)如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AB上的动点， AC=3,BC=4,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,那么线段EF的最小值是 D B 嘴1号 【详解】解：如图，连接CD, F B DE⊥AC,DF⊥BC, ∴∠CED=LACB=∠CFD=90°， :.四边形CEDF是矩形， :EF=CD, 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC=3,BC=4, ,AB=VAC2+BC2=V32+42=5, 1/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当CD⊥AB时， 1 :S.ABC= ○×BC三7AB×CDa 1 2x3x4-X5CD. 解得：CD=12 甲EF的原小恒为号 2.(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O点，AC=24,BD=10, 点P是边AB上的一个动点，则DP的最小值为一： B 【答案】120 13 【详解】解：在菱形48CD中，4C1BD01=号4C=12.OB=号BD=5, :AB=V52+122=13, :点P是边AB上的一个动点， .当DP⊥AB时，DP有最小值，如图， D 1 C.S爱张Cn=2XAC×BD=4B:DP, P B ÷2*24x10=13DP DP=120 13 20 DP的最小值为 13 3.(25-26八年级下·上海期中)如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，Q是BC中点，若菱 形周长是16，∠A=120°，则PC+PQ的最小值为 2/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D 【答案】2√5 【详解】解：如图，由菱形的对称轴可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ, :AP=CP, :.AQ即为所求PC+PQ的最小值. D 连接AC, :∠BAD=120°，四边形ABCD是菱形， ,AD∥BC,∠ABC=60°，AB=BC, △ABC是等边三角形， ”点Q为BC的中点， AQ⊥BC, :菱形ABCD的周长为16， :AB=BC=4, :在R1△ABQ中，∠ABC=60°， :.∠BA0=30°， 1 六B0=2AB=2x4=2, 2 A0=VAB2-BQ2=V42-22=2V5, .PC+PQ的最小值为2√3 4.(25-26八年级下·上海青浦·期中)如图，M为正方形ABCD的边AB上一动点，点P在边BC上， BP=2,连接PM,将PM绕点P顺时针旋转90°得到PN.若E,F分别为PN,PC的中点，连接EF, 则EF长的最小值为· 3/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】1 【详解】解：如图，过点P作PH⊥BC,且PH=PC,连接MH, H 将PM绕点P顺时针旋转90°得到PN, .PM=PN,∠MPN=∠HPC=90°， ∴∠MPN-∠HPN=∠HPC-∠HPN=90°，即∠MPH=∠CPN, 在aMPH和aNPC中， PM=PN ∠MPH=∠NPC, HP=PC △MPH≌△NPC(SAS, .MH =CN, :E、F分别为PN、PC的中点， .FFCN. ,当CN有最小值时，EF有最小值，即MH有最小值时，EF有最小值， 当MH⊥AB时，MH有最小值，此时，MH⊥AB,HP⊥BC,∠B=90°， .四边形BPHM是矩形， .BP MH=2, :MH的最小值为2， :EF的最小值为1. 5.(25-26八年级下·上海期中)如图，正方形ABCD的边长为2，E是对角线AC上一点，F是边BC的 4/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 中点，那么BE+EF的最小值为 D E 【答案】√5 【详解】解：如图，连接DF, D 正方形ABCD,AC是对角线， F :点B和D关于对角线AC对称， :BE DE, :.BE+EF DE +EF, 根据两点之间线段最短可知，当D、E、F三点共线时，BE+EF最小，即DF的长， :正方形ABCD的边长为2， .CD=BC=2,∠BCD=90°， :F是边BC的中点， :CF=1BC=1, 2 在RtaDCF中，DF=VCD2+CF2=V22+12=√5， 则BE+EF的最小值为√5. 6.(24-25八年级下·上海期中)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,AE平分∠BAD交BC于 点E,P为线段AE上一动点，动点M,N分别在边AD,CD上，且AM+CN=5,连接PM,PN,则 PM+PN的最小值是 M D N 5/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】13 【详解】解：如图，在AB上取一点M',使得AM'=AM,连接PM,NM',过点N作NH⊥AB于点H, A M D 四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°， :NH⊥AB, ∴∠BHN=90°， 四边形HBCN是矩形， .NH=BC=12,BH=CN :AE平分∠BAD交BC于点E, ∴∠M'AE=∠MAP AM'=AM,AP=AP .△M'AP≌△MAP .PM PM' 则PM+PN=PM'+PN≥NM' AM +CN=5 :AM'+CN AM'+BH =5 AB=10,BC=12, .HM'=AB-AM'+BH=10-5=5 则NM'=√HM2+NH2=V52+122=13 PM+PN=PM'+PN≥NM'=13 故PM+PN的最小值为13， 故答案为：13. 7.(25-26八年级下·上海宝山期中)如图，在菱形ABCD中，AD=4,∠A=135°，点E在射线AB上运动， 点M是线段DE的中点，则线段CM的最小值是 6/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A B M 【答案】√2 【详解】解：取AD的中点F,连接MF A E M ≥D:点M是线段DE的中点，点F是AD的中点 G :MF是ADE的中位线 ∴.MF II AB :四边形ABCD是菱形 :AB∥CD,ADCD4,LA+LADC=180° MF∥CD :点E在射线AB上运动 :点M在过点F且平行于CD的射线上运动当CM⊥MF时，线段CM的值最小，此时CM的长度等于平 行线MF与CD之间的距离过点F作FG⊥CD于点G :∠A=135 ∠ADC=180°-135°=459 “点F是AD的中点，AD=4 D=号A0=0 在RIAFGD中，∠FGD=90°，∠FDG=45° FG=DF=2x :线段CM的最小值是√2. 8.(25-26八年级下·上海杨浦·期中)如图所示，己知0为坐标原点，矩形ABCD(点A与坐标原点重合) 的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为(-4,8)，连接BD,将△ABD沿直线BD翻折至 △A'BD,A'B交CD于点E,试在x轴上找一点P,，使A'P+PB的长度最短，则最短距离为· 7192 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D O4)末 【答案】8v65 5 【详解】解：：点C的坐标为-4,8)，四边形ABCD是矩形， :.OD=BC=4,CD=0B=8, 如图所示，连接AA',与BD交于点G,过A作A'F⊥OB于点F, 由折叠知，A'B=0B=8,OG=A'G,OA'⊥BD, S.ow -1BD-OG=OD-OB, :0G=0D-0B=4x8_8V5 BDV4+825 0A=20G=16v5, 5 设OF=x,则BF=8-x, 由勾股定理得A'F2=OA2-OF2=A'B2-BF2, 16V5 2 即 -x2=82-(8-x)2, 5 ,即0F=16 解得x=16 A'F=OP-OF2=32 , 5) 3216 如图所示，作点关于x轴的对称点，连接BA”,与x轴交于点P,则A'P+PB=A"P+PB=A"B的值 最小， 8/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G PD O4) :B(0,8), ·A”B= 32)2 8V65 5 故4P+PB的长度的最短距离为86厨 5 题型2四边形折叠（高频）（共14小题） 9.(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF 沿EF翻折后，点B的对应点G恰好落在边CD上，如果EG⊥CD,BE=I0,DG=6,那么AE的长为 A E B 【答案】9 【详解】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H,则LH=90°， E G B H EG⊥CD, .BH∥EG, 9/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是菱形， .AB∥CD,AB=BC=CD, .BE∥GH, :四边形BEGH是平行四边形， .GH =BE =10, 由折叠得GE=BE=10, .BH=GE =10, DG=6, .DH=DG+GH=16, BH2+CH2=BC2,CH=16-CD=16-AB, :102+16-AB)2=AB2, 朝将-9 109 AE=AB-BE-89 10.(24-25八年级下·上海阶段检测)如图，在口ABCD中，AB=6,BC=4,∠ABC=60°，点E是 AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC,点A的对应点 为点C,点D的对应点为点G,则CF的长度为 【答案】2 【详解】解：解法一：如图，作EH⊥BC,连接AC, D 设EB=2x,则AE=AB-BE=6-2x; ∠ABC=60°， 10/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BEH=30°， :BH=x,EH=BE2-BH2=3x: :CH BC-BH =4-x; 由折叠可知：CE=AE=6-2x; 在Rt△ECH中， 由勾股定理得(4-x)2+(3x)2=(6-2x)2, 解药x子 57 .EC=6-2x=6-2× 42 :四边形ABCD是平行四边形， :AD=BC,∠D=∠ABC,∠BAD=∠BCD, 由折叠可知，AD=CG,∠D=∠G,∠BAD=∠ECG, BC=GC,∠ABC=∠G,LBCD=LECG, ,LBCE=∠GCF, 在△BCE和aGCF中， ∠ABC=∠G ∠BCE=∠GCF BC=GC :△BCE≌△GCF(ASA), .CE CF, :CF=CE=2 7 解法二：如图，作CK⊥AB于K,过E点作EP⊥BC于P, ∠ABC=60°，BC=4, ∴.∠BCK=30°， 11/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BK=2,CK=V42-22=2V3, :四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,∠D=∠ABC,∠A=∠BCD, 由折叠可知，AD=CG,∠D=∠G,LA=∠ECG, BC=GC,∠ABC=∠G,∠BCD=∠ECG, ∠BCE=∠GCF, 在△BCE和aGCF中， [∠ABC=∠G ∠BCE=∠GCF BC=GC △BCE≌△GCF(ASA): .CE=CF, ∠ABC=60°，∠EPB=90°， .∠BEP=30°， :BE =2BP, 设BP=m,则BE=2m, EP=VBE2-BP2=√5m, 由折叠可知，AE=CE, :AB=6, .AE CE =6-2m, BC=4, .PC=4-m, 在Rt△ECP中， 由勾股定理得(4-m)2+(3m)2=(6-2m)2, 解得e-子 EC=6-2m=6-2x3=7 42 :.CF=EC= 7 12/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2 7 11.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E为DC边上一点，连 接AE,将△DAE沿直线AE翻折，点D的对应点记作点F,且点F在对角线AC上，连接DF,与AE相 交于点O,则0E= A B 【答案】40 15 【详解】解：根据题意作图如下， D :将△DAE沿直线AE翻折，点D的对应点记作点F, .AF=AD=8,EF=ED,∠ADE=∠AFE,AE⊥DF, :矩形ABCD, .AB=CD=6,LADE=∠AFE=90°， .EF=ED=6-CE,AC=AD2+CD2=10, .CF=10-AF=2, 22+6-CE)2=CE2, 解得：CE=10 3 EF-ED- 8 .AE =AD2+DE2 8V10 xADXDE=x4ExOD. 2 :AD x DE AE xOD, 8810 .8× ×OD 33 13/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：OD=4v0 5 ∴.OE=VDE2-OD 410 6432 320288 32410 5 V9-5=V45 45 V45 15 故答案为： 4v10 15 12.(25-26八年级下·上海虹口期中)如图，矩形ABCD中，AD=4V2,E为AD上一点，将△EDC沿 EC翻折，点D的对应点G恰好为ABC的重心，那么DC= B 【答案】4 【详解】解：如图所示，延长CG交AB于点H, D B :点G为ABC的重心， BH=AB,CG =2GH :四边形ABCD是矩形， .AB=CD,BC=AD=4V2,∠B=90°， 由折叠的性质可得CG=CD, 设HG=x,则CG=CD=AB=2x, :BH=x,CH=3x, 在Rt△BCH中，由勾股定理得CH=BH2+BC2, (3x2=x2+(42, 解得x=2或x=-2(舍去)， CD=4. 13.(24-25八年级下·上海崇明期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P是边AB上一动点， 连接CP,将△BCP沿着CP翻折后得到△ECP,若EP、EC与边AD分别交于点F、G,且AF=EF,则 14/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AP的长为 B 【答案】 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=3,AD=BC=4, 由折叠的性质可得CE=BC=4,PB=PE,∠E=∠B=90°， ∠E=∠A 又：∠AFP=∠EFG,AF=EF, .△AFP≌AEFG(ASA, :EG=AP,PF=GF, AF+GF=PF+EF,即AG=PE, 设AP=EG=x,则AG=PE=PB=3-x, ..CG=CE-EG=4-x,DG=AD-AG=x+1, 在RIACDG中， 由勾股定理得CG2=CD2+DG, (4-x2=32+(x+1)2, 3 解得x=5' AP=3 故答案为：5 14.(24-25八年级下·上海期中)如图，在口ABCD中，AB=2AD=4,∠D=60°，点P是边CD上一点， 连接PB,沿PB折叠△BCP,使点C落在点N处，其中CP≥2，设PN与AB相交于点M,若△BMP的面 积为x,则x的取值范围是· 15/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B M N 【答案】5sxs 【详解】解：当点N,M重合时，CP=2, :此时△BMP的面积最小， 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H, C O 在口ABCD中，AB∥CD, B N(M) A ·∠DAH=∠ADC=60°， :∠ADH=90°-∠DAH=30°， AH=IAD=1, DH=AD2-AH2=22-1=3, 由折叠可得：BN=BC=BM=2, Sw-0H-2x5=5, :x的最小值为； 当点P与点D重合时，CP=CD=4, :此时△BMP的面积最大， 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H,过点M作MG⊥BN交BN的延长线于点G, C D(P) M 在ABCD中，AB∥CD,∠ADC=60°， B W G ∠BDC=∠ABD,∠C=180°-∠ADC=120°， 由折叠可得：∠BDC=∠BDN,∠BNM=∠C=120°，DN=CD=4,BN=BC=2, :∠ABD=∠BDN,∠MNG=180°-∠BND=180°-120°=60°， ·BM=DM,∠NMG=90°-∠MNG=90°-60°=30°， 设BM=DM=a,则NM=DN-DM=4-a, 16/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 NG-INM=2-10 0, 1 BG-BN+NG-2+2-7g-4--a, 2 :MG-NA-NG-(4-a)-2--32- BG2+MG2=BM2, 解得：a=14 即BM=14 .S.BMP= 8w01片5-2，即。 5 5 取值范围是V5≤x≤3 5 故答案为：V5sx≤7v5 5 15.(24-25八年级下·上海虹口期末)如图，在口ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=60°，E,F分别为边 AD、BC上的点（不与顶点重合），且AE=CF,连接EF,将四边形CFED沿着EF翻折得到四边形 CFED'.如果点C在口ABCD内部，那么AE的取值范围为 D 【答案】2.5<AE<4 【详解】解：如图，连接AC',当C落在BC上时， D E D F 由对折可得：CF=CF',∠CFE=∠CFE=90°，∠D=∠D',而AE=CF, .AE =C'F, :在ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=60°， AD∥BC,AD=BC=8,∠D=60°， .四边形AC'℉E为矩形， 17/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LAC'B=90°，∠BAC'=30°， cF=cr-8-动=25 AE=2.5, 如图，当C落在AB上时，连接AC',AD',AC交EF于K,连接C'K, D' B 同理可得：AE=CF=CF,∠CFE=∠C'FE,∠D=∠D'=60°， :AD∥BC, ∠AEF=∠CFE,∠BAD=180°-∠B=120°， :∠AKE=∠CKF, △AKE≌aCKF, .AK CK,EK FK, 由对折可得：CK=CK, :.AK C'K, .LKC'A=∠KAC',△C'FK≌△AEK, .LFCK=∠EAK, ∴∠EAC'=∠FC'A=120°， :∠AEF=∠C'FE=360°-240)=60°=∠CFE, .∠BC'F=60°=LB, :.△C'BF为等边三角形， BF=CF=CF7×8=4 AE=4, 同理可得：∠FED=180°-60°=120°=∠FED', ∠AED'=120°-60°=60°=∠D', △AD'E为等边三角形， 18/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .∠D'AE=60°， ∠D'AE+∠C'AE=180°， A在CD上， :点C在ABCD内部，那么AE的取值范围为：2.5<AE<4; 故答案为：2.5<AE<4 16.(24-25八年级上·上海浦东新·期末)己知AC和BD是矩形ABCD的两条对角线，将△ADC沿直线 AC翻折后，点D落在点E处，△AEC与矩形的重叠部分是△ACF,如果AB=6,BF=2,那么FC长为 【答案】4或2√10 【详解】解：如图，AB>AD时，CE交AB与点F, B :四边形ABCD是矩形， .AB∥CD,∠ABC=90°， :LCAB=∠ACD 由折叠性质知：∠ACE=∠ACD; .∠CAB=∠ACE, :FC=AF :AB=6,BF=2, ·AF=AB-BF=6-2=4 .FC=4: 如图：AB<AD时，AE交BC与点F, 19/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D :∠ABC=90,AB=6,BF=2, B F :AF=VAB2+BF2=V36+4=2V10: BC‖AD, :∠ACB=CAD, :∠CAE=∠CAD, ∠ACB=LCAE, :FC=AF=210, 故答案为：4或2√10. 17.(25-26八年级上·上海宝山期末)在矩形ABCD中，∠A=90°，AB=6,AD=8,点E是AD边上的 动点，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A落在点A处，当△A'DE为直角三角形时，线段AE的长为 【答案】3或6 【详解】解：：矩形ABCD中，∠A=90°，AB=6,AD=8, :BD=4B2+AD2=10, 由折叠性质可得A'B=AB=6,∠BA'E=LA=90°，AE=A'E, ·A'D=BD-A'B=4,∠EA'D=90°， 分两种情况：①当∠DA'E=90°时，如图， B 则∠BA'E+∠DA'E=I80°，所以点B、A、D三点共线， .BA'+A'D BD =10 ..A'D=BD-A'B=4, 设AE=A'E=x,DE=8-x, 20/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 RIAEA'D中，A'E2+A'D2=DE2, 即x2+42=(8-x)2, 解得x=3, AE=3. ②当∠A'ED=90°时， B 则LAEA'=90°， 四边形ABA'E是正方形， :AE AB=6. 综上，线段AE的长为3或6. 18.（2025上海松江二模)如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=5,点E在边CD上，将△ADE沿直线 AE翻折，点D落在点F处，联结BF、CF.如果△BCF是以BF为腰的等腰三角形，那么DE的长是 A B 【答案】三或55 2 3 【详解】解：如图1，△BCF是以BF为腰的等腰三角形，且BF=BC, G B E H 图1 :四边形ABCD是矩形，AB=8,AD=5, AD=BC,∠BAD=∠ADC=90°， 21/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :将△ADE沿直线AE翻折，点D落在点F处， .AF AD BC=5, :AF BF, 过点F作FG1AB于点G,交DC于点H,则AG=BG=AB=4, :∠AGH=∠GAD=∠ADH=90°， :四边形AGHD是矩形， DH=AG=4,GH=AD=5,∠DHG=90°， GF=VAF2-AG2=V52-42=3, FH=GH-GF=5-3=2, :EH:+FH2=FE2,EH=4-DE,FE DE, ∴.(4-DE)2+22=DE2, 解行DE- 如图2，△BCF是以BF为腰的等腰三角形，且BF=CF, 连接DF,过点F作FOLRC于点Q,交AD于点P,则B0=CQ=8C=, B 图2 :LPQB=LABQ=LBAP=90°， ·四边形APQB是矩形， 》=BQ= 2,∠4P0=90°， AP=DP=7 .PQ垂直平分AD, :AF DF, .AF AD =DF, ”△ADF是等边三角形， ∠DAF=60°， 22/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∠DAE=∠FAE=∠DAF=30°， :AE 2DE, AD=AE:-DE2=(2DE)-DE2=3DE=5, DE=5 3 综上所述，DE的长是5或5V3 2 3 故答案为： 3或55 2 3 19.(24-25八年级下·上海徐汇期末)如图，己知矩形ABCD中，AB=5,AD=3,E是射线DC上一点， 将矩形沿着直线AE翻折，点D的对应点F恰好和点B、E在一条直线上，则DE的长为一 D C B 【答案】1或9 【详解】解：：矩形ABCD中，AB=5,AD=3, ∠A=∠D=∠C=∠B=90°，BC=AD=3,CD=AB=5, 当E在线段CD上，如图， D E C :将矩形沿着直线AE翻折，点D的对应点F恰好和点B、E在一条直线上， AF=AD=3,∠AFE=∠D=90°，DE=FE, ∠AFB=90°， BF=√AB2-AF2=V52-32=4, 在RtaBCE中，CE2+BC2=BE2, (5-DE)2+32=(4+DE)2, 解得DE=1: 23/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 当E在线段DC的延长上，如图， D c E B F :将矩形沿着直线AE翻折，点D的对应点F恰好和点B、E在一条直线上， :AF=AD=3,∠AFE=∠D=90°，DE=FE, .∠AFB=90°， BF=√AB2-AF2=V52-32=4, 在Rt△BCE中，CE2+BC2=BE2, (DE-5)+32=(DE-4)2, 解得DE=9; 综上，DE的长为1或9， 故答案为：1或9 20.(24-25八年级下·上海浦东新期末)如图，矩形ABCD,AB=5,BC=7,点F在边BC上，沿直线 AF翻折△ABF,点B落在点E处，当点E恰好在∠ADC的角平分线上，则BF=_ D B 【详解】解：如图，连接ED,过点E作EM⊥AD于点M,延长ME交BC于点N, M B .∠AMN=90°， :四边形ABCD是矩形， 24/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :∠B=∠BAD=∠ADC=90°AD=BC=7, :四边形ABNM是矩形， ·.AM=BN,MN=AB=5,∠AME=∠DME=∠ENF=90°， :点E恰好在∠ADC的角平分线上， ∠ADE=∠CDE=45°， .△DME是等腰直角三角形， 设DM=EM=x,则AM=7-x, 由折叠的性质得：AB=AE=5, .在Rt△AME中，由勾股定理得：AM2=AE2-EM2, 即(7-x)2=52-x2, 解得：x=3,x2=4, 当DM=EM=3时，AM=BN=AD-DM=7-3=4,EN=MN-EM=5-3=2, 由折叠的性质得：BF=EF, 设BF=EF=y,则FN=BN-BF=4-y, 在Rt△ENF中，由勾股定理得：FN2+EN2=EF2, 即(4-y)2+22=y2, 解得：y3 当DM=EM=4时，AM=BN=AD-DM=7-4=3,EN=MN-EM=5-4=1, 由折叠的性质得：BF=EF, 设BF=EF=y,则FN=BN-BF=3-y, 在Rt△ENF中，由勾股定理得：FN2+EN2=EF2, 即(3-y)2+12=y2, 解得：y=3 BF=或BF?, 5 5 被答案为：2或写 21.(25-26八年级下·上海期中)矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=7,点M在边AD所在的直线上， 且DM=1,将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与射线AD、BC分别交于点E、F,则线 25/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 段EF的长度为 【答案】 43或25 【详解】解：如图，点M在线段AD上时，连接BE、MF, E :四边形ABCD是矩形， AB=4,AD=BC=7,DM=1,∠A=90°.AD‖BC, AM=AD-DM=7-1=6, 在RtAABM中， BM=√AB2+AM2=V42+62=V52=2V13. 由折叠的性质得：EF垂直平分BM,BE=ME,BF=MF,∠MEF=∠BEF, ADII BC, .∠MEF=∠BFE=∠BEF, ∴.BE=BF=MF=EM, :四边形BEMF是菱形. 设BE=x,则AE=6-x, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2, .42+(6-x)2=x2, 解得×号即麦形边长BE=号 菱形面积S=BFAB=BM,EF,即3x4=x2V3xEF, 3 解得EF=4V3 情况2：如图，点M在AD的延长线上，连接BE、MF, E DM 26/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是矩形， AB=4,AD=7,DM=1,∠BAD=90°.ADI‖BC, AM=AD+DM=7+1=8, 在Rt△ABM中，BM=√AB2+AM2=V42+82=V80=4V5. 由折叠的性质得：EF垂直平分BM,BE=ME,BF=MF,∠MEF=∠BEF，, :AD‖BC, ∴∠MEF=∠BFE=∠BEF, .BE BF=MF=EM, 四边形BEMF是菱形 设BE=y,则AE=8-y, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2, 42+(8-y)2=y2, y=5,即菱形边长BF=5, 菱形面积S=BF·AB=BM·EF, 2 1 即5×4=二×4W5×EF, 2 解得EF=2√5， 综上，线段EF的长度为45或25。 3 22.(25-26八年级下·上海-阶段检测)在矩形ABCD中，AB=CD=6,AD=BC=5,E为射线AB上一 点，将△ADE沿DE翻折，得到△A,DE(点A的对应点为A)·联结A,A、A,B,当△AAB为以AB为腰 的等腰三角形时，AE长是· B 【答案】或6 【详解】解：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图平面直角坐标系，则 A(0,0),B(6,0),D(0,5),设Ex,0)x≥0) 27/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 △ADE沿DE翻折得到△A,DE, .DA =DA=5,EA=EA=x, 如图，当AA=AB=6,设A(P,9), C AA=6,DA=5,D(0,5, (O)A E B 「p2+g2=6 p2+(g-5)2=52 解得p=4.8,9=3.6, A1（4.8,3.6), :EA1=x,E(x,0), (4.8-x)2+3.62=x2, 解得x=5 如图，当AB=AB=6,A(P,9, C AB=6,DA=5,B(6,0),D(0,5, (O)A EBx (p-62+g2=6 p2+g-5)2=52 300360 解得p= 61,9s 61 300360 461,61 .EA=x, 28/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 300 2 360 =x2, 61 61 解得x=6, 15 综上，AE的长度为号或6 4 题型3四边形动点（高频）（共4小题） 23.(25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测)如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,点E从点A 出发向点D运动，同时点F从点C出发向点B运动，运动速度都是1c/s,设运动时间为s(0<t<8), 若四边形BEDF是菱形，则t的值为 【答案】3 【详解】解：由题意得，AE=CF=t,则DE=BF=BC-CF=8-t, 四边形ABCD是矩形 .AD∥BC,LA=90°， :四边形BEDF是平行四边形， :.当BE=DE时，四边形BEDF是菱形， AE2+AB2=BE2 42+=(8-t)}2, 解得1=3 :.四边形BEDF是菱形，则t的值为3 24.(25-26八年级下·上海阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD>BC,BC=12cm, AD=18cm,点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s 的速度由点C向点B运动， s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形. BQ←C 29/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【答案】4或6 【详解】解：设t秒时，直线QP将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：AP=tcm,DP=(18-t)cm,CQ=2tcm,BQ=(12-2tcm, :直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，AD∥BC, AP=BQ或CQ=PD, 1=12-21或2t=18-1 解得t=4或t=6, 即4或6s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形， 25.(25-26八年级下·上海期中)在平面直角坐标系中，己知点A(4,0),点B(-3,2),点C(0,2),点P从 点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点 O运动，到达原点后停止运动，若P,Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t=时，以点 4,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形. B 入3 O 【答案】1或3 【详解】解：：A4,0,B-3,2),C(0,2), ∴BC=3,BC‖x轴， ∴.PC∥AQ, :当PC=AQ时，以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形， 若0<1<时，BP=24,PC=3-2,40=,此时3-21=1，解得1=1： 数3 1<4时，BP=2,PC=21-3,40=1,此时21-3=1，解得1=3： 综上所述，当t为1或3时，以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形 26.(25-26八年级下·上海静安期中)如图，在正方形ABCD中，AB=4,M是对角线BD所在直线上的 一个动点，点N是平面内一点.若四边形MCND为平行四边形，且MN=8,则BM的值为 30/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【答案】3√2-√4或3√2+√14 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当点M在对角线BD上时，设MN交CD于点O,过点O作OH⊥BD于点H,如图所示： D H B ∴L0HD=∠0HM=90°， :四边形ABCD是正方形，且AB=4,BD为对角线， .AD=CD=AB=4,∠A=90°，∠BDC=45°， :,△ABD是直角三角形， 由勾股定理得：BD=√AB2+AD2=√42+4=4√5， :四边形MCND为平行四边形，MN=8, 0D=0c=CD=2,0M=0N=N=4, 在△OHD中，∠OHD=90°，∠BDC=45°， :.△OHD是等腰直角三角形， :DH=OH, 由勾股定理得：OD=√OH?+DH2=√2DH, DH=OH=- 20D-2x2=N2, 2 在△OHM中，∠0HM=90°， 由勾股定理得：MH=VOM2-OH2=42-(N2=4, 31/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :DM=DH+MH=√2+14， :BM=BD-DM=4V2-(V2+14)=3V2-4, ②当点M在BD的延长线上时，设MN交CD于点O,过点O作OH⊥BD于点H,如图所示： H B 同理可得：BD=4√2,0D=2,0M=4, 在等腰直角△OHD中，DH=OH=√2， 在Rt☐OHM中，由勾股定理得：MH=√14 ∴.DM=MH-DH=V14-V2, BM=BD+DM=4V2+V14-√2=3√2+4， 综上所述：BM的值为3√2-14或3√2+V14. 题型4四边形中旋转（高频）（共6小题） 27.(25-26八年级下·上海期中)如图，直尺ABCD直立在水平桌面GE上，点B不动，转动直尺，使其 一顶点靠在竖直墙壁EF上.观测发现，点D、C、D在同一直线上，顶点A到墙壁EF的距离AE为 20cm,∠CBE=30°，则直尺长AD为 cm. F D GA B E 【答案】8V3 【详解】解：如图，连接BD', 32/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 GA B :四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD,AD=BC, .∠CBC'=180°-∠ABC-∠CBE=60°， :点D、C、D在同一直线上， ∴.∠BCD'=180°-∠BCD=90°， 由旋转的性质可得，BC'=BC,CD=C'D',LBCD'=∠BCD=90°， 在RtABCD'和RtABC'D'中， BC=BC BDY BD' .Rt△BCD'≌Rt△BC'D'HL), E2CBD'=∠CBD'=∠CBC'=30P 在RtABC'D'中，∠C'BD'=30°， .BD'=2CD', 由勾股定理可得，BC'=√BD2-C)2=VC)', 在RIABC'E中，LC'BE=30°， ac成=r 由勾股定理可得，E=VBce-C。 BC', :BE =3 CD=3CD =3AB, 2 2 2 AE AB BE 20cm, 二AB+号AB=20,解得4B=8cm .C'D'=AB =8cm, BC'=√3C'D'=8W3cm, 33/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .BC'=BC,BC=AD, :AD=83cm. 28.(23-24八年级下·上海长宁期末)如图，正方形ABCD的边长为√5，将ABC绕点A旋转，得到 △AB'C',其中B、C的对应点分别是点B、C.如果点B在正方形ABCD内，且到点B、C的距离相等， 那么C'D的长为 子 【答案】√5-1 【详解】作BC的垂直平分线EF,交BC于E,交AD于F,作B'H⊥AB,交AB于点H,连接BB'、 B'C、C'D A B Hh.- B E 由题意可知，当B旋转到EF上时，到点B、C的距离相等，且B'B=B'C :四边形ABCD是正方形 :ZDAC=ZB'AC',AD=AB',AC AC' :∠B'AC=∠B'AC'-∠C'AC,∠DAC'=∠DAC-∠C'AC ∠B'AC=∠DAC 在△BAC和△DAC'中 AB'=AD ∠B'AC=∠DAC AC=AC .△BAC≌△DAC'(SAS) :C'D=B'C :C'D =B'B 34/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :B'H⊥AB,AB⊥BC,EF⊥BC :四边形HBEB'是矩形 :B'H=BE 又：EF垂直平分BC,AB=BC=AB=√2 BH=BE=号BC=x5- 2 =82-H=2--6 BH 4B-AH=- B'B=B'H2+BH2 +5-9=5-1 .C'D=B'B=5-1 故答案为：√5-1. 29.(25-26八年级下·上海闵行·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0， AB=4√2，BC=7,∠ABC=45°.将对角线AC绕点0顺时针旋转60°，点A落在点E处，则线段CE的长 等于一· D 【答案】5v5 2 【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H, 万 B H 在R1△ABH中，∠ABC=45°，AB=4V2,AB2=AH2+BH2, :AH =BH=4, :BC=7, HC=BC-BH=7-4=3, 35/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在R1aAHC中，由勾股定理得AC=√AH2+HC2=V42+32=5, :四边形ABCD是平行四边形， 04=0c-4c=25, 由旋转的性质可知，0E=0A=2.5,∠A0E=60°， .0C=0E, “点A、O、C在同一直线上， ∠C0E=180°-∠A0E=180°-60°=120°， :0C=0E, ∴△0CE是等腰三角形，∠0CE=180°-120÷2=30°， 过点O作OF⊥CE于点F, :OF-0cCFEF 2 在Ra0CF电，CF=VOC-OF_5 4 .CE=2CF =2x 5v353 4 2 30.(25-26八年级下·上海松江·期中)已知有两个完全相同的矩形ABCD、AEFG摆成如图的形状，将矩 形AEFG绕点A转动a度(0°<a<90°)，点E、F、G分别对应点E、F、G,当点E落在直线CD 上时，连接BG'交直线AE'于点M,若AB=5,AD=3,则AM= D A 【答案】2 【详解】解：①顺时针旋转时，如图，过点B作BN⊥AE',垂足为N,连接NG', .∠BNA=90°， 6 :矩形ABCD与AEFG完全相同， 36/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=CD=AE'=5,AD=BC=AG'=3,∠D=LC=∠G'AE'=90°， :.DE'=AE2-AD2=4, :CE'=CD-DE'=1, 5.m=S mACD-5.-S.cr =3x5-x3x4-1x3x1=15 2 2 S.AF=AE'BN, 2 2x5xBN=15 , 解得BN=3, AG'=BN,AN=√AB2-BN☐=4， :∠BNA=∠G'AE'=90°， ..AG'll BN :四边形ABNG'是平行四边形， 4M-w=2 ②逆时针旋转时，如下图， 作EQ⊥BG延长线于点Q,过点G作AB平行线交E'A延长线于点P,连接BP, E D AB/G'P,∠E'QA=90°， 0 B G A ∴∠E'AQ=∠BAP=∠G'PA, :矩形ABCD与AEFG完全相同，点E落在直线CD上， ∴DE∥AQ,∠DAG=∠E'AG'=90°，AD=AG'=3,AE'=AB=5, .∠G'AP=∠E'QA=∠DAG=90°， ∴.E'QDA, :四边形EQAD是矩形， .E'O=AD=3=G'A, :在△AQE和△PAG'中， 37/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠E'AQ=∠GPA ∠E'QA=∠GAP, E'Q=G'A ÷△AQE'≌△PAG'(AAS), :.AE'=PG'=5=AB, 又AB∥GP, :四边形ABPG'是平行四边形， w号n 又RtaG'AP中，AP=VG'P2-GA2=4, a4M=54P=2. 综上，AM=2, 31.(2025上海青浦·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,将矩形ABCD绕点A旋转，点B、 C、D落在点B、C、D处、如果点B落在直线AC上，那么BB,= D B 【答案】65或25 5 【详解】解：作BE⊥AC于点E,则LAEB=LBEC=90°， :四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, .∠ABC=90°， .AC=AB2+BC2=5, 1 1 :S4c=2×5BE=2X3x4, 2 -号 ÷E=VAB2-BE=9 如图1，点B落在线段AC上， 38/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C D 、E 图1 由旋转得AB1=AB=3, EB=AB-AE=, BB=BE EB65 5 如图2，点B落在线段AC延长线上， B A D E D 图2 由旋转得AB,=AB=3, EB.AB+AE=24 BBBEEB-125 综上所述，BB,的长为6V5或12W5 5 故答案为： 65或125 5 32.(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形0ABC的顶点O 与原点重合，点A、点C分别在x轴和y轴的正半轴上，将正方形OABC绕点A旋转30°后得到新的正方 形，如果新的正方形与原正方形OABC的一边交于点H,那么点H的坐标为 39/92 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】(3-5,3或(0,5） 【详解】解：如图，当边长为3的正方形OABC绕点A顺时针旋转30°后得到新的正方形0AB'C',则 OA=OC,∠A0'C'=90°，则∠0'AE=30°，0C=BC=A0=AB=3,则C(0,3), 作0'E⊥x轴于点E,作CD⊥O'E交0'E于点D,则∠ODC'=∠AEO'=90°， ∠0E+60E40E+C0D=90,0E=40-4E=V0-0F-3 2 ∠O'AE=∠COD, △O'C'D≌△AO'EAAS, AE=0D=3 2°，0E=CD=3 DE=0E+0D-+50E=10-E3-3 22 2 叶5c 3V5.33,35 2+2'2 "2 ,即c935,3+35 22’22 93V3 3.33 k+b= 22 22 设直线0'C'的解析式为y=c+b,则 35 3- 2 k+b=2 k=5 解得 b=6-3V3 ∴直线0'C'的解析式为y=√5x+6-3√5， 40/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当y=3时，3=√5x+6-3√5，解得x=3-√5， H3-5,3, 如图，当边长为3的正方形OABC绕点A逆时针旋转30°后得到新的正方形O”AB"C", B 则B"A=B"C",LAB"C"=∠BA0=90°，则LBAB"=30°，作B"F⊥x轴于点F,作C"G⊥B"F于点G,则 ∠B"GC"=∠B"FA=90°， B"FI‖AB, :∠AB"F=∠BAB"=30° :AF=I4B"=3 BF=VAB-AF3 :0F=A0-AF=2 3 :LC"B"G+LAB"F=∠B"AF+∠AB"F=90°， ZC"B"G Z B"AF .△AB"F≌△B"C"GAAS, C'G=B"F= 2,F=BG=3 FG=B"F-B'G=313_3 22 .C" 33V5353 B335 2 22222 设直线BC的解析式为y=kx+b,则 33V3 2 k+6=353 22 +6 35 2 41/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 k,= √5 解得 3 b=√5 直线BC的解析式为y=5x 3x+V5, 当x=0时，y=5, :H(0,5), 综上可知，点H的坐标为3-V5,3或0,5)： 题型5四边形面积（共2小题） 33.(24-25八年级下·上海期末)如图，矩形ABCD中，AB=2,对角线AC和BD相交于点O,且 ∠AOD=I20°，过点D作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两平行线交于点E,那么四边形0CED的 面积是 D B C 【答案】2√5 【详解】解：：四边形ABCD是矩形 ∠BAD=90°，0A=0B=0C=0D :∠A0D=120 ∠A0B=60° .AOB是等边三角形 0A=0B=AB=2 .BD=4 AD=VBD2-AB2=2V万 S矩形ABCD=AB·AD=2×2V5=4V3 六5.oco-45 C0=V5 :DE∥OC,CE∥OD 42/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.四边形OCED是平行四边形 S边形0cD=2S.0cD=2V3. 34.(25-26八年级下·上海青浦期中)如图，矩形ABCD对角线相交于点O,AC与BD的夹角为60°，点 E、F、G分别为AO、AB、B0中点，当四边形EFGO周长为12时，则矩形ABCD的面积是： B 【答案】36√5 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .AC=BD.OA=OC=1 红=→ 0A=0B, :∠A0B=60°， △AOB是等边三角形， :AB=OA=OB, :点E、F、G分别为AO、AB、BO中点， ~0E=010G=0B,BF是a4B0的市位线，FG是s4B0的中位线， 2 :.EF=10B,FG=10A, :.0E=0G=EF=FG, :四边形EFG0周长为12， 40E=12, 0E=3, 0A=20E=6, .∴.AB=6,AC=2OA=12, 在RIAABC中，∠ABC=90°，BC=√AC2-AB2=V122-62=6√5， :矩形ABCD的面积=AB,BC=6×6√3=36V3, 题型6四边形新定义（共3小题） 35.（25-26九年级上·上海期中)如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”， 43/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；己知R1△ABC是“优美三角形”，且 ∠C=90°，则ABC的“优美值”是 【跨案】号 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点， 设AC=2a,BC=2b, :R1aABC是优美三角形”， 故分为BE⊥CD时，AF⊥CD时，AF⊥BE时， 当BE⊥CD时，如图， b 2b b G .AE=CE=a,DE∥BC,DE= C=b, 2 过点D作DG∥BE,延长CB交DG于点G, :DG∥BE,DE∥BG, 四边形DEBG是平行四边形， :BG=DE =b, .CG=2b+b=3b, :AC⊥BC,BE⊥CD,BE∥DG, .DG⊥CD,DE⊥CE, DG2=BE2=CE2+BC2=a2+(2b)2, :CD2=CE2+DE2=a2+b2, CD2+DG2=CG2, a2+b2+a2+(2b2=(3b)2, .a2=2b2, .CD2=3b2,BE2=6b2, 44/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD BEV6b22 当AF⊥CD时，如图， 2a ⊙ a C b b B a ÷CF=BF=b,DF∥AC,DF=AC=a, 2 过点F作FH∥CD,延长AC交FH于点H, :DF∥CH,CD∥FH, :.四边形DFHC是平行四边形， .CH=DF=a, .∴.AH=2a+a=3a, :AC⊥BC,AF⊥CD,FH∥CD, :DF⊥CB,FH⊥AF, :DC2=FH2=DF2+CF2=a2+b2, :AF2=AC2+CF2=(2a)2+b2, AF2+HF2=AH2, a2+b2+b2+(2a2=(3a)2, .b2=2a2, CD2=3a2,AF2=6a2, 3a22 2 当AF⊥BE时，如图， :∠C=90°， ∠BAC+∠ABC=90°， 45/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .∠1+∠2<90°， :∠1+∠2+∠3=180°， ∠3>90°， 故与AF⊥BE矛盾，此种情况不存在. 综上， ABC的优美值是 2 故答案为： 2 36.(25-26八年级下·上海闵行期中)定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点 的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为O,在正方形外有一点P,OP=4,当正方形绕着 点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 B 【答案】42sds3 2 【详解】解：设AB的中点是E, 当OP过点E时，如图： :,点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d=PE最小， :正方形ABCD边长为3，O为正方形中心， 3 六AE=2L0AE=45°，0E14B, 46/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 as号 0P=4, 1=PE=4-3-5 22 当OP过顶点A时，如图： P ∴.点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d=PA最小， :正方形ABCD边长为3，O为正方形中心， EAE∠0AE=45°，0ELAB 01=V0E2+AB=35 2 0P=4, d=PA=4-32, 2 。d的取值范围为4-多、2sds 37.(2023·上海黄浦·二模)我们规定：在四边形ABCD中，0是边BC上一点，如果△0AB与△OCD全 等（对应关系不确定），那么点O叫做该四边形的“等形点”.在四边形EFGH中，∠EFG=90°， EF∥GH,EF=1,FG=3,如果该四边形的等形点在边FG上，那么四边形EFGH的周长是 【答案】8或6+10 【详解】解：：∠EFG=90°，EF GH, ∠FGH=90°， :四边形EFGH的等形点”O在边FG上， 如图1，当a0EF≌a0HG时，可得EF=HG=1,OF=OG, 47/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 FG=0F+0G=3,EFGH,EF =HG, :四边形EFGH是平行四边形， :EH FG=3, ·四边形EFGH的周长为2×(1+3)=8； 如图2，当a0EF≌△H0G时，可得EF=OG=1,OF=GH,OE=OH,∠OEF=∠H0G, H O G 图2 FG=3, .0F=FG-0G=3-1=2, .GH=2, :∠EF0=90°， ∠0EF+∠E0F=90°， ∠H0G+∠E0F=90°， ∠E0H=180°-∠H0G+∠E0F）=90°， 在RtAEF0中，由勾股定理得0E=√EF2+0F2=V2+22=5, 0H=0E=√5， 在R1aE0H中，由勾股定理得EH=VE02+H0=5+(5=0, 四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+EH=1+3+2+√10=6+V10, 综上所述，四边形EFGH的周长为8或6+√10， 题型7坐标系中的坐标变换（共5小题） 38.(24-25八年级下·上海阶段检测)如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形A,B,O4,B,B,、 48/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB,B2日3·A,B,B1按如图所示的方式放置，其中点A、4、A、、A,均在一次函数y=c+b的图象 上，点B、B2SBS5·Bn均在x轴上.若点B的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，则点Ao2s的坐标为 B B 【答案】(22024-1,22024） 【详解】解：：点B的坐标为1,0)，点B的坐标为(3,0)， .OB,=1,0B2=3,则BB2=2. :△AB,O是等腰直角三角形，∠A,0B1=90°， OA=0B,=1. 点A的坐标是(0,1). 同理，在等腰直角△A,B2B,中，∠AB,B2=90°，AB,=B,B2=2,则A(L,2). :点A,A均在一次函数y=x+b的图象上， k+b=2 k=1 b=1 ，解得6=1 .该直线方程是y=x+1, 点A,B2的横坐标相同，都是3， 当x=3时，y=4,即A(3,4),则AB2=4, .B3(7,0). Bn2"-1,0, 当x=2-1-1时，y=2--1+1=2-1, 49/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 即点4，的坐标为21-1,2-） A2s的坐标为22024-1,2024）. 故答案为：(22024-1,2024). 39.(25-26八年级下·上海浦东新阶段检测)如图，a0B,4,△AB2A2,△AB,A,…,△A-Bn4An都是一 边在X轴上的等边三角形，点B,B,B,,B都在反比例函数y=5(x>0)的图象上，点4,4， A,…,A,n都在x轴上，则A27的坐标为 x B B、 B 【答案】2√2027,0 【详解】解：如图，过点B作B,C⊥x轴于C,过点B作BD⊥x轴于D,过点B作BE⊥x轴于E, Y v=V3 B △OB1A,△AB2A2,△A,B,A,…,△An-1BnAn都是一边在x轴上的等边三 B2B3 A C ADAEA 角形， :设0C=t,则B,C=V51, B(3, :点B在反比例函数y=5x>0的图象上， 5=5,解得1=1或1：-1（舍去）， 0C=1,0A1=2, .A(2,0), 50/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理设AD长度为m,则B2D长度为√3m, B,2+m,V5m), :点及在反比例函数y=5x>0)的图象上， N5m=,5,解得m=2-1或m=-2-1(舍去)， 2+m AD=V2-1,A4,=2W2-2, 0A2=2V2, 4(22,0), 同理设A,E长度为n,则B,E长度为√3n, B,2V2+n,m, :点B在反比例函数y=5(x>0)的图象上， 3n= 解得n=√5-√2或n=-√5-√2（舍去）， 2√2+n A,E=V5-2,A,4,=2W5-22, 0A,=2V5, 4(25,0 以此类推可得：A,2m,0, ·427(2V2027,0. 40.（25-26八年级下·上海期中)已知平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别为 A5,0,B(0,3),C(5,3,O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AE0为等腰三角形，则点E坐标为 【答案】4,3或或33 【详解】解：：B(0,3),C(5,3),点E在线段BC上， .点E的纵坐标为3， 51/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A(5,0, 0A=5; 设E(m,3)(0≤m≤5)，则0E2=(m-0)2+(3-0)2=m2+9, AE2=(m-5)2+(3-0=m2-10m+34, 当0A=0E时，则OA2=OE2, m2+9=52, 解得m=4或m=-4（舍去)， 点E的坐标为4,3)： 当0A=AE时，则OA2=AE2, m2-10m+34=52, 解得m=1或m=9(舍去)， 点E的坐标为1,3)： 当AE=0E时，则AE2=OE2, .m2+9=m2-10m+34, 解得m= 2 :点E的坐标为 综上所述，点E的坐标为4,3或L或33) 41.(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形0ABC的顶点O 与原点重合，点A、点C分别在x轴和y轴的正半轴上，将正方形OABC绕点A旋转30°后得到新的正方 形，如果新的正方形与原正方形OABC的一边交于点H,那么点H的坐标为· Y 【答案】(3-5,3或0，V5) 【详解】解：如图，当边长为3的正方形OABC绕点A顺时针旋转30°后得到新的正方形O'AB'C',则 52/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OA=OC,∠A0'C'=90°，则∠0'AE=30°，0C=BC=A0=AB=3,则C(0,3), 作0'E⊥x轴于点E,作C'D⊥0'E交0'E于点D,则∠ODC'=∠AEO'=90°， OE 40E+604E=40E+10oD=90,0E=40=AB=Va0-0E=395. .∠0'AE=∠C'OD, .aO'C'D≌△AO'E(AAS, :4E-0D=35OE-CD-3 0E=0E0n-9oE-40-483-3y 933 3,33 22 k+b= 2 设直线O'C'的解析式为y=c+b,则 35 3 k+b=2 解得 k-5 b=6-3√3 :直线0'C'的解析式为y=√3x+6-3√5， 当y=3时，3=√3x+6-3V3,解得x=3-V3, .H(3-5,3, 如图，当边长为3的正方形OABC绕点A逆时针旋转30°后得到新的正方形0”AB"C”, 53/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 H G 则B"A=B"C",∠AB"C"=∠BA0=90°，则LBAB"=30°，作B"F⊥x轴于点F,作C"G⊥B"F于点G,则 ∠B"GC"=∠B"FA=90, .B"F‖AB, ∠AB"F=∠BAB"=30 2BF-AAF3 OF=A0-AF=3 ∠C"B"G+∠AB"F=LB"AF+∠AB"F=90°， ∠C"B"G=LB"AF, ,△AB"F≌△B"C"GAAS, C"G=B"F=3 2,4F=B"G=3 .FG=B"F-B"G= 353 22 ,B335 335353 22’22♪22 设直线BC的解析式为y=kx+b,则 33V3 22 k+6=353 22 35 3k+b= 2 解得 3 b.=3 :直线BC的解析式为y= 3 3 x+V5, 当x=0时，y=V3, 54/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :H(0,3). 综上可知，点H的坐标为3-V5,3或0，V5) 42.（25-26八年级下·上海阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，直线 y=-x+6与x轴、y轴分别交于点C,B,且OB=20A,点M是BC的中点，N为直线AB上的一个动点， 连接MN.若∠BNM=45°，则点N的坐标是 B A/ x 【答案】 号到号 【详解】解：在y=-x+6中，当x=0时，y=6,当y=0时，x=6, .B(0,6),C6,0, .0B=0C=6, :0B=20A, 0A=3. :点A在x轴的负半轴上， A-3,0). -3k+b=0 设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，则 b=6 [k=2 解得b=6 :直线AB的解析式为y=2x+6; 如图，当点N在点B的下方时，过点M作MH⊥MN交直线AB于点H,过点M作MD1AC于点D,过点 N作NF⊥MD于点F,过点H作HE⊥MD交直线MD于点E, 55/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A 则∠NMH=∠HEM=∠NFM=90°， :∠NMF+∠HME=90°=∠NMF+∠MNF, :.∠HME=∠MNF. :∠BNM=45°， ∴△NHM是等腰直角三角形， :MN =MH, △NMF≌△MHE(AAS), ∴.HE=MF,NF=EM. :点M是BC的中点，B(0,6),C(6,0), M(3,3). 设N(n,2n+6),则MF=3-(2n+6)=-3-2n=HE,NF=3-n=EM, .H(6+2n,6-n, 6-n=26+2n+6, 解得n=-12 ÷点N的坐标为55 126 当点N在点B的上方时，过点M作MH⊥MN交直线AB于点H,过点M作MD⊥AC于点D,过点N作 NF⊥MD交直线MD于点F,过点H作HE⊥MD于点E, 56/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D 备用图 同理可证明aNMF≌AMHE(AAS), .HE=MF,NF=EM, :点M是BC的中点，B(0,6),C(6,0), M(3,3). 设N(n,2n+6. .MF =2n+6-3=2n+3=EH,NF =3-n=EM, .H(-2n,n), n=2(-2n+6, 点N坐标为N5,42 5'59 126 642 综上所述，点N的坐标为 5'5(55 或 题型8坐标系中的新定义（共4小题） 43.(23-24八年级下·上海宝山期末)在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且 这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点.如：点P(2,3)与点Q(3,2)互为等积 点.那么以点M(-1,3)和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是 【答案】16 【详解】解：根据互为等积点的定义得出点M(-1,3)的等积点为A(1,-3),B(-3,),C(3,-1), 故以A、B、C、M为顶点的四边形的面积S=SDEFG-SBDM-SABG-SACF-ScEM >6×6-2×2×2- 4x4- 2x2-1x4×4 2 21 2 =16. 57/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 故答案为：16. 44.(24-25八年级下·上海普陀·期末)在平面直角坐标系x0y中，对于任意一点M,给出如下定义：点 M到x轴、y轴的距离中的较小值叫做点M的“短距”，如果点P和点Q的短距相等，那么称PSQ两点为 “等距点”.例如点P(5,2)与点Q(-2,-3)为等距点”.已知点A的坐标为1,4)，如果点B在第三象限，且 在直线y=x-1上，且ASB两点为“等距点”，那么点B的坐标是 【答案】(-1，-2) 【详解】解：：点A的坐标为1,4)， ∴点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， .1<4, ,点A的“短距”为1， :A、B两点为“等距点”， :,点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1， :点B在第三象限， :点B的横纵坐标都为负， 在y=x-1中，当x=-1时，y=-2,此时B(-1,-2), :1=1<2=2, ∴此时点B的“短距”为1，符合题意； 当y=-1时，x=0,此时B(0,-1, :1=1>0=0, 此时点B的“短距”为0，不符合题意； .B(-1,-2, 58/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 故答案为：（-1，-2) 45. (25-26八年级下·上海期中)定义：顶角顶点在坐标轴上的等腰三角形叫做“顶好△”，已知：平面直 角坐标系中A(1,3)、B(3,2),顶好ABC的顶点C的坐标是 【答案】 oo-)0-到(o 【详解】解：由题意知，顶点C在坐标轴上，此时分情况讨论： ①当点C在x轴上， 设顶点C的坐标为x,0), .CA2=(x-12+(0-32=(x-12+9,CB2=(x-32+(0-2=(x-32+4, CA=CB, .CA2=CB2, .(x-12+9=(x-32+4, 解得x=3 顶点C的坐标为 ②当点C在y轴上， 设顶点C的坐标为(0，y), ,CA2=(0-12+y-3)2=1+(y-32,CB2=(0-32+y-22=9+(y-2)2, CA=CB, .CA2=CB2, .1+y-32=9+(y-2, 解得y=-3 2 顶点C的坐标为0引 综上所述，顶点C点的坐标是 @引 46.(24-25八年级下·上海松江·期末)如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这 个函数图像的“不动点”.已知点A是函数y=2x+3图像上的“不动点”，点B(-1,-1),点C(-1,0),如果四 边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是 59/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(-3,2)或(-4，-3) 【详解】解：：点A是函数y=2x+3图像上的“不动点”， x=2x+3, 解得x=-3, .A-3,-3, B(-1,-1,C(-1,0), BC=1,BC⊥x轴， 当AD∥BC时， 如图，过B作BE⊥AD于E,AD交x轴于F, D F E B A :四边形ABCD是等腰梯形， :AB=DC, .AD⊥x轴， ∠CFD=∠BEA=90°，AE=-1--3=2, 又∠BCF=90°， :四边形BCFE是矩形， .BE=CF, ∴.RtAABE≌RtADCF(HL, :AE DF=2, .D-3,2), 当AB∥CD时，过A作AE⊥BC于E,延长EA交CD于D 60/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A B(-1,-1,C(-1,0), ∴.BC=1, :四边形ABCD是等腰梯形， .AD=BC=1, A-3,-3, .D-4,-3), 综上，D的坐标为(-3,2)或(-4，-3)， 故答案为：（-3,2)或-4，-3) 题型9一次函数+等腰直角三角形（共2小题） 47. C25-26八年级下，上海阶段检测)如图，直线y=x+1和x轴、)祉分别交于点A、点B,以线段 B为直角边在第一象限内作等腰直角4BC,∠B4C=90°，如果在直角坐标平面内有一点Pa习》，且 △ABP的面积与ABC的面积相等，则a的值为 体 B A 【答案】-4或6 【详解】解：在直线y=- x+1中， 2 令x=0,则y=1, .B(0,1; 令y=0,则x=2, 61/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .A2,0). ∴.OB=1,0A=2. 如图，过点C作CE⊥x轴于点E, ∠BAC=90°，∠AEC=90°， ∠BA0+∠CAE=90°，∠CAE+LACE=90°， ∠BAO=LCAE. 又：AB=AC,∠B0A=∠CEA=90°， △BOA≌△AEC(AAS). :.OB=AE =1,OA=CE=2. C(3,2). :△ABP的面积与ABC的面积相等， :点P在过点C且平行于直线AB的直线I上 设直线的解析式为y=-一x+m, 2 将点C3,2到代入得，2=-多+m,解得m=号 7 2 17 :直线的解析式为y=一2x+2 1 将点Pa,2 作点C关于直线AB的对称点D,则D(1,-2), 则△ABD的面积与ABC的面积相等， ·点P在过点D且平行于直线AB的直线☑上 设直线马的解析式为y=-。x+n, 2 将点D1-2到代入得，-2=，解得n= 2 62/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13 ·直线的解析式为y= 2x-2 代入得，)-。3 1 将点Pa,2 2-20-2解得a=-4. -a- 综上所述，a的值为-4或6. 48。(24.25八年级下上海阶段检测)已知，直线y=-+2与x轴、)轴分别相交于A、B,以线段 AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°且点P(1,a为坐标系中的一个动点，现要使得 ABC和△ABP的面积相等，则实数a的值为· B A 【答案】-3或 【详解】解：当x=0时，则y=- 3x+2=2, “点B的坐标为(0,2)， 当y=0时，则0=- +2, 2 解得：x=3, :点A的坐标为3,0)， 0A=3,0B=2, AB=V0A2+0B2=V3, 又：△ABC为等腰直角三角形， 5m专48号 2 当点P在第四象限时，a<0, S.m0-04.0B=3.S.40=04:aa.S.non =10Bx1=1, -13 SP=S+SAPO-S.0r=.AC= 63/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 即3-3a-1= 13 2 解得：a=-3; 当点P在第一象限时，a>0, S.-04.08=3.S 0-04.ala,S.o=-O8x1=1. 2 2 13 .S.AP=S.mop+S.APO-S.40=S.AC= 2 3 13 即1+0-3= 2 17 解得：a=3 综上所述，夫数瑞值为-或号 题型10一次函数新定义（共7小题） 49.(23-24八年级下·上海嘉定期末)新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为等 距离点”.例如：（4,4)、(3，-3)都是等距离点.请写出直线y=3x-1上的等距离点 (写出一个即可)· 11 【答案】 22 (答案不唯一) 【详解】解：把x=三代入y=3x-1得，y= 3-1= 2 11 :点22 到坐标轴的距离是， 11 :.点22 是直线y=3x-1上的等距离点， 故答案为： 11 22 (答案不唯一). 50.（24-25八年级上·上海普陀期末)定义：如果函数图像上的一个点向左平移n个单位，再向上平移 2(n+1个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”. 如果y=-6x是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 【答案】 【详解】解：：y=-6x, .y=6x经过点x,-6x, 点(x,-6x向左平移n个单位，再向上平移2(n+1)个单位后得到(x-n,-6x+2n+2), 由题意，（x-n,-6x+2n+2)也在直线y=-6x上， 64/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -6x+2n+2=-6x-n), 1 解得：n=2 故答案为：弓 51.(24-25八年级下·上海长宁.期末)己知a、b、c分别为Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90 ,我们把关于R△ABC的形如y=x+的一次函数称为勾股一次函数，如点P山，V)在勾股一次函数” 的图像上，且Rt△ABC的面积为4，则c的值为 【答案】4 【详解】解：：点P山，V2)在“勾股一次函数”y=“x+的图象上， .2ab cc .a+b=√2c, 又：a、b、c分别为Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，Rt△ABC的面积是4， ÷2ab=4,a2+b=c2, 1 ∴(a+b-2ab=c2, :(V2c2-4x4=c2, 解得c=4或c=-4(负值舍去)， 故答案为：4。 52.（24-25八年级下·上海期中)我们把直角坐标平面内到x轴距离是到y轴距离2倍的点称为“特殊点”.那 么一次函数y=-2x+4的图象上的“特殊点”坐标为 【答案】(1,2) 【详解】解：设一次函数y=-2x+4的图象上的“特殊点”坐标为(t,-2t+4)，根据题意可得， -21+4=2t, 则-21+4=21或-2t+4=-21 解得t=1, 即一次函数y=-2x+4的图象上的特殊点”坐标为(1,2)， 故答案为：(1,2) 65/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 53.(23-24八年级下·上海静安期末)如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这 个函数图像的“等值点”，比如：点(-1，-1)是函数y=2x+1图像上的“等值点”.己知点A(1,0),点B是函数 y=-x+2图像上的等值点”，点C是函数y=2x-10图像上的等值点”，如果四边形ABCD是等腰梯形， 那么点D的坐标是 【答案】(10，-9)或(11,10 【详解】解：根据等值点定义得等值点在直线y=x图象上， y=-x+2 .联立方程组 y =x x=1 解得， y=1' B(1,1, y=2x-10 联立 y=x x=10 解得， y=101 .C(10,10): 如图， D x+2 =2x-10/ .E10,1,F(10,0), :四边形ABCD是等腰梯形， .FD=CE=9,CD'=AB .点D的坐标为10，-9)，或(11,10) 66/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 故答案为：(10，-9或(11,10. 54. (24-25八年级下·上海崇明·期末)定义：如果直线片=kx+b(k≠0)与直线y2=k,x+b2k,≠0)满足 如下条件：k·k2=-1且b+b,=0,那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线y=2x+3与直 线为=2x-3,它们具有“和谐关系”.如果直线y=x+2(>0)与直线乃=k,r-2具有“和谐关系”，且 这两条直线与》轴围成的三角形面积为，则人 【答案】2或号 【详解】如图所示， B yi=kx+2 C y2=kx-2 :直线y,=kx+2(k,>0)与直线y2=k2x-2具有“和谐关系” kk2=-1, :月=kx+2 当x=0时，月=2 ·B(0,2 y2=k2x-2 、当x=0时，y2=-2 C(0,-2 .BC=2--2)=4 联立直线y1=kx+2(k,>0)与直线2=kx-2得 kx+2=k2x-2 67/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 4 解得x=- k-k2 :点A的横坐标为x= 4 k1-k2 :这两条直线与y轴围成的三角形面积为 16 ×4x4=16 1 .2 k1-k25 名6即无=名昌 代入61，-引- 解得k=2或) 故答案为：2或？ 55.(24-25八年级下·上海青浦期末)定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫 做这个函数图像的“阶方点”. 例如：点4)是函数=图像的价方点，点-2-是函数y子图 1 像的“2阶方点”.如果y关于x的一次函数y=mx-4m+1图像的“2阶方点”有且只有一个，那么m的值为 【跨1我 1 【详解】解：：y关于x的一次函数y=mx-4m+1图像的“2阶方点”有且只有一个， .当m>0时，y=mx-4m+1经过(-2,2)或(2，-2)， .-2m-4m+1=2或2m-4m+1=-2, 解得：m=名〔舍去)或m= 3 6 当m<0时，y=mx-4m+1经过(-2，-2)或(2,2)， .-2m-4m+1=-2或2m-4m+1=2, 1 解得：m=2（舍去)或m=2 综上所达，m的值为或号 2 故答案为：2 1 题型11一次函数平移、对称、旋转（共3小题） 56.（25-26八年级下·上海阶段检测)如图，直角三角形的斜边AB在y轴的正半轴上，点A与原点重合， 68/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点B的坐标是(0,4)，且LBAC=30°.若将ABC绕着点O旋转30°后，点B和点C分别落在点E和点F处， 那么直线EF的表达式是 (4) 【答案】y=2V3或y=V3x+4V5 【详解】解：：直角三角形中点B的坐标是(0,4)，且∠BAC=30°， AB=4, BC=5AB=×4=2,AC=VAB2-BC2=V42-22=2V5, 2 当顺时针旋转30°后，如图， B O(A0)川 ·AF=AC=2V3,EF=BC=2,∠AFE=∠ACB=90°， 点F0,25,E2,25), :直线EF的解析式是y=2V5; 当逆时针旋转30°后，如图， 69/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 E B H 0(4) ,AF=AC=2V3,AE=AB=4,∠EAF=∠BAC=30°， 过点F作FH⊥x轴交x轴于点H,过点E作E1⊥x轴交x轴于点I, .EIly轴，∠F0H=30°， 在直角三角形AIE中，AE=4,∠AEI=∠BAC=30°， .01=2,E1=2V5, 同理FH=√3，OH=3, 点F(-3,⑤，E-2,25, ,设直线EF的解析式为y=x+b, [25=-2k+b 则 5=-3k+b k=3 解得 b=4v5' :.直线EF的解析式是y=√5x+4V5, 综上，直线EF的解析式是y=2√3或y=V3x+4V3. 57.(25-26八年级下·上海青浦·期中)如图，点M的坐标为3,2)，点P从(0，-1)出发，以每秒2个单位 的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线1也随之平移，且直线1与直线y=-x平行，如果点M关于直 线1的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是一· 70/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2 【答案】1.5或2 【详解】解：由题意设直线l的解析式为y=-x+b, :点P从(0，-1)出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向上移动， :点P的坐标为0，-1+2t), :直线过点P, b=-1+21, ∴直线1的解析式为y=-x-1+2t, :直线1平行于直线y=-x, :直线1与坐标轴的夹角为45°， ①当点M关于直线1的对称点E落在x轴上时，设直线1与x轴交于点D, 2 M :点M与点E关于直线I对称， D :直线I垂直平分线段ME,DM=DE, :直线I平分∠MDE, :直线1与x轴夹角为45°，即∠PD0=45°， ∠MDE=2∠PD0=90°， .DM⊥x轴， :点M的坐标为(3,2)， ·点D的坐标为(3,0)，DM=2, .DE DM =2, 71/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点E在点D左侧， ·点E的坐标为(1,0)， :直线l垂直平分ME, :线段ME的中点在直线1上， :线段ME的中点坐标为 3+12+0 2,2 即(2,1)， 将(2,1)代入y=-x-1+2t,得1=-2-1+21，解得t=2: ②当点M关于直线I的对称点F落在y轴上时， 3 P :点M与点F关于直线I对称，且点P在直线1上， D .PM=PF,直线I平分∠MPF, :直线1与y轴夹角为45°，即∠0PD=45°， ∠MPF=2∠0PD=90°， .PM⊥y轴， “点M的坐标为(3,2)， :点P的坐标为(0,2)， -1+21=2,解得1=1.5， 综上所述，t的值为1.5或2 58.(25-26八年级下·上海徐汇阶段检测)如图，直线1：y=-V3x+√39+3V3与x轴交于点A,与经过 点B(-2,O)的直线m交于第一象限内点C,点E为直线1上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接 DC、DE、BE,若LDEC=2LDCE,∠DBE=∠DEB,，则CD的值为· 72/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】20+4√3或44-4V13 【详解】解：过点D作DF⊥I于点F,延长FD交y轴于点G, m B 图1 :点B(-2,0),且点D为点B关于y轴的对称点， .D2,0), BD=4: 又∠DBE=∠DEB, .DE BD=4, 设直线1：y=-V3x+√39+3V5交y轴于点H, 当x=0时，y=V39+3V3;当y=0时，x=√13+3， .0H=V39+3V3,OA=V13+3, AH=V0H2+A02=2V13+6, 取AH的中点N,连接oN,则ON=4H=AN=E+3=OA ,△OAN为等边三角形， ∴L0AH=60°， .∠AH0=30°， ∴∠0GD=60°，∠ODG=30°， 73/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DG=20G, 又0D2+0G2=DG2, .22+0G=40G, 0G=23 3 2w5 设直线DF所在直线解析式为y=c+b, [2k+b=0 D(2,0)代入得 =25 解得 3 b=- 25 3 直线DF所在直线解析式为)y=5:-25 3r- 3 V52V5 联立少 3x- 3 y=-V3x+V39+35 x=3+ 解得， y=39g 44 4’44 .DF2= 四9 21+313 2 在Rt△DFE中，EF2=DE2-DF2, EF= 13-3 2 ①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线1上取一点M,使EM=DE=4,连接DM, .EM =DE, ∴.∠EDM=∠EMD, 又.∠CED=∠EDM+∠EMD, 74/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CED=2∠EMD, 又∠CED=2∠DCE, .∠DCE=∠EMD; .DC=DM, 在Rt△DFM中，DM2=DF2+FM2, DC=DM:-21+35+EF+Ew'-21+3E ,13+5 2 20+4V13; 2 2 ②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线1上取一点M,使EM=DE=4,连接DM, H B M A G 图2 EM DE, ∴.∠EMD=∠EDM, 又：∠CED=∠EDM+∠EMD=2∠EMD,∠CED=2∠EMD, ∴∠DCE=∠EMD, .DC=DM, :FM=EM-EF=4-iE-3-1-3 2 2 在Rt△DFM中，DM2=DF2+FM:=21+311-3 2 =44-43, 2 .DC2=44-4V13; 综上所述，DC2=20+4V13或44-4√13， 题型12反比例函数+面积（共6小题） 59.(2025上海模拟预测)如图，在平面直角坐标系x0y中有曲线y=←k>0,x>0)的图象.在该图象 上有点A1,3和点C(6,m),点B在x轴上.连接0A、AB、BC、AC,若0A=AB,则ABC的面积为 75/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 y-(x-0./-0) B 【路案)孕 【详解】解：：点A1,3)在反比例函数y=《的图象上， k=1×3=3, :反比例函数解析式为y=, 3 :点C(6,m在反比例函数y=的图象上， 31 .m==， 62 1 C62 过点A作AH⊥x轴于H,过点C作CD⊥x轴于D,如图， y-0,ke0) H B :A1,3),0A=AB, .BH =0H=1, .∴.0B=1+1=2, B(2,0), :A1,3) c 8AH=3,0D=6,CD=5, .DH=0D-0H=6-1=5,BD=0D-0B=6-2=4, 76/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴S.ABc=S梯形AHDc-S。ABH-S,BDC -(CD+AHYDH-AH BH-BDCD 11,, 1 1 2×235-2 -×4× 353-1 42 25 5 故答案为：4 60.(24-25八年级下上海期中)如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=4x>0)的图象交于A,B两 点，与x轴、y轴分别交于C,D两点，连接OA,OB,过A作AE⊥x轴于点E,交OB于点F,设点A 的横坐标为n.若S△or+S西边彩PBc=4,则m的值是· yA D 【答案】√2 【详解】解：：点A在反比例函数y=4(x>0)的图象上，且点A的横坐标为m, 4 :点A的纵坐标为4，即点A的坐标为m,4 m m 令一次函数y=-x+b中x=m,则y=-m+b, 4 4 .-m+b=-,即b=m+- m 4 .一次函数解析式为y=-x+m+ m 作AM⊥OD于M,BN⊥OC于N,如下图所示， 77/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M. A B 4 :反比例函数y=二，一次函数y=-x+b都是关于直线y=x对称， x .AD=BC,OD=OC,DM=AM BN=CN, 记△AOF面积为S,则△OEF面积为2-S,四边形EFBC面积为4-S,△OBC和△OAD面积都是6-2S, △ADM面积为4-2S=2(2-S), S.4DM =2S.OEF, 由对称性可知：0A=0B,0D=0C,∠0DC=∠0CD=45°，△A0M≌△B0N, .AM NB=DM NC EF=AM=NB, 2 2 4 2-2m+m+ 4 点B坐标 2m, ,代入直线y=-x+m+— m mm m 整理得m2=2, .m=√2或m=-√2， m>0, m=√2， 故答案为：√2 61.(23-24八年级上·上海闵行期末)如图，点B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线， 垂足为点A、C,E为BC的中点，函数y二x>0)的图像经过点E且交AB于F,已知四边形0EBF的 面积为2，则k的值为· 78/92 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A 【答案】2 【详解】连接OB, :BC⊥y,BC⊥x, :.四边形OABC为矩形， BC∥x, ∴SAOBC=SAOBA, :E为BC的中点 S.OCE=S.OBE=2 2 :F在函数y=k图象上， k S.= 2 k S.O4F =S.OBF =S04B 2 2 :四边形OEBF的面积为2， 因4因==2 22 k>0, .k=2, 故答案为：2 62.(2024上海普陀模拟预测)如图，△C0D为直角三角形，∠COD=90°，点A为斜边CD的中点，反 比例函数=(a>0)图象经过A、C点(A、C点在第一象限)，点D在反比例函数，=(b<0)上（点 D在第二象限)，过点D作x轴的垂线交y的图象于点B,过点C作x轴的垂线交的图象于点E,连接 79/92 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 BC,OE,己知△CBD的面积为16.若A,B两点关于原点中心对称，则四边形DOEC的面积为 【答案】12 【详解】解：设A化，t>O),BD与x轴交于点F,CE与x轴交于点G,过点C作CH⊥BD于点H,如 图， A,B两点关于原点中心对称， 8-) BD1x轴，且点D在反比例函数为=bb<0)上， ) ”点A是CD的中点， :点C的坐标为3，， 2a+b :点C在反比例函数片=(a>0)图象上， 3×20+b=a, t 整理，得：5a+3b=0①， 0-9-9-之，F6=-= S.CBD=16, 80/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2xBDxCH-16,x16, 2t a-b=8②， 5a+3b=0 联立①②，得 a-b=8 a=3 解得： 1b=-5 cn》》 06=,CG-0F=1,F,G=,G=-=. 1 515 SDr=S8c+S,0o-S,0r三×+次4+x3X3 二×二×1=12； 2 312t 故答案为：12. 63.(24-25八年级上·上海期中)如图，AC1x轴于点A,点B在y轴的正半轴上，S。4Bc=6,点D为 线段AC与反比例函数y=《图象的交点，若直线BD将ABC面积分成1：2的两部分，则k的值为 A 0大 【答案】-4或-8 【详解】解：连接BD,OD, A o :直线BD将ABC面积分成1：2的两部分， 点D是线段AC的三等分点， 当S△HBD=,S△MBc=2时， 3 81/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AC⊥x轴， OB∥AC, :.S.4BD=S.40D =2, =2,即k= 又：k<0, k=-4: 鸟$Se=4 AC⊥x轴， OB∥AC, .S△MBD=SAAOD=4, =4,即k=8, 又：k<0, k=-8; 故答案为：-4或-8. 64.（(25-26八年级上上海期中)如图，函数y=x>,常数>0的图像经过点A2,,8m,川为 函数图像上除A外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C,若ABC的面积为2，则点B坐标为 VA 【等9)后 【详解】解：：反比例函数y=(仁>0，>0)的图象经过点A2,3), k=2×3=6, 6 ∴反比例函数解析式为：y=二， :点B(m,n)在反比例函数图象上， .mn=6, 82/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :ABC的面积为2， .1×BC×3-川=2， 即2×m×3-川=2， .3m-mn=±4， 3m=6±4 10 2 解得m= 或m=3 .mn=6, 9 .n=一或n=9, 点B的坐标为9？)成行 故答案为： )6 2 考题猜想·高分必刷 1.如图，在ABC中，点G为重心，延长CG交AB于点D,若CD平分∠ACB,AC=13,AB=10,则 CG的长为 A D G 【答案】8 【详解】解：：点G为ABC的重心，延长CG交AB于点D, CD是ABC的中线， :D为AB的中点， :.4D=BD=14B=1x10=5, 2 2 过点D作DM⊥BC,DN⊥AC, 83/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D :CD平分∠ACB, :DM =DN AD=BD, ∴Rt△ADN≌Rt△BDM(HL), .LNAD=∠MBD, :AC=BC, ·CD⊥AB, 在RtAADC中，由勾股定理得CD=√AC2-AD2=V132-52=√169-25=√144=12， :点G为ABC的重心， cG=2cD=2x12=8. P 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形OAB,C的顶点B的坐标为1，)，它的两条对角线相交于点D,以 OA,OD,为邻边作平行四边形OAB,D1,平行四边形OAB,D,的对角线相交于点D2,再以OA,OD,为邻边 作平行四边形OAB,D2,平行四边形OAB,D2的对角线相交于点D3,依次类推，则平行四边形OABo26D2o25的 J顶点B2o26的横坐标为 C D D B3 D 0 【答案】 2026-1 22025 2"-11 【分析】注意得到规律：B的坐标为 2’2可 )是解题的关键.首先分别求得B、B,、B,等几个点 的坐标，即可得到规律，从而求得B6的横坐标。 84/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：正方形OAB,C的顶点B的坐标为(1，)，它的两条对角线相交于点D, D的坐标为22 11 D B2 D B3 D 0 A :四边形OAB,D,是平行四边形， B的坐标为 :D2是平行四边形OAB,D,对角线的交点， .D2的坐标为 同理， B的坐标为+》，？》 D,的坐标为 71 8'8月 B,的坐标为 Bn的坐标为 2”-11 2寸’2 ·B226的横坐标为 2026-1 22025. 3.如图，在正方形ABCD中，点M在BD上运动，过点M分别作ME⊥AB,MF⊥AD,垂足分别为点E, F,若BC=2,则EF的最小值为 B 【答案】V2 【详解】解：连接AM,如图， 85/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形ABCD是正方形，∠ADB=45°，AD=BC=2, ·∠BAD=90°， :ME⊥AB,MF⊥AD, :四边形AFME是矩形， :AM =EF, 当AM垂直于BD时，AM最小，即EF最小， :∠AMD=90°，∠ADM=45°， ∴△ADM是等腰直角三角形， :AM =DM,AM2+DM2=AD2, 2AM2=4, 解得：AM=√2（负值舍去）， :EF的最小值是√2 4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为(-1,0).点 D在线段OA上，连接BD,使∠ABD=∠CBO,则点D的坐标为 B 【答案】(1.5,0) 【详解】解：对于直线y=x-3, 令y=0,得x=3, .A(3,0), 0A=3: 令x=0,得=-3， B(0,-3), 86/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0B=3. C(-1,0), 0C=1. :0A=0B=3,∠A0B=90°， :.△OAB为等腰直角三角形， :∠0BA=45° :∠ABD=∠CBO, :∠CBD=∠CBA-LABD=∠CBA-∠CB0=∠0BA=45°. 过点C作CE⊥BC交BD的延长线于点E,过点E作EF⊥x轴于点F, 则∠BCE=90°. 在△BCE中，∠CBE=∠CBD=45°， ∠CEB=45°， :△BCE为等腰直角三角形， :CE=CB :∠ECF+∠BC0=∠BCE=90°， 又：LCB0+∠BC0=LC0B=90°， ∠ECF=∠CB0. 在△ECF和ACBO中： ∠EFC=∠COB=90 ∠ECF=∠CBO CE=CB aECF≌CBO(AAS, :.CF=0B=3,EF=0C=1. C(-1,0),CF=3, :0F=CF-0C=3-1=2, F(2,0), 87/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点E的坐标为(2，). 设直线EB的解析式为y=ax+ba≠0)， 把E(2,1),B(0,-3)代入得： [1=2a+b -3=b 「a=2 解得b=3 ·直线EB的解析式为y=2x-3. 令y=0,得0=2x-3, x=3=15 2 ·点D的坐标为(1.5,0. 5.平行四边形ABCD中，两条邻边长分别为6和1O,∠BAD与∠ABC的平分线交于点E,点F是CD的 中点，连接EF,则EF= 【答案】7或1 【详解】解：①如图1中，当AB=6,BC=10时，延长AE交BC于M,过点F作GH∥AM,交AD于 点G,交BC的延长线于点H, A G E AD‖BC, B M 图1 ∴.∠DAM=∠AMB, :∠DAM=∠BAM, ∠BAM=∠AMB, :AB BM =6, :CM=BC-BM=4, ∠EAB+∠EBA=1∠DAB+1∠ABC=90°， 2 2 .∠AEB=90°， .∴BE⊥AM, 88/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BA=BM .AE=EM, :AD∥BC, .LD=∠FCH,∠DGF=∠CHF, :DF=CF, △DFG≌ACFH(AAS), ∴.CH=DG,GF=FH, :AG∥MH,GH∥AM, :.四边形AMHG为平行四边形， ..AG=MH,GH=AM, .∴.AD-GD=CM+CH, 10-DG=4+DG, DG=3, AG=10-3=7, AE=EM-AM,GF-FH-GH :AE =GF, :AE∥GF, :四边形AEFG为平行四边形， :EF=AG=7; ②如图2中，当AB=10,BC=6时，延长AE,BC交于点M,过点F作GH∥AM,交AD于点G,交 BC的延长线于点H, A D E 分 CM 同理可证：AE=EM,BM=AB=10, .CM BM -BC AB-BC=4, :ABCD中AD∥BC,即AG∥MH, 89/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .四边形AMHG为平行四边形， .AG=MH,GH=AM, :AD∥CH, LDGF=LCHF,∠D=∠FCH, CF=DF, .aDGF≌△CHF(AAS), :DG=CH,GF=FH=GH, :AD-AG=CM +MH, 6-AG=4+AG, 解得：AG=1, AE=EM=-AM,GF=FH=GH,AM =GH, :AE GF, :AE∥GF, .四边形AEFG为平行四边形， :EF=AG=1; 综上所述，EF的长为7或1. 6.如图，ABC是等腰直角三角形，LACB=90°，D是射线CB上一点，以AD为斜边作等腰直角三角形 ADE(点E和点C在AB的同侧)，连接CE.当AB=26,LEAC=15°时，则CE=· 4 B 【答案】3√2-√6或√6-√2 【详解】解：：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=2√6， :.AC=BC,AC2+BC2=AB2=2AC2=(26) ·AC=BC=2V5, 由题意，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE, .AE=DE,AD=V2AE,LEAD=LEDA=45°， 90/92 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 有两种情况： 当AE在AC右边时，过点E作EF⊥AC交AC的延长线于F,过点E作EG⊥BC于G,连接CE, .LEFC=LEGC=∠FCG=90°， B :四边形EFCG是矩形 :∠EAC=15°，∠EAD=∠EDA=45°， :∠CAD=∠EAC+∠EAD=15°+45°=60°， 在RtA ACD中，LADC=30°，AD=2AC=4V3,CD=VAD2-AC2=5AC=6, 在等腰RIAADE中，AD=4√5=√2AE, :AE DE =26, :∠CDE=∠ADE-∠ADC=45°-30°=15°， ∠CDE=∠CAE=15°， :EF⊥AC,EG⊥BC, ∴LAFE=∠EGD=90°，四边形EFCG是矩形， AE DE=26, △AEF≌△DEG(AAS), EF=EG,AF=DG, :四边形EFCG是正方形， .设EF=EG=CG=CF=x, :AC=2V3,CD=6, :AF=AC+CF=23+x,DG=CD-CG=6-x, 2V3+x=6-x, 解得x=3-V3, 在Rt△EFC中，由勾股定理得CE=√2EF=√23-√5)=3√2-√6： 91/92 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理，当AE在AC左边时，过点E作EF⊥AC于F,过点E作EG⊥BC交BC的延长线于G,连接CE, E AF=AC-CF=23-x,DG=CD+CG=2+x, G B .2V3-x=2+x, 解得x=V5-1在Rt△EFC中，由勾股定理得CE=V2EF=√2(W3-l=V6-√2， 综上所述，CE=3√2-√6或√6-√2， 92/92 专题06 期末真题百练通关（70题12大填空小压轴题型） 题型1 四边形最值（高频） 题型7 坐标变换 题型2 四边形折叠（高频） 题型8 坐标系中的新定义 题型3 四边形动点（高频） 题型9 一次函数+等腰直角三角形 题型4 四边形中旋转（高频） 题型10一次函数新定义 题型5 四边形面积 题型11 一次函数平移、对称与旋转 题型6 四边形新定义 题型12 反比例函数+面积 题型1 四边形最值（高频）（共8小题） 1．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 2． （25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，点P是对角线上一点，Q是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为______． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，为正方形的边上一动点，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转得到．若E，F分别为，的中点，连接，则长的最小值为_____． 5． （25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一点，是边的中点，那么的最小值为________． 6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是_____． 7.（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，在菱形中，，，点在射线上运动，点是线段的中点，则线段的最小值是_______． 8．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知为坐标原点，矩形（点与坐标原点重合）的顶点、分别在轴、轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点，试在轴上找一点，使的长度最短，则最短距离为_______． 题型2 四边形折叠（高频）（共14小题） 9．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 10．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为__________． 11．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 12．（25-26八年级下·上海虹口·期中）如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么__________． 13．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 14．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是______． 15．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，分别为边上的点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着翻折得到四边形．如果点在内部，那么的取值范围为___________． 16．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点落在点处，与矩形的重叠部分是，如果，那么长为_____． 17．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 18．（2025·上海松江·二模）如图，矩形中，，，点在边上，将△沿直线翻折，点落在点处，联结、．如果△是以为腰的等腰三角形，那么的长是_______． 19．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为______． 20．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 21．（25-26八年级下·上海·期中）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与射线、分别交于点、，则线段的长度为______． 22．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在矩形中，，，E为射线上一点，将沿翻折，得到（点A的对应点为）．联结、，当为以为腰的等腰三角形时，长是____． 题型3 四边形动点（高频）（共4小题） 23．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 24．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 25．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 26．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在正方形中，，M是对角线所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为 ____________________ ． 题型4 四边形中旋转（高频）（共6小题） 27．（25-26八年级下·上海·期中）如图，直尺直立在水平桌面上，点不动，转动直尺，使其一顶点靠在竖直墙壁上．观测发现，点、、在同一直线上，顶点到墙壁的距离为，，则直尺长为___________． 28．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为________． 29．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，．将对角线绕点顺时针旋转，点落在点处，则线段的长等于______． 30．（25-26八年级下·上海松江·期中）已知有两个完全相同的矩形、摆成如图的形状，将矩形绕点转动度（），点、、分别对应点、、，当点落在直线上时，连接交直线于点，若，，则____________． 31．（2025·上海青浦·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A旋转，点B、C、D落在点、、处、如果点落在直线上，那么__________． 32．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的顶点O与原点重合，点A、点C分别在x轴和y轴的正半轴上，将正方形绕点A旋转后得到新的正方形，如果新的正方形与原正方形的一边交于点H，那么点H的坐标为______． 题型5 四边形面积（共2小题） 33．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 34．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为12时，则矩形的面积是：______． 题型6 四边形新定义（共3小题） 35．（25-26九年级上·上海·期中）如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知是“优美三角形”，且，则的“优美值”是___________； 36．（25-26八年级下·上海闵行·期中）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 37．（2023·上海黄浦·二模）我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 题型7 坐标系中的坐标变换（共5小题） 38．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 39．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 40．（25-26八年级下·上海·期中）已知平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别为，O为坐标原点，点在线段上，若为等腰三角形，则点坐标为______． 41．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的顶点O与原点重合，点A、点C分别在x轴和y轴的正半轴上，将正方形绕点A旋转后得到新的正方形，如果新的正方形与原正方形的一边交于点H，那么点H的坐标为______． 42．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 题型8 坐标系中的新定义（共4小题） 43．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点．如：点与点互为等积点．那么以点和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是______． 44．（24-25八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是___________． 45．（25-26八年级下·上海·期中）定义：顶角顶点在坐标轴上的等腰三角形叫做“顶好△”，已知：平面直角坐标系中、，顶好的顶点C的坐标是________． 46．（24-25八年级下·上海松江·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“不动点”．已知点是函数图像上的“不动点”，点，点，如果四边形是等腰梯形，那么点的坐标是___________． 题型9 一次函数+等腰直角三角形（共2小题） 47．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 48．（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 题型10一次函数新定义（共7小题） 49．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点______（写出一个即可）． 50．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 51．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 52．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为______________． 53．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是_______． 54．（24-25八年级下·上海崇明·期末）定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则___________ 55．（24-25八年级下·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于（）的点叫做这个函数图像的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．如果关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为________． 题型11 一次函数平移、对称、旋转（共3小题） 56．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且．若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的表达式是________． 57．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，点M的坐标为，点P从出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是______． 58．（25-26八年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，直线：与x轴交于点A，与经过点的直线m交于第一象限内点C，点E为直线上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接、、，若，，则的值为_____． 题型12 反比例函数+面积（共6小题） 59．（2025·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象． 在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为______． 60．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______． 61．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为_____．    62．（2024·上海普陀·模拟预测）如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、C点（A、C点在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交的图象于点，过点C作x轴的垂线交的图象于点E，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则四边形的面积为_____． 63．（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 64．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为___________． 1．如图，在中，点为重心，延长交于点，若平分，，，则的长为_______． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的横坐标为_______． 3．如图，在正方形中，点M在上运动，过点M分别作，垂足分别为点E，F，若，则的最小值为________． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 5．平行四边形中，两条邻边长分别为6和10，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______． 6．如图，是等腰直角三角形，，D是射线上一点，以为斜边作等腰直角三角形（点E和点C在AB的同侧），连接．当，时，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $