数列的求和综合应用题型训练(期末复习)-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以6大求和方法为核心，构建“题型-方法-应用”三级训练体系，覆盖从基础公式到放缩证明的全维度数列求和问题，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式法|2题|等差/等比公式直接应用|通项公式推导与求和公式的关联应用| |错位相减法|3题|乘公比错位相减化简|等差×等比数列的复合运算逻辑| |分组求和法|3题|拆分求和再合并|等差与等比数列的叠加组合关系| |裂项相消法|3题|分式裂项抵消中间项|通项结构与裂项公式的匹配推导| |倒序相加法|3题|对称项求和构造等式|函数性质与数列对称性的结合应用| |放缩裂项|3题|先放缩再裂项求和|不等式证明中的运算推理与转化|

专题十二 数列的求和 【题型1】 公式法 1、已知等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 2、已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若，求正整数的值. 【题型2】 错位相减法 3、已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 4、已知数列，的前项和分别为，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：当时，． 5、在数列中，，其中. （1）证明数列是等差数列，并写出证明过程； （2）设，数列的前n项和为，求； 【题型3】 分组求和法 6、已知数列是等差数列，是等比数列，，，，. （1）求、的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 7、在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 8、已知正项数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【题型4】 裂项相消法 9、已知数列前n项和为，且，记. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求. 10、记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 11、已知数列满足且，且. （1）求数列的通项公式; （2）设数列的前项和为，求证：. 【题型5】 倒序相加法 12、设函数，，．则数列的前n项和______． 13、已知数列，满足，，. （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）求. 14、已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【题型6】 先放缩再裂项求和 15、已知数列的前n项和为，. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为； （2）设，证明：. 16、已知数列的前项和为，且满足， （1）求和 （2）求证：． 17、已知数列前项和为满足，. （1）求通项公式； （2）设，求证：. 答案解析 1、【解析】解：（1）设数列的公差为，由题意得 解得，， 的通项公式为． （2）由得 ， 是首项为，公比的等比数列． ． 2、【答案】(1) (2)4 【解析】 (1)设公差为，∵成等比数列，∴，又∵且，结合等差数列的性质有，即，即，∴，∴ (2)由（1），∴. ∵，∴，∵，且是递增数列，且，故 3、【解析】(1)因为，所以，所以， 所以，当时，，， 所以数列是首项，公比的等比数列，所以； (2)由得，所以，， 两式相减，得，，所以. 4、【答案】(1)(2)证明见解析 (1)因为，所以，则， 当时，， 所以，化简得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，因此 (2)，， 则， 所以， 两式相减得， 即， 故. 所以当时，， 所以． 5、【解析】（1）因为， 所以， ， 所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以①， ②， 所以①-②得， 所以 6、【答案】(1)，(2) (1)设等比数列的公比为，则，； 又，，设等差数列的公差为，则， . (2)由（1）得：； . 7、【解析】(1)设等差数列的公差为， 由， 可得， 解得， ∴； (2)∵数列是首项为1，公比为3的等比数列， ∴， 又，可得， 所以 ． 8、【解析】(1)解：因为，① 当时，．② ①②得，所以． 当时，，也满足上式， 所以． (2)解：因为， 则， 则． 9、【解析】(1)，当时，； 当，时，，. 当时也符合, . (2) . 10、【解析】(1)∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； (2) ∴ 11、【解析】（1）因为，所以， 两式相减得， 当时，， 又，所以， 所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）证明：， 所以， 由，得， 所以， 综上，. 12、【答案】 【解析】由题设，， 所以， 即且n ≥ 2， 当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 13、【解析】（1）由可得， 于是，即， 而，所以是首项为2，公比为2的等比数列. 所以. （2）由（1）知，所以. 因为， 所以 ， 因此. 14、【解析】（1）∵点均在函数的图象上， ∴． 当时，； 当时，，适合上式，∴． （2）∵，∴． 又由（1）知，∴． ∴，① 又，② ①+②，， ∴． 15、【解析】(1)当时，，即 由，则 两式相减可得，即 所以，即 数列为等比数列 则，所以 则 (2) 所以 16、【解析】（1）时，，时，， 所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列． 所以，即， 当时，， 当时，，不满足上式， 所以， （2）当时，，原式成立． 当时， 所以． 17、【解析】（1）由，得，两式相减，得. 由，，得， 所以，，即数列是以2为首项，公比为3的等比数列， 从而有. （2）证明：由（1）知，从而， 所以，当时，， 从而有； 当时，不等式显然成立. 综上有成立. 学科网（北京）股份有限公司 $