精品解析：2026年山东省淄博市临淄区中考二模数学试卷

2025—2026学年度第二学阶段性质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 如图，数轴上点表示的实数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年央视春晚的舞台上多款机器人惊人亮相，动作精准，队形整齐，尽显中国科技的魅力．下列机器人简笔图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年4月6日，“阿耳忒弥斯2号”任务的“猎户座”飞船飞掠月球时，距地球约万公里，是人类环月飞行至今距离地球的最远距离．将万公里用科学记数法表示为（ ）公里． A. B. C. D. 4. 在2026年米兰冬奥会上，中国体育代表团夺得5金4银6铜共15枚奖牌．回顾中国体育代表团参加的近六届冬奥会，其每届获得奖牌总数（单位：枚）的情况如表： 年份 2026年 2022年 2018年 2014年 2010年 2006年 奖牌总数 15 15 9 9 11 11 则奖牌总数这组数据的中位数是（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 5. 如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. “齐齐哈尔烤肉”是当地特色美食．某商场推出大、小两种牛肉礼盒，每个大礼盒含牛肉5千克，每个小礼盒含牛肉3千克，某游客欲购买45千克的牛肉，且大、小礼盒均可选购（允许只购买一种礼盒），则不同的购买方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 7. 在下列各图中，根据尺规作图痕迹可以判断点是弧中点的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 10. 如图，点，，，…，在反比例函数的图象上，点，，，…，在轴上，且，直线与双曲线交于点，且，，，则（为正整数）的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 12. 分解因式：_____． 13. 如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 14. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 在一次“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图，当两辆消防车喷水口之间的水平距离为时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点距地面，喷水口距地面均为．若两辆消防车同时后退，两条水柱的形状及喷水口到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面______m． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20、21题每题12分，第22、23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）解不等式组：并写出所有的整数解． 17. 如图，已知，且，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. “中国航天日”是每年的4月24日，是为了纪念1970年4月24日中国成功发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”，为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校近期组织了全校学生都参与的航天知识竞赛．竞赛结束后，随机抽取部分学生成绩，并根据分数分成5个等级进行整理，绘制了如下统计表和统计图． 等级 成绩/分 人数 A 25 B m C n D 15 E 80分以下 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了________名学生的成绩，________，________． （2）扇形统计图中等级B所对应的圆心角是多少度？ （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的竞赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全县的航天知识竞赛，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式和m值； （2）当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 20. 某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点C处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点B处，此时测得河对岸D处的倾斜角为，图中点A，B，D，C在同一平面内． （1）求无人机从点C飞到点A时垂直上升的距离（结果保留根号）； （2）求该段河道的宽度（结果保留整数）． 21. 如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，，且． （1）连接，求证：； （2）连接，若，，求弦的长度； （3）在（2）的条件下计算图中阴影部分的面积． 22. 综合应用 【问题发现】 （1）如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长． 23. 【定义感知】 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（是常数，且），则称点，是“共倾移动点对”． （1）已知点，在反比例函数图象上，其中点的坐标为，若点，是“共倾移动点对”，求点的坐标； （2）【理解应用】 机器人从直线与曲线的交点移动到交点，若和是“共倾移动点对”，且，求的取值范围； （3）【拓展延伸】 智能图形绘制器绘制的抛物线过点，点是抛物线对称轴上一点，且，点为平面内一点，点为抛物线上的动点．若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“共倾移动点对”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学阶段性质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 如图，数轴上点表示的实数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察数轴得：点表示的实数在与0之间， ∵， ∴数轴上点表示的实数可能是． 2. 2026年央视春晚的舞台上多款机器人惊人亮相，动作精准，队形整齐，尽显中国科技的魅力．下列机器人简笔图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 3. 2026年4月6日，“阿耳忒弥斯2号”任务的“猎户座”飞船飞掠月球时，距地球约万公里，是人类环月飞行至今距离地球的最远距离．将万公里用科学记数法表示为（ ）公里． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵万， ∴将万公里用科学记数法表示为公里． 4. 在2026年米兰冬奥会上，中国体育代表团夺得5金4银6铜共15枚奖牌．回顾中国体育代表团参加的近六届冬奥会，其每届获得奖牌总数（单位：枚）的情况如表： 年份 2026年 2022年 2018年 2014年 2010年 2006年 奖牌总数 15 15 9 9 11 11 则奖牌总数这组数据的中位数是（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先将这组数据从小到大排序，再根据中位数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵将奖牌总数从小到大排序为，，，，，，这组数据共有个，个数为偶数， ∴中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即中位数为． 5. 如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，利用邻补角定义求出，再根据角平分线定义求出的度数，即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． 6. “齐齐哈尔烤肉”是当地特色美食．某商场推出大、小两种牛肉礼盒，每个大礼盒含牛肉5千克，每个小礼盒含牛肉3千克，某游客欲购买45千克的牛肉，且大、小礼盒均可选购（允许只购买一种礼盒），则不同的购买方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】C 【解析】 【分析】设大、小礼盒的购买数量，根据总重量列出二元一次方程，求方程的非负整数解个数，即可得到不同购买方案的数量． 【详解】解：设购买大礼盒个，小礼盒个． 根据题意得 ， 整理得 ， 为非负整数， 必须是3的倍数，且 ，解得 ． 且，可得的取值为，共4种，对应的取值分别为，均符合要求． 7. 在下列各图中，根据尺规作图痕迹可以判断点是弧中点的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线性质，依次对图形进行判断即可． 【详解】解：A、以为圆心，为半径画圆弧，则是等腰三角形，且； 连接，如图， 只有当是直径时，得，由等腰三角形的性质得， 则，即点是弧中点，故不能保证结论成立，不符合题意； B、角平分线的画法，再结合同弧所对的圆周角相等即可判断，符合题意； C、尺规作图的直线是的垂直平分线，垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的两条弧，符合题意； D、由作图痕迹可知，平行于，无法得到点是弧中点，不符合题意． 8. 抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 9. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点H，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明；然后利用三角函数，，可得，，易得，求解即可获得答案． 【详解】解：过点E作于点H，如图， 则， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 10. 如图，点，，，…，在反比例函数的图象上，点，，，…，在轴上，且，直线与双曲线交于点，且，，，则（为正整数）的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再结合等腰直角三角形的性质求出的坐标，接着依次求出的坐标，通过归纳推理得出的坐标规律． 【详解】解：直线与双曲线交于点， 联立方程， ， ， ， ， ． 过点作轴于， ∵． ∴， ∴是等腰直角三角形，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵， ∴， ∵直线：， ∴设直线为， ∵过， ∴， ∴， ∴直线为， 联立， ， （）， ， ， ∴， ∵，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 同理可得， 归纳可得． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式为非负数得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点B和其对应点D的坐标，计算出平移的横坐标变化量和纵坐标变化量．利用上述计算出的变化量，结合点A的坐标求出点C的坐标． 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵，  ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 14. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 15. 在一次“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图，当两辆消防车喷水口之间的水平距离为时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点距地面，喷水口距地面均为．若两辆消防车同时后退，两条水柱的形状及喷水口到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面______m． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的轨迹问题，根据题意建立合适的平面直角坐标系是解题的关键；以地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可得到点的坐标，设出抛物线的解析式，将点的坐标代入即可求得解析式，再根据解析式的平移规则即可得到后退后的解析式，进而求得的纵坐标，也就是距离地面的高度. 【详解】解：如图，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 由题意可知，点的坐标分别为． 设抛物线的解析式为． 将代入解析式， 解得， ． 当两辆消防车同时后退， 即抛物线向左（右）平移时， 向左平移后的抛物线的解析式为． 令， 则． 故两条水柱相遇点距地面; 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20、21题每题12分，第22、23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）解不等式组：并写出所有的整数解． 【答案】（1） （2），不等式组的整数解是，0，1 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 不等式组的整数解是，0，1． 17. 如图，已知，且，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，、是上两点， ， ， ， ， 在和中， ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”直接证明全等即可； （2）由三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的性质，得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）得， ， ， 的度数是． 18. “中国航天日”是每年的4月24日，是为了纪念1970年4月24日中国成功发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”，为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校近期组织了全校学生都参与的航天知识竞赛．竞赛结束后，随机抽取部分学生成绩，并根据分数分成5个等级进行整理，绘制了如下统计表和统计图． 等级 成绩/分 人数 A 25 B m C n D 15 E 80分以下 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了________名学生的成绩，________，________． （2）扇形统计图中等级B所对应的圆心角是多少度？ （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的竞赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全县的航天知识竞赛，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由D的人数除以占比求解抽取的人数，再由抽取的人数乘以C的占比求解，然后由抽取的人数减去其余的人数求解； （2）先求出等级的占比，再乘以即可． （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次调查随机抽取了名学生的成绩， ， ； 【小问2详解】 解：， ∴等级B所对应的圆心角是； 【小问3详解】 解：设八年级一班的两位学生用1、2表示，八年级二班的两位学生用3、4表示， 画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，选出的2名学生恰好来自同一个班级的结果数有4种， ∴选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率是． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式和m值； （2）当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出反比例函数的解析式为，设点P的坐标为，得到点Q的坐标为，，，再根据三角形的面积公式，得到，求出，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时的解集为； 【小问3详解】 解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 20. 某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点C处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点B处，此时测得河对岸D处的倾斜角为，图中点A，B，D，C在同一平面内． （1）求无人机从点C飞到点A时垂直上升的距离（结果保留根号）； （2）求该段河道的宽度（结果保留整数）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，在中，解直角三角形即可得出结果； （2）过点作，交的延长线于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，最后再解直角三角形即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，， 则， 故无人机从点C飞到点A时垂直上升的距离为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于， 则四边形为矩形， ，， 在中，，， 则， 在中，，， 则， ， 故该段河道的宽度为． 21. 如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，，且． （1）连接，求证：； （2）连接，若，，求弦的长度； （3）在（2）的条件下计算图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，即可求得； （3）根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 22. 综合应用 【问题发现】 （1）如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）利用正方形和余角性质可证，，，进而即可求证； （）同理（）可证，再利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义解答即可求解； （）由（）可得，得 ，由直角三角形的性质得，即得，得到，得，即得到，再分在线段上和线段的延长线上两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴， 解得或(不合题意，舍去)； 当在线段的延长线上时，如图， 则， ∵， ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)或； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 【定义感知】 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（是常数，且），则称点，是“共倾移动点对”． （1）已知点，在反比例函数图象上，其中点的坐标为，若点，是“共倾移动点对”，求点的坐标； （2）【理解应用】 机器人从直线与曲线的交点移动到交点，若和是“共倾移动点对”，且，求的取值范围； （3）【拓展延伸】 智能图形绘制器绘制的抛物线过点，点是抛物线对称轴上一点，且，点为平面内一点，点为抛物线上的动点．若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“共倾移动点对”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）设，再根据“共倾移动点对”的定义计算即可得出结果； （2）将，分别代入得，，从而得出，由题意得出，即直线的解析式为，联立，再结合，计算即可得出结果； （3）求出抛物线的解析式为，再分两种情况：当点在点的上方时，过点作轴于点，过点作轴于点；当点在点的下方时，过点作轴于点，过点作轴于点；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵已知点，在反比例函数图象上，其中点的坐标为，点，是“共倾移动点对”， ∴设， ∴， 整理得， 解得，（经检验，都是分式方程的解，此解不合题意，舍去）， ； 【小问2详解】 解：∵机器人从直线与曲线的交点移动到交点， ∴将，分别代入得，， ∴， 又点和是“共倾移动点对”， ， 直线的解析式为， 联立得：， 整理得， ∵， ． ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ； ∴； 【小问3详解】 解：正方形的四个顶点中存在相对的两个顶点是“共倾移动点对”； 理由如下： 抛物线过点， ． 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线的解析式为， 如图1，当点在点的上方时，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ， 点的坐标为， 由正方形的对角线互相平分，根据中点坐标可得：，， 解得：，， 点的坐标为， 当，两个顶点是“共倾移动点对”， 则，解得，不符合题意舍去； 当，两个顶点是“共倾移动点对”， 则， 解得； 点的坐标为， 代入抛物线解析式得， 解得； 当点在点的下方时，过点作轴于点，过点作轴于点，如图2， 同理可证， ∴，， ∴， 点的坐标为， 由正方形的对角线互相平分，根据中点坐标可得：，， 解得：，， 点的坐标为， 当，两个顶点是“共倾移动点对”，则， 解得：， 当，两个顶点是“共倾移动点对”， 则， 解得：，不符合题意舍去； ∴ 当时，点的坐标为， 代入抛物线解析式得， 解得：； 综上所述，存在，的值为或． 【点睛】采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $