第02讲 从立体图形到平面图形（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学新教材北师大版

第02讲 从立体图形到平面图形（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 从立体图形到平面图形 还记得小学学过的正方体表面的展开图吗？将一个正方体的表面沿某些棱剪开，你能得到哪些形状的展开图？你能得到下图中的展开图吗？ 【知识点1 正方体的展开图】 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种． 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四；田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知． 【知识点2 截面】 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． 【知识点3 从三个方向看几何体】 ①从正面看；②从左面看；③从上面看． 【题型1 平面图形的认识】 【例1】下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【详解】解：①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形， 共5个图形，属于平面图形， 故选：D． 【变式1-1】下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，根据平面图形和立体图形的定义逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.球、圆柱是立体图形，故不符合题意； B.体是立体图形，故不符合题意； C.角、三角形、四边形、圆都是平面图形，故符合题意； D.正方体是立体图形，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】在长方形、长方体、三角形、球、圆中，平面图形有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的定义，解决本题的关键是熟练掌握平面图形的定义． 平面图形是指所有点都在同一平面内的图形，即二维图形，根据定义判断每个图形是否为平面图形即可． 【详解】解：长方形是四边形，所有点在同一平面，是平面图形； 三角形有三条边，所有点在同一平面，是平面图形； 圆是二维图形，所有点在同一平面，是平面图形； 长方体是三维图形，点不在同一平面，不是平面图形； 球是三维图形，点不在同一平面，不是平面图形； 平面图形有3个． 故选：A． 【变式1-3】构成如图所示的图案的平面图形是（   ） A．三角形和扇形 B．四边形和圆 C．三角形 D．圆和扇形 【答案】A 【分析】本题考查了图形的识别，认识图形是解本题的关键． 【详解】解：观察图案，可发现由三角形和扇形构成，故选项符合题意． 故选：． 【题型2 几何体展开图的认识】 【例2】下面图形中，三棱锥的平面展开图是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱锥的特征，它由4个三角形面组成，且折叠后能围成封闭立体图形，据此逐一分析即可． 【详解】解：A．由4个三角形组成，且中间一个三角形周围连着三个三角形，折叠后可围成三棱锥，该项符合题意； B．4个三角形排成一排，折叠后会有两个面重合，无法围成三棱锥，该项不符合题意； C．有1个正方形和4个三角形，是四棱锥的展开图，该项不符合题意； D．有3个长方形和2个三角形，是三棱柱的展开图，该项不符合题意； 故选：． 【变式2-1】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．五棱柱 【答案】D 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：由题意知， 上下底面是五边形， 故该几何体是五棱柱． 故选：． 【变式2-2】生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：D． 【变式2-3】如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（     ） A．圆锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．长方体 【答案】B 【分析】根据立体图形的展开图特点即可求解． 【详解】解：观察几何体的展开图可知，这个几何体是四棱锥． 故选：． 【题型3 由展开图计算几何体的表面积】 【例3】如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． 【变式3-1】已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直棱柱侧面积的计算，利用直棱柱侧面积之和等于侧棱长与底面周长的乘积即可求解． 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 【变式3-2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 【变式3-3】如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式． 根据长方体的表面积公式得，代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，是长方体的高，是长方体的宽，是长方体的长， 长方体的表面积长宽长高宽高， 且这个长方体的表面积为， ， 又，， ， 解得． 故答案为：． 【题型4 由展开图计算几何体的体积】 【例4】如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的体积计算问题，解答时一定要清楚长方体展开图的特征，以及长方体体积计算的公式． 、的长度均为8的一半，可得长方体的长或宽；6减去的长度值再除以2可得长方体的高，6减高的2倍可得长方体的宽或长；求得长方体的长、宽、高后，进而按“长方体的体积长宽高”求出体积即可． 【详解】解：由题意可得，的长度：（）， 长方体的高：（） 长方体的宽：（） 长方体的体积：（） 答：原长方体的体积是． 故选：B． 【变式4-1】如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 【变式4-2】如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 【答案】320 【分析】本题考查了长方体的展开图，体积．解题的关键在于根据图形求出长方体的高，底面正方形的边长． 由图可知，长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，然后求体积即可． 【详解】解：根据题意可知长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为． 则制作成底面为正方形的长方体箱子的体积， 故答案为：320． 【变式4-3】用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 【答案】400 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为 ， ∴容积为， ， 长方体无盖的容积最大值为， 故答案为：400． 【题型5 正方体几种展开图的识别】 【例5】下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 故选：B． 【变式5-1】如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，逐项分析，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：A． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形①后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； B． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形②后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； C． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形③后，得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，该项正确； D． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形④后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误． 故选：C． 【变式5-2】如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是（   ） A．8，10 B．7，9 C．2，7 D．4，8 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的平面展开图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据正方体的平面展开图解题即可 【详解】解：观察题图可知，折叠后与数字6重合的数字是2，7． 故选：C． 【变式5-3】如图，图1和图2中所有的正方形都完全相同，将图1的正方形放在图2中的某一位置，其中所组成的图形不能围成正方体的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体表面展开图的特征是解决本题的关键． 根据正方体表面展开图的特征，进行判断即可． 【详解】解：A选项，添加到1的位置，符合正方体表面展开图的“3-3型”的特征，是正方体的表面展开图，不符合题意； B选项，添加到2的位置，符合正方体展开图的“2-3-1型”的特征，是正方体的表面展开图，不符合题意； C选项，添加到3的位置，符合正方体展开图的“2-3-1型”的特征，是正方体的表面展开图，不符合题意； D选项，添加到4的位置，由于图中含有“田”字，不是正方体的表面展开图，符合题意． 故选：D． 【题型6 正方体相对两面上的字】 【例6】年月日，“国风潮起——第三届晋祠国风文化节”在晋祠博物馆拉开帷幕．如图是小琥制作的正方体活动物料的展开图，则该正方体可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是正方体展开图中相对面上的字，解题关键是熟练掌握正方体展开图中相对面不相邻的特点． 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形这一特点找出每对相对面，根据相对面不相邻作答即可． 【详解】解：由正方体活动物料的展开图得，“晋”和“祠”互为相对面，“国”和“文”互为相对面，“风”和“化”互为相对面， 选项，“晋”和“祠”不可能相邻，不符合题意； 选项，“晋”“国”“风”都是相邻面，符合题意； 选项，“国”和“文”不可能相邻，不符合题意； 选项，“风”和“化”不可能相邻，不符合题意． 故选：． 【变式6-1】为了发扬“中国航天精神”，每年的月日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．航 B．天 C．精 D．神 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图相对的面之间要间隔一个正方形，可知：与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 【详解】解：与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 故选：． 【变式6-2】在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 【答案】A 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此得与①号面相对是空的，即可作答． 【详解】解：∵正方体表面展开图“141”型中，与①号面相对是空的， ∴贴在桌子上的底面对应的是展开图的①号面． 故选：． 【变式6-3】有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 【答案】A 【分析】根据图形，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择． 【详解】解：图1：正面为1，上面为6，右面为4； 图2：正面为3，上面为2，右面为1； 图3：正面为4，上面为5，右面为3； 由图1和图2可得，和1相邻的是6、4、2、3，所以可以确定1的对面是5； 由图2和图3可得，和3相邻的是1、2、4、5，可以确定3的对面是6； 所以剩下4的对面是2． 综上，A选项错误． 故选：． 【题型7 含图案的正方体的展开图】 【例7】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据正方体的侧面展开图判断正方体． 根据正方体的侧面展开图的特征判断即可． 【详解】解：由图可知，正方体中圆相邻的四个面中，应为三个相邻的竖线面及一个空白面，且三条竖线均垂直于圆所在的面的边，A正确，B、C错误； 由图可知，正方体中三个竖线面中的竖线应指向统一方向，D错误； 故选：A． 【变式7-1】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 【变式7-2】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开图， 先观察原正方体可知带有图案的三个面交于一点，再逐个判断即可． 【详解】解：由原正方体知带有图案的三个面交于一点，而通过折叠后A，B都不符合； 且D折叠后带有图案的面的位置正好相反，所以能得到的图形是C选项． 故选：C． 【变式7-3】如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意； B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意； C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意； D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意． 故选：A． 【题型8 补一个表面使图形围成正方体】 【例8】如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 【变式8-1】如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 故答案为：4． 【变式8-2】如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【变式8-3】图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 【分析】正方体的展开图一共有种，其中型有种，型有种，型有种，型有种，根据以上展开图的形态结合已知图形可得答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键． 【题型9 截一个几何体】 【例9】传统文化  栾川豆腐是洛阳市传统特色美食，曾获非物质文化遗产，国家地理标志产品认证．其制作技艺可追溯至汉代，兼具细腻爽滑与劲道松软特质、久煮不散（如图）．用刀截一个正方体栾川豆腐块，截面不可能是（   ） A．七边形 B．六边形 C．矩形 D．三角形 【答案】A 【分析】根据截面经过几个面来判断截面是几边形即可． 【详解】解：正方体最多有6个面，截面最多也经过6个面，所以得到的多边形的边数最多是六边形，所以不可能是七边形． 故选：． 【变式9-1】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 故选：． 【变式9-2】科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用平面截取圆柱体，不同截取方式得到不同截面，求解即可； 【详解】解：当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，圆柱直径与高相等时可得正方形截面， 故A是可能的； 平行于圆柱底面截取，可得到圆形截面，故B是可能的； 当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，直径与高不相等时可得长方形截面，故C是可能的，无论怎么用平面截取圆柱，都不可能得到三角形截面，因此截面不可能是三角形； 故选：． 【变式9-3】给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是长方体；三棱锥；圆锥． 即截面的形状可能是三角形的是①③④． 故选：． 【题型10 从不同方向看几何体】 【例10】一个几何体从三个方向看到的图形如下，这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、这个几何体从三个方向看到的图形如下： 则此项不符合题意； B、这个几何体从三个方向看到的图形如下： 则此项不符合题意； C、这个几何体从三个方向看到的图形如下： 则此项不符合题意； D、这个几何体从三个方向看到的图形如下： 则此项符合题意． 故选：． 【变式10-1】如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形状图． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 【变式10-2】一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【分析】从上面观察几何体及小正方形中的数字，可知从正面看几何体的列数与从上面观察几何体的列数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应列中小正方形中的数字的最大数字；从左面看几何体的列数与从上面观察几何体的行数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应行中小正方形中的数字的最大数字，据此画图即可． 【详解】解：如图： 【变式10-3】如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． （1）在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可； （2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答． 【详解】（1）解：该几何体从左面看到的形状图如下： 从上面看到的形状图如下： （2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图： ， 所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体． 模块三 课后作业 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开图中有两个三角形，三个四边形，是三棱柱的组成， 这个几何体是三棱柱． 故选：B 2．某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的截面，正方体有六个面，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线．用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案． 【详解】解：正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 将流沙砖任意放置时，流沙面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 故不可能出现七边形，可能是三角形、四边形、五边形和六边形． 故选：D． 3．图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，先观察正方体标有点数的面与标有点数和的面相邻，则可排除面①和面③；再根据标有点数的面中黑点的排列规律确定出标有点数中黑点的排列规律即可得到答案． 【详解】解：观察图可知，①与是相对面，③与是相对面，②与④是相对面，根据点数、、的面的对应关系，当标有的面中两个黑点竖着排列时，标有的面中黑点呈左下到右上的方向排列时，故面②符合题意，面④不符合题意． 故选：B． 4．如图，实线部分是由五个正方形组成的图形．在标记的四个位置中，若选择其中一处添加一个正方形，使六个正方形能组合成一个完整的图形，则添加后不能折叠成正方体的位置是（  ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】A 【分析】本题考查正方体的表面展开图，关键是熟知正方体展开图的禁忌形式：包含“田”字格、“凹”字形、“七”字形或一行有超过四个正方形的展开图，均无法折叠成正方体． 【详解】解：正方体的表面展开图中，若存在“田”字格结构，则无法折叠成正方体． 在处添加正方形后，形成的图形属于“四二”型，折叠后会产生重叠的面，不符合正方体展开图的要求； 在处添加正方形后，形成的图形属于“一三二”型正方体展开图，可以折叠成正方体； 在处添加正方形后，形成的图形属于“一三二”型正方体展开图，可以折叠成正方体； 在处添加正方形后，形成的图形属于“三三”型正方体展开图，可以折叠成正方体； ∴不能选择的位置是A． 故选：A． 5．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 故选：A． 6．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 【答案】立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 【分析】本题考查了几何图形的分类：立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只存在于一个平面内． 【详解】解：③圆锥是立体图形，因为它是由圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑤圆柱是立体图形，因为它是由两个平行圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑦球是立体图形，因为它是所有点与中心点距离相等的三维图形． ⑨正方体是立体图形，因为它是由六个正方形面围成的三维图形． ①长方形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ②三角形是平面图形，因为它是三条边组成的二维图形． ④直线是平面图形，因为它是无限延伸的一维图形，但存在于平面内． ⑥平行四边形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ⑧圆是平面图形，因为它是所有点与中心点距离相等的二维图形． 立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 7．已知一个圆柱的侧面展开图为长方形，其宽为，长为，则该圆柱的体积是多少？（取） 【分析】圆柱侧面展开图的长方形，一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长，需分两种情况讨论底面周长与高的对应关系，再根据圆柱体积公式计算体积． 【详解】解：情况一：当长方形的长为底面周长，宽为高时， 底面周长，高 ， ∴， ∴； 情况二：当长方形的宽为底面周长，长为高时， 底面周长，高 ， ∴， ∴ 故该圆柱的体积为或 8．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． （1）长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； （2）根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 9．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， （1）这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ （2）并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 【分析】（1）根据从正面看和从上面看的形状图可确定几何体有两层，第一层有5个小正方体，然后再根据从正面看的形状图确定第二层小正方体的摆放情况即可解答； （2）根据第（1）题的第二层的小正方体的摆放情况，确定从左面看到的形状图即可． 【详解】（1）解：根据从正面看和从上面看的形状图可知，该几何体有两层，第一层有5个小正方体；总共三列，从左到右数的第三列只在第一层有1个小正方体； ∴如图所示，这个几何体至少需要用7个小正方体搭成（从上面看）， 或或或 至多需要用9个小正方体搭成（从上面看）， （2）解：如图所示，所有从左面看该几何体得到的形状图： 10．年1班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （1）如图①，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （2）如图②，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，此时，表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 （3）若长方体的长、宽、高分别为4、3、6，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，画出此时的表面展开图，并求出它的周长． 【分析】本题考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键： （1）由题意，可得长方体的底面是正方形，边长为，长方体的高为，利用体积公式进行计算即可； （2）由题意，表面展开图的外围周长仍为原正方形的周长，求出长方体的长，宽，高，求出体积即可； （3）根据题意，画出展开图，利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，长方体的底面是正方形，边长为：，长方体的高为， 体积为：； （2）表面展开图的外围周长为：， 盒子一边长为：，另一边长为：， 体积为： （3）如图，是该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的情形， 其周长为：． 故答案为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 从立体图形到平面图形（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 从立体图形到平面图形 还记得小学学过的正方体表面的展开图吗？将一个正方体的表面沿某些棱剪开，你能得到哪些形状的展开图？你能得到下图中的展开图吗？ 【知识点1 正方体的展开图】 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种． 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四；田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知． 【知识点2 截面】 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． 【知识点3 从三个方向看几何体】 ①从正面看；②从左面看；③从上面看． 【题型1 平面图形的认识】 【例1】下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 【变式1-2】在长方形、长方体、三角形、球、圆中，平面图形有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【变式1-3】构成如图所示的图案的平面图形是（   ） A．三角形和扇形 B．四边形和圆 C．三角形 D．圆和扇形 【题型2 几何体展开图的认识】 【例2】下面图形中，三棱锥的平面展开图是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．五棱柱 【变式2-2】生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（     ） A．圆锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．长方体 【题型3 由展开图计算几何体的表面积】 【例3】如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【变式3-1】已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【变式3-2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【变式3-3】如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【题型4 由展开图计算几何体的体积】 【例4】如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【变式4-2】如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 【变式4-3】用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 【题型5 正方体几种展开图的识别】 【例5】下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式5-2】如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是（   ） A．8，10 B．7，9 C．2，7 D．4，8 【变式5-3】如图，图1和图2中所有的正方形都完全相同，将图1的正方形放在图2中的某一位置，其中所组成的图形不能围成正方体的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型6 正方体相对两面上的字】 【例6】年月日，“国风潮起——第三届晋祠国风文化节”在晋祠博物馆拉开帷幕．如图是小琥制作的正方体活动物料的展开图，则该正方体可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】为了发扬“中国航天精神”，每年的月日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．航 B．天 C．精 D．神 【变式6-2】在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 【变式6-3】有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 【题型7 含图案的正方体的展开图】 【例7】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【题型8 补一个表面使图形围成正方体】 【例8】如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式8-1】如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【变式8-2】如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【变式8-3】图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 【题型9 截一个几何体】 【例9】传统文化  栾川豆腐是洛阳市传统特色美食，曾获非物质文化遗产，国家地理标志产品认证．其制作技艺可追溯至汉代，兼具细腻爽滑与劲道松软特质、久煮不散（如图）．用刀截一个正方体栾川豆腐块，截面不可能是（   ） A．七边形 B．六边形 C．矩形 D．三角形 【变式9-1】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ 【题型10 从不同方向看几何体】 【例10】一个几何体从三个方向看到的图形如下，这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形状图． 【变式10-2】一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【变式10-3】如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． （1）在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 模块三 课后作业 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A． B． C． D． 2．某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． 3．图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 4．如图，实线部分是由五个正方形组成的图形．在标记的四个位置中，若选择其中一处添加一个正方形，使六个正方形能组合成一个完整的图形，则添加后不能折叠成正方体的位置是（  ） A．处 B．处 C．处 D．处 5．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 6．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 7．已知一个圆柱的侧面展开图为长方形，其宽为，长为，则该圆柱的体积是多少？（取） 8．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． （1）长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； （2）根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 9．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， （1）这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ （2）并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 10．年1班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （1）如图①，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （2）如图②，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，此时，表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 （3）若长方体的长、宽、高分别为4、3、6，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，画出此时的表面展开图，并求出它的周长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $