精品解析：山东省淄博高青县2026年九年级数学第二次模拟试题

2026年初中学业水平第二次模拟考试九年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列几何体中截面不可能是长方形的是（ ） A. B. . C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见几何体的截面特点逐项判断即可得． 【详解】A、长方体的截面有可能是长方形，此项不符题意； B、圆柱的截面有可能是长方形，此项不符题意； C、球体的截面只能是圆，不可能是长方形，此项符合题意； D、三棱柱的截面有可能是长方形，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握常见几何体的截面特点是解题关键． 3. “小楼一夜听春雨，深巷明朝卖杏花．”这是宋朝诗人陆游眼里的杏花，单片杏花的重量其实很轻，只有左右．则0.000032用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的一般形式为，要求，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数 【详解】解：∵ 对于，左起第一个非零数字为，其前共有个零，将小数点移到后可得，满足， ∴ 4. 如下表为淄博市高青县城区某周7天的最高气温，这组数据的中位数与众数分别为（ ） 日期 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 最高温度℃ 15 16 18 13 11 12 13 A. 14，13 B. 13，14 C. 14，14 D. 13，13 【答案】D 【解析】 【分析】将原数据从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可 【详解】解：将这7天的最高气温从小到大排列，得： ∵数据个数为7，是奇数，中位数为排序后中间位置的数，即第个数， ∴这组数据的中位数为 ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中出现的次数最多，共出现2次 ∴这组数据的众数为 因此这组数据的中位数与众数分别为， 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 6. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为尺，那么索长为（ ）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用．根据题目问题和给出条件设出未知数并解方程，是解题的关键． 通过设未知数：设索长为尺，竿长为尺，根据索比竿子长一托和对折索子比竿子短一托，转化为二元一次方程组，并解得答案． 【详解】解：设索长尺，竿长尺， ∵ 索比竿子长一托，一托尺，对折索子来量竿，却比竿子短一托， ∴ 可列方程组为：， 解得：， ∴ 索长为尺，竿长为尺． 故答案为：． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：． 故选D． 8. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C，D．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线长定理得到，得，得，由，得，由即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别与相切于点A、B，连接并延长与交于点C、D， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的计算，掌握三角函数值的计算是解题的关键． 9. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义等知识点，由反比例函数k的几何意义得到与面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得到与面积之比，设面积为x，列出关于x的方程，进而即可得解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 【详解】如图，连接，过点C作轴，     ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 设面积为，根据反比例函数k的意义得到面积为， ∵， ∴与面积之比为， ∵的面积为，， ∴的面积为， ∴面积为，即的面积为， 解得， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ） A. 14 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长． 方法二：设AB交CR于点M，先证得，可得、，进而可求得PC＝5，CQ＝10，设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长． 【详解】方法一： 解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J， ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形， ∴∠ACE＝∠BCH＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°， ∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°， ∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上， ∵DE∥AI∥BH， ∴∠CEP＝∠CHQ， ∵∠ECP＝∠QCH， ∴△ECP∽△HCQ， ∴， ∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10， ∵EC:CH＝1:2， ∴AC:BC＝1:2， 设AC＝a，则BC＝2a， ∵PQ⊥CR，CR⊥AB， ∴CQ∥AB， ∵AC∥BQ，CQ∥AB， ∴四边形ABQC为平行四边形， ∴AB＝CQ＝10， ∵， ∴， ∴（舍负） ∴，， ∵， ∴， ∵JR＝AF＝AB＝10， ∴CR＝CJ＋JR＝14， 故选：A． 方法二： ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形 ∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10 设，则 在Rt△ABC中，∠ACB＝90° 由勾股定理得 由等面积法得 设与交于点J ∵四边形ABGF是正方形 PQ⊥CR，CR⊥AB，∠ACB＝90° ∴CQAB，ACBQ，四边形AMRF是矩形 ∴四边形ABQC为平行四边形， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若，则______度． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查了直角三角板中的角度计算，弄清角之间的关系并准确计算是解题的关键． 求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． 13. 如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在的右侧作矩形，点F在边上，若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，设，可证明得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 14. 从方格表中去掉某一个方格，使得剩下的小方格可以被（或）的矩形不遗漏且不重复地覆盖，则被去掉的小方格有_____种可能的位置． 【答案】9 【解析】 【分析】本题涉及到图形的覆盖问题以及对方格表的结构分析． 我们可以通过对方格表进行染色（类似于国际象棋棋盘染色），根据（或）矩形覆盖方格的特点来确定被去掉方格的可能位置． 【详解】解：将方格表进行黑白相间染色，使得相邻的方格颜色不同，如同国际象棋棋盘．这样方格总数为（个），其中黑色方格和白色方格的数量不同．一个（或）的矩形无论怎么放置，它覆盖的方格必然是2个一种颜色和1个另一种颜色． 设黑色方格有x个，白色方格有y个，．因为，为了使得剩下的方格能被（或）的矩形不遗漏且不重复地覆盖，去掉的方格必须使得剩下的方格数能被3整除．由于（或）矩形覆盖的方格是2黑1白或2白1黑的组合，所以去掉的方格颜色应该是使得剩下的两种颜色方格数的差是3的倍数． 经过计算可知，黑色方格有25个，白色方格有24个，所以应该去掉黑色方格． 确定去掉方格的位置，我们观察方格表，发现黑色方格中处于特定位置的方格满足条件．通过对不同位置的尝试和分析（可以从行和列的对称性等方面考虑），可以得出去掉的黑色方格有9种可能的位置． 故答案为：9． 15. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2026次得到的点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于H，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标；由，则菱形每旋转6次会回到原来的位置，，则点的坐标与点的坐标相同． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于H，连接交于，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵B的坐标是， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的坐标是； ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），， ∴菱形每旋转6次会回到原来的位置，， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 17. 如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是全等三角形的论证； （1）根据等边对等角可得，结合，可得，进而得出，结论可证； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， ， ． 18. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 19. 如图，直线与坐标轴交于点，与双曲线交于两点，并且． （1）求反比例函数的解析式： （2）若y轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、利用坐标求线段长度以及数形结合思想的应用。 （1）先求得点、的坐标，再根据，得到点是线段的中点，从而求出点的坐标为，再将点的坐标代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （2）联立，求出点的坐标，设，利用面积公式建立方程求解即可； （3）利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，， 点的坐标为， 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， 点是线段的中点， 设点的坐标为， 则， 解得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入反比例函数解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ， 如图，设， 由面积公式可得：， 即， 解得：或， 或； 【小问3详解】 解：由图可知，不等式的解集为：或． 20. 为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出学生竞赛成绩统计表中a、b的值，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）七、八年级中成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； （3）若该校七年级有500人，八年级有600人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ （4）现从七、八年级学生中选择了2男3女共5名学生作县级比赛候选人，若随机抽取2人参加县级比赛，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）学生竞赛成绩统计表中a、b的值分别为9，10，补全条形统计图如下： （2）七年级成绩更稳定，理由如下：在平均数相同的情况下，七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级成绩较稳定 （3）估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有648人 （4）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义确定a、b的值；先求出七年级成绩C等级人数为4，再补全条形统计图即可； （2）利用方差进行决策即可； （3）用样本估计整体即可解答； （4）先根据题意列表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：七年级有50名学生， ∴七年级成绩由高到低排在第25和26位的是B等级， 中位数， 八年级A等级人数最多， 众数． 七年级成绩C等级人数为：（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如图：略 【小问2详解】 解：七年级成绩更稳定，理由略． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有648人． 【小问4详解】 解：根据题意列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3） 女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2） 由列表可知，总共有20种等可能结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况数为12，故恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）支点C离桌面l的高度为 （2）当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时， ； 当时， ； ∴， 答：当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，当点P为抛物线的顶点时，求线段的长； （3）如图②，过点P作于点M，设点P的横坐标为t． ①用含t的代数式表示线段的长； ②连接，求四边形面积的最大值，并直接写出此时的长． 【答案】（1） （2） （3）①；②四边形面积的最大值为9， 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标以及的解析式，进而求出点的坐标，即可得出结果； （3）①先求出的长，解直角 ；②利用分割法求出四边形面积，利用二次函数的性质求出最值，进而求出此时的值，代入①中代数式求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，且， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，，， ∴， ∴； ②由题意，四边形面积 ， ∴当时，四边形的面积最大为，此时． 23. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第二次模拟考试九年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列几何体中截面不可能是长方形的是（ ） A. B. . C. D. 3. “小楼一夜听春雨，深巷明朝卖杏花．”这是宋朝诗人陆游眼里的杏花，单片杏花的重量其实很轻，只有左右．则0.000032用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如下表为淄博市高青县城区某周7天的最高气温，这组数据的中位数与众数分别为（ ） 日期 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 最高温度℃ 15 16 18 13 11 12 13 A. 14，13 B. 13，14 C. 14，14 D. 13，13 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为尺，那么索长为（ ）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C，D．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ） A. 14 B. 15 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 分解因式：____________． 12. 如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若，则______度． 13. 如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在的右侧作矩形，点F在边上，若，则的最大值为________． 14. 从方格表中去掉某一个方格，使得剩下的小方格可以被（或）的矩形不遗漏且不重复地覆盖，则被去掉的小方格有_____种可能的位置． 15. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2026次得到的点的坐标是____． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 18. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 19. 如图，直线与坐标轴交于点，与双曲线交于两点，并且． （1）求反比例函数的解析式： （2）若y轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 20. 为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出学生竞赛成绩统计表中a、b的值，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）七、八年级中成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； （3）若该校七年级有500人，八年级有600人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ （4）现从七、八年级学生中选择了2男3女共5名学生作县级比赛候选人，若随机抽取2人参加县级比赛，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 21. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，当点P为抛物线的顶点时，求线段的长； （3）如图②，过点P作于点M，设点P的横坐标为t． ①用含t的代数式表示线段的长； ②连接，求四边形面积的最大值，并直接写出此时的长． 23. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $