构造法在导数中的应用-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以导数运算法则为逻辑起点，系统梳理7类常见构造结构，通过4大模块典例解析，构建“结构识别-函数构造-单调性应用”解题体系，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常见构造结构|7类结构+15题训练|依据导数四则运算逆向构造，如f′+f→e^x·f|从导数运算法则推导构造原理，形成结构与函数的对应关系| |与e^x构造|例1+总结|f′-f→f/e^x；f′+kf→e^kx·f|从基础结构到具体应用，体现从一般到特殊的认知逻辑| |与x^n构造|例2+总结|nf+xf′→x^n·f；xf′-nf→f/x^n|结合幂函数导数特征，建立次数与导数关系的构造规律| |与三角函数构造|例3+总结|结合sinx/cosx导数构造，如f′cos+f sin→f/cos|利用三角函数导数特性，拓展构造场景的多样性| |构造具体函数|例4+总结|不等式凑配同构式，构造具体函数利用单调性|通过式子变形实现问题转化，培养创新意识与应用能力|

构造法在导数中的应用 导数关系构造函数的一些常见结构 1.对于不等式f(x)十g(x>0,构造函数Fx)=x)十g(x) 2.对于不等式f(x)一g'(x)>0,构造函数Fx)=x)一g(x), 特别地，对于不等式f(x)>k,构造函数Fx)=x)一x 3.对于不等式f(x)g(x)十x)g'(x)>0,构造函数Fx)=x)g(x) 4.对于不等式f(x)g(x)-xg'(x)>0,构造函数F)=∫(x)g (x). 5.对于不等式xf(x)十nfx>0,构造函数Fx)=xn:x) 6.对于不等式fx)十x>0,构造函数Fx)=ex), 7.对于不等式f(x)十x>0,构造函数Fx)=eax) 一、利用x)与e构造可导型函数 例1x)为定义在R上的可导函数，且f(x)>x),对任意正实 数a,下列式子一定成立的是( A.fa)<eafo) B.fa)>ef(0) C.fa)f()ea Dfa)>f(0)ea 解：令g(x)=∫(x)ex,则g'(x)=f(x)ex-f(x)ex(ex)2=f '(x)-f(x)ex>0. ∴g(x)在R上为增函数，又a>0, ∴.g(a)>g(0),即f(a)ea>f(0)e0. 故fa>ef0) 总结(I)出现fx)一)的形式，构造函数F)=∫(x）x: (2)出现fx)+)的形式，构造函数Fx)=fx) 二、利用x)与x构造可导型函数 例2己知偶函数x(x≠0)的导函数为fx),且满足一1)=0， 当x>0时，2x)>x),则使得x)>0成立的x的取值范围是 解：构造F(x)=f(x)x2,则F(x)=(x)x一2f(x)x3,当 x>0时，yf(x)-2x)<0,可以推出当x>0时，F(x)<0,Fx)在 (0,十∞)上单调递减.x)为偶函数，x2为偶函数，∴.Fx)为偶函 数，∴.F(x)在(-∞，0)上单调递增.根据一1)=0可得F(-1)=0, 根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知 x)>0的解集为(-1,0)U(0,1). 总结(I)出现n)十f(x)形式，构造函数Fx)=xx): (2)出现fx)-nx)形式，构造函数Fx)=∫(x)xn 三、利用x)与sinx,cosx构造可导型函数 例3（多选）已知定义在avs4 allcol0,fπ2)上的函数x),f(x) 是x)的导函数，且恒有cosf(x)十sinx)<0成立，则( A.nalvs-4 alcol(fπ6)>2favs4 alcol(fπ4） B.3favs4 alcol(fπ6)>favs4 alcol(fπ3) C.Aalvs-4 alcol(fπ6)>3fas4 alcol(fπ3) D.2favs4 allcol(fπ6)>3favs4 al col(fπ4) 解：根据题意，令gx)=f(x)cosx,x∈as4 alcol0, fπ2)，则其导数g(x)=子(x)cosx十sin xf(x)cos2x,又由x∈ avs4 allcol0,fm2),且恒有cosf(x)+sinx)<0,则有g (x)<0,即函数g(x)为减函数.由π6<π3，则有 gavs4 alcol(ffπ6)>gavs4 alcol(fπ3)，即rcl6)m6>rcl3)π3， 分析可得fas4 allcol(fπ6)>3favs4 alcol(fπ3)；又由π6<π4， 则有gavs4 allcol(fπ6)> ·gavs4 alcolfπ4)， 即 rcl6)π6> rc4)π4， 分 析 可 得 2favs4 al col(fGπ6)>3favs4 al col(fπ4) 总结x)与sinx,cosx相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)=fx)sinx,F(x)=f(x)sinx+fx)cosx:F(x)=f (x)sinx, F(x)=f (x)sinx-f (x)cosxsin2x: F(x)=fx)cosx,F"(x)=f(x)cosx-fx)sinx:F(x)=f (x)cosx, F"(x)=f (x)cosx+f (x)sinxcos2x. 四、构造具体函数 例4若lnx-lny<1nx-1lmx>1,y>1),则() A.ex>1 B.ey-x<1 C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1 解：依题意，nx-lnx<lny-lny,令t)=t-l(t≠0)，则f ()=1+1t2>0,所以0在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增；又 x>1,y>l,得nx>0,ny>0,又lnx-llnx<ny-lmy.则fn x)<ny).又0在(0，+∞)上单调递增.则lnx<ny,.l<x<y, 即y-x>0,所以e-x>e0=l,A正确，B不正确；又y-x一1无 法确定与0的关系，故C、D不正确 总结不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解 跟踪训练 1、若函数x)的定义域为R,其导函数为f(x).若fx)一3<0恒成 立，（一2）=0，则x)一3x<6的解集为(D) A.(-∞，-2) B.(-2,2) C.(-∞，2) D.(-2,+∞) 解：令g(x)=x)-3x-6, 则g(x)=f(x)-3<0, 所以函数g(x)在R上单调递减， 8(-2)=(-2)-3×(-2)-6=0, 由gx)<0台g(x)<g(-2),则x>-2 2、已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3es,则 () A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 解：由题意得0<a<5,0<b<4,0<c<3 令fx)=ex(>0),则f(x)=ex(x-1)x2, 当0<<1时，f(x0,当心1时，fx>0, 故fx)在(0,1)上为减函数，在(1，十∞)上为增函数， 因为ae5=5ea,所以e55=eaa, 即5)=a),而0<a<5, 故0<<1.同理0<b<1,0<c<1,4)=b),3)=c). 因为5)>4>3)，所以a)Pb)Pc), 所以0<a<b<c<1 3、已知函数x)是定义在R上的偶函数，设函数x)的导函数为f (x),若对任意心0都有2x)十x>0成立，则(A) A.4-2)93) B.4-2)>93) C.23)>3-2) D.3-3)2-2) 解：根据题意，令gx)=xx),其导数g'(x)=2xx)十xf(x), 由题意可知，当>0时，有g(x)=2x)十f(x)）>0恒成立，即函数 g(x)在(0，+∞)上为增函数，又由函数x)是定义在R上的偶函数， 则-x)=x),则有g(一x)=(-x)一x)=x孔x)=g(x),即函数g(x) 也为偶函数，则有g(-2)=g(2),且g(2)g(3),则有g(-2)下g(3), 即有4-2)<93).故选A. 4、函数x)是定义在区间(0，+∞)上的可导函数，其导函数为 (x),且满足f(x)十2xx)>0,则不等式(x+2023)f(x+2023) 3<3f(3)x+2023的解集为() A.{xx>-2020} B.{xx<-2020} C.{x-2023<x<0} D.{x-2023<x<-2020} 解：根据题意，设g(x)=xx)x>0), 则导函数g(x)=x2f(x)十2xx).函数x)在区间(0，+∞)上，满 足f(x)+2xx)>0, 则有x2f(x)十2xx)>0, 所以g(x)>0,即函数g(x)在区间(0，十∞)上为增函数. (x+2023)f(x+2023)3<3f(3)x+2023÷(x+2 023)2·x+2023)<323)→g(x+2023)<g(3), 则有0<x+2023<3, 解得一2023<x<-2020, 即此不等式的解集为{x一2023<x<一2020}. 5、己知x)为R上的可导函数，且x∈R,均有fx>fx),则有( D) A.e2023-2023)f0),2023>e20230) B.e2023f-2023)f0),2023)<e2023f0) C.e2023-2023)>f0),2023)>e2023f0) D.e2023f-2023)>0),f2023)<e2o23f0) 解：构造函数h(x)=f(x)e,则h'(x)=(x)-f(x)e<0, 即h(x)在R上单调递减，故h(-2023>h(0),即f(-2023)e-2 023>f(0)e0ee2o23-2023>f0);同理，h(2023<(0),即2 023e20230),故选D. 6、函数x)的导函数(x),对任意x∈R,都有f(x>x)成立， 若n2)=2,则满足不等式x)>e的x的范围是(C) A.x>1 B.0<x<1 C.xIn 2 D.0<x<n2 由题意，对任意x∈R,都有(x)>x)成立， 即f(x)-x>0,令gx)=fxex, g'(x)=f'x ex-f x exe2x=f' X fxex>0,所以函数g(x)为单调递增函数， 又因为不等式x)>e,即g(x>l,因为fn2)=2,所以gln2) 三1， 所以不等式的解集为心n2,故选C. 7、x)为定义在R上的可导函数，且f(x>x),对任意正实数a, 下列式子成立的是(B) A.fa)<eaf) B.faef(0) C.Aa)<f 0 ea D.fa)f 0 ea 令g(x)=fx ex, .g'(x)=f′x ex-f x ex ex 2=f x- f x ex>0. g(x)在R上为增函数.又.a>0, ∴.g(a)>g0),即faea>f0e0,即a)>ef0).故选 B. 8、己知y=x)为(0，+∞)上的可导函数，且有f(x)十 fxx>0,则对于任意的a,b∈(0，+∞)，当a>b时，有( B) A.a球abfb) B.a球a>bfb) C.afb>bfa) D.afb)<bfa) 解：f(x)+ fXX>0→ xf/ x十 fxx>0→[xfx]′x>0,即[xx]'心0..x>0,[x] >0,即函数y=xx)在(0，十∞)上为增函数，由a,b∈(0，+∞)且 a>b,得aa>bb),故选B. 9、己知正数a,B满足ea+12B+sin>e+12a十sna,则(C) A.2a-f+1<2 B.In a+a<In B+B C.Ia+18>4a+B D.lea+la-le8+18 解：由题意，得ea-12a十sin>e-12B+sinB, 构造函数fx)=e-12x十sinx,>0, 令g(x)=2x十sinx,则g(x)=2+c0s0恒成立， 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增， 由复合函数的单调性可知一12x十snx在(0，+∞)上单调递 增， 所以x)=er一12x十sinx在(0，十∞)上单调递增， 由a>B),可得o心>0， 对于A,由a心B,可得a-B十1>1，所以2a-+1>2,故A错 误； 对于B,由a>>O,可得na心nB,则na+o>lnB+B,故B错 误； 对于C,alvs4 alco1(f11f(a+)=2+aβ+fa>2+2aa=4, 所以la+lB>4a十B,故C正确： 对于D,由心>0，可得e>e0,la<IB,所以1ea<Ieb,所以 lea+la<leB+lB,故D错误. 10、己知a=1m22,b=1e,c=ln33,则a、b、c的大小关系为( C) A.b<c<a B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 解：设x)=lnxx,则f(x)=1一nxx2, 当0<x<e时，fx)>0;当x>e时，fx)<0,则x)在(0，e) 上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， 则当x=e时，Ax)max-=lnee=le, 即b>a,b>c; a-c=n22-n33=3n2-2ln36=ln8-ln96<0,则c>a, 所以b>c>a. 11、已知a,b∈(0,3)，且4lna=aln4,4lnb=bln2,c= 1og0.30.06,则(C) A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解：由已知得1naa=ln44=ln22,lnbb=ln24=ln1616,可以 构造函数x)=lnxx,则f(x)=1一lnxx2,当x∈(0，e)时，f (x)>0,x)单调递增；当x∈(e,十∞)时，f(x)<0,x)单调递减， 又a=2)=4)>b)=16),结合a,b∈(0,3)，所以b<a=2, 又c=log0.30.06=l0g03(0.2×0.3)=1og0.30.2+1>1+1og0.30.3=2,所 以b<a<c 12、若函数x)的定义域为R,且满足2)=2，(x)>1,则不等式 x)一心0的解集为(2，十∞) 解：令g(x)=x)-x, ∴g'(x)=f(x)-1. 由题意知g(x)>0,∴g(x)为增函数. ,g(2)=2)-2=0,∴gx)>0的解集为(2，+∞). 13、已知定义域为R的偶函数x)的导函数为f(x),当x<0时，f (x)-fx)<0.若a=f(e)e,b=f(1n2)1n2,c=f(3)3,则a, b,c的大小关系是c<a<b 解设g(x)=∫(x)x, 则g'(x)=x(x)-f(x)x2, 又当x<0时，f)-x)<0, 所以g(x)<0,即函数g(x)在区间（一∞，0）内单调递减.因为x) 为R上的偶函数，所以g(x)为（一∞，0）U(0,十∞)上的奇函数，所 以函数g(x)在区间(0，十∞)内单调递减.由0<ln2<e<3,可得 g(3)<g(e)<g(In 2),c<a<b 14、设函数f(x)是奇函数xx∈R)的导函数，一1)=0，当x>0 时，fx)一x)<0,则使得x)>0成立的x的取值范围是（一∞， -1)U(0,1) 解：因为x(x∈R)为奇函数，一1)=0， 所以1)=-术-1)=0. 当x≠0时，令g(x)=∫(x)x, 则g(x)为偶函数，g(1)=g(一1)=0. 则当x>0时，g'(x)=ff(x))川 =x(x)-f(x)x2<0, 故g(x)在(0，十∞)上单减，在(-∞，0)上单增 所以在(0，+∞)上，当0<x<1时，g(x)>g(1)=0,得f(x) x>0,所以x)>0: 在(-∞，0)上，当x<-1时，由gx)<g(-1)=0,得f(x) x<0,所以x)>0. 综上知，使得x)>0成立的x的取值范围是(-∞，一1)U(0, 1). 15、定义在R上的函数x)满足1)=1，且对任意x∈R都有f (x)12,则不等式x2>x2+12的解集为 解：构造函数g(x)=x)一12x+c(c为常数)，则g'(x)=f(x)一 12<0,即函数g(x)在R上单调递减，且g(1)=1)-12+c=12+ cx2>x2+12=12x2+12, 即fx2)-12x2+c>12+c, 即g(x2>g1), 所以x2<1,解得一1<x<1.