第02讲 三角形的边（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学新教材人教版

第02讲 三角形的边（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 三角形的边 在A 点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，没有选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学? 让我们带着这个问题进入今天的学习吧 【知识点1 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点2 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【题型1 判断三条线段能否构成三角形】 【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可得到结论. 【详解】解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形. 【变式1-1】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 【变式1-2】现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，理解题意是解决本题的关键． 需从长度1至的木棍中选三根围成三角形，要求最长边为，且另两边长度差大于．通过三角形两边之和大于第三边及差的条件，列举所有可能组合进行判断即可． 【详解】解：设另两边为a、，需满足且， ∵a、b从1至6中取不同整数， ∴满足的有：， 其中的只有：差，差． ∴共有2个三角形：和． 故选：A． 【变式1-3】有长度分别为，，,的四条线段，任选其中的三条线段，不能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系；在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据“三角形中较短的两边之和大于第三边”对各选项进行判断． 【详解】解：A、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴该三边不能组成三角形，故此选项符合题意； C、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【题型2 已知三角形的两边长,求第三边长的取值范围】 【例2】按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 【变式2-1】已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】已知，在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了求不等式组的解集，等腰三角形的定义，三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：若为等腰三角形，分情况讨论：，，． ①当时，， 解得， 三角形三边为4，4，10，不满足三角形三边关系； ②当时，， 解得， 三角形三边为4，10，10，满足三角形三边关系； ③当时，，不构成三角形，不合题意； 的值为4． 【变式2-3】已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 【题型3 利用三角形的三边关系进行化简】 【例3】已知，，为三角形三边的长，化简：． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、绝对值，根据三角形三边关系得到，，，再根据绝对值、合并同类项计算即可． 【详解】解：∵a，b，c为三角形三边的长， ∴， ∴，，， ∴ ． 【变式3-1】已知a，b，c分别是的三边长． (1)若，，c为奇数，试说明：为等腰三角形． (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，整式的加减运算，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键： （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出c的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【详解】（1）∵，， ∴，即， ∵，c为奇数， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵，，， ∴原式 ． 【变式3-2】已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 【变式3-3】已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 【题型4 利用三角形的三边关系解决线段间的不等关系问题】 【例4】如图，在中，点在边上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，根据三角形中，任意两边之和大于第三边可得，进而得到，即可证明结论． 【详解】证明：在中，（三角形两边之和大于第三边）， ∴（不等式的性质）， ∴． 【变式4-1】如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点D． 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有， 因为， 所以①， 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②， 将①和②相加，得：， 两边同时减去，得：， 因为， 所以．即． 【变式4-2】如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，根据大边对大角可得到，，进而可推出，从而可得到，同理可得，从而求证，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；C选项伸缩门是用到了菱形的不稳定性， 故选：C． 【变式5-1】下列图形中有几个具有稳定性？（   ） A．三个 B．四个 C．五个 D．六个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 所以从左起第1个、第4个、第6个图形具有稳定性，共三个． 故选：A． 【变式5-2】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条． 【变式5-3】如图，要使七边形木架不变形，至少要再钉上x根木条，则x的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性． 利用三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 至少再钉4根木条， 故选：C． 模块四 课后作业 1．如图，具有稳定性的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断图形是否由三角形构成即可确定其稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断每个图形是否由三角形构成，从而确定其稳定性． 【详解】解：观察题目中的四个图形： ①：是一个被一条对边上两点连线分割的四边形，整体结构仍由四边形构成，不具有整体稳定性； ②：是一个被两条对角线分割的四边形，形成了四个三角形，由于完全由三角形构成，具有稳定性； ③：是一个被分割成多个三角形的多边形，所有基本单元都是三角形，因此具有稳定性； ④：是一个梯形，未被分割，属于四边形，不具备稳定性； 因此，具有稳定性的图形是 ②和③． 故选：B． 2．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，利用三边关系确定第三边的取值范围，设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：， ，即， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为， 故选：D． 3．若等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则腰长为__________． 【答案】3或4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况讨论：当边长为4的边为腰时和当边长为4的边为底边时，根据等腰三角形的定义和三角形三边关系进行求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则底边长为，此时三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为4时，腰长为，此时三边长分别为3，3，4， ∵ ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的腰长为3或4， 故答案为：3或4． 4．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和必须大于第三边是解题的关键． 先列举出所有可能性，然后运用三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：四根木棒的所有可能三根组合有：①；②；③；④． 组合①，由，不能构成三角形； 组合②，，不能构成三角形； 组合③，，不能构成三角形； 组合④，，所有两边之和均大于第三边，满足三角形三边关系． ∴能组成三角形的三根小木棒长度为． 故答案为． 5．小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度．由于米尺长度有限，小刚测得米，米．根据小刚的测量，他______完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用．根据，可得答案. 【详解】解：由题意可知，， ∴小刚能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 6．等腰三角形周长为10，腰长为，底边长为，则的取值范围是______．的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等；由等腰三角形的定义得，结合三角形三边的关系得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 故：； ， 解得：； 故答案为：，． 7．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】或． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据“一腰上的中线将周长分成和两部分”，分两种情况列出方程组，再结合三角形三边关系验证，进而求出等腰三角形的腰长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， ①腰半腰，底半腰， ， 解得：， 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； ②腰半腰，底半腰， ， 解得：． 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； 答：这个等腰三角形的腰长是或． 8．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 9．小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为10米？为什么？ 【答案】(1)米 (2)第一条边长不能为米，理由见解析 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，三角形三边关系等知识； （1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）当时，三边长分别为，根据三角形三边关系即可作出判断． 【详解】（1）解：∵第一条边长为米, 第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米 ∴第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米； 10．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 三角形的边（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 三角形的边 在A 点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，没有选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学? 让我们带着这个问题进入今天的学习吧 【知识点1 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点2 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【题型1 判断三条线段能否构成三角形】 【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1-2】现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】有长度分别为，，,的四条线段，任选其中的三条线段，不能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型2 已知三角形的两边长,求第三边长的取值范围】 【例2】按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【变式2-1】已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【变式2-2】已知，在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 【变式2-3】已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【题型3 利用三角形的三边关系进行化简】 【例3】已知，，为三角形三边的长，化简：． 【变式3-1】已知a，b，c分别是的三边长． (1)若，，c为奇数，试说明：为等腰三角形． (2)化简：． 【变式3-2】已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【变式3-3】已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【题型4 利用三角形的三边关系解决线段间的不等关系问题】 【例4】如图，在中，点在边上，求证：． 【变式4-1】如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【变式4-2】如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 【变式4-3】如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列图形中有几个具有稳定性？（   ） A．三个 B．四个 C．五个 D．六个 【变式5-2】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】如图，要使七边形木架不变形，至少要再钉上x根木条，则x的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 模块四 课后作业 1．如图，具有稳定性的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 2．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（    ）    A． B． C． D． 3．若等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则腰长为__________． 4．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 5．小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度．由于米尺长度有限，小刚测得米，米．根据小刚的测量，他______完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 6．等腰三角形周长为10，腰长为，底边长为，则的取值范围是______．的取值范围是______． 7．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 8．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 9．小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为10米？为什么？ 10．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $