第02讲 从立体图形到平面图形（一）（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第02讲从立体图形到平面图形（一） 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1正方体几种展开图的识别 题型2正方体相对两面上的字 题型3补一个面使图形围成正方体 题型4含图案的正方体的展开图 题型5常见几何体展开图的认识 题型6由展开图计算几何体的面积 题型7由展开图计算几何体的体积 题型8判断立体图形的截面形状 04过关检测→练考点· 强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握正方体展开图的11种基本类型，能识别并判断展开图能否折叠成正方 体，能找出相对面。 展开图、折叠、正方体 2.了解棱柱、圆柱、圆锥等常见几何体的展开图特征，能根据展开图判断对 11种、相对面、截面、 应的立体图形。 空间观念。 3.理解截面概念，掌握正方体、圆柱、圆锥等几何体被平面截取所得截面的 形状。 4.经历展开、折叠、切截等实践活动，发展空间观念和空间想象能力。 学习重点：正方体的展开与折叠(11种展开图的识别、相对面的判断)；常见几何体（棱柱、圆柱、 圆锥)的展开图特征；常见几何体的截面形状。 学习难点：根据展开图想象并判断正方体相对的面（运用“间隔法”“Z字形法”）；理解不同切割 方向对截面形状的影响；建立从平面图形还原立体图形的空间想象能力。 02 教材全解 知1识|框|架 1/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 141型 23引型 展开图类型 222型 33型 正方体展开图 一线不过四 展开图判定 田凹应弃之 立 间一相间 截面定义 Z端相对 三角形 图 相对面判断 同行隔一 四边形 正方体截面 同列隔一 五边形 到 两个圆 六边形 圆柱展开图 平 一个矩形 圆 面 一个圆 椭圆 圆柱截面 截一个几何体 圆锥展开图 常见几何体截面 图 一个扇形 长方形 几何体展开图 两个底面多边形 圆 形 棱柱展开图 侧面平行四边形 椭圆 圆锥截面 三角形 一个底面多边形 棱锥展开图 ® 球截面 侧面三角形 与截面位置有关 截面形状判定 与几何体形状有关 知|识1精1讲 知识点01正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种 不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种： 二三一型有3种；三三型有1种： 二二二型有1种 正方体展开图口诀：①一线不过四；田凹应弃之；②找相对面：相间，“Z端是对面；③找邻面：间二，拐 角邻面知， 【易错提醒】 正方体展开图易错警示：共11种，可归纳为“一四一“二三一二二二“三三型。注意“田凹L”形不能 围成正方体。展开图中相对面间隔一个或呈Z形两端，相邻面不相对。 即时即练1，下列图形中，不是正方体展开图的是() 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，在4×3的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有 () A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 3.如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是() L1T三 知识点02其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 【易错提醒】 其他立体图形展开图易错警示：圆柱展开得两个圆和一个矩形（侧面）；圆锥展开得一个圆和一个扇形： 棱柱侧面是长方形，两个底面为多边形。注意扇形与圆的半径关系，勿漏画底面。 即时即练1.如图是某个立体图形的表面展开图，这个立体图形是() A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.长方体 2.如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是() 3/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样 20cm 12cmf 6cm 图1 图2 (1)图2给出的四种纸样A、B、C、D,正确的有-；（写出所有正确答案） (2)求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）· 知识点03截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边 形或圆等等。 【易错提醒】 截一个几何体易错警示：截面形状与切割方向和几何体有关。正方体截面可能是三角形、四边形、五边形 或六边形，*不能截出七边形*。圆柱截面可为圆、椭圆、长方形，圆锥为三角形、圆或椭圆，注意边界 情况。 即时即练1.用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是() D 2.妙妙有一块如图所示的长方体橡皮，她用刀去切这块橡皮，切一刀，则截面形状不可能是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.圆 3.如图所示三棱柱，高为5cm,底面是一个边长为3cm的等边三角形. 4/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)该三棱柱有 条棱，有 个面，有」 个顶点； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是 (填序号)； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形： (3)求该三棱柱的所有侧面的面积之和. 03 题型突破 题型1正方体几种展开图的识别 【例1】下面图形不能拆成正方体的是() 【例2】下列图形是正方体的表面展开图的是() 【技巧归纳】 识别正方体展开图需牢记11种基本型：141型(6种)、231型(3种)、222型(1种)、33型(1种)。方 法：先找“目”形或“Z”形，注意相对面间隔一个面，相邻面折后必邻。除“田”“凹”字形。 【变式1-1】下面展开图中，能折成无盖的正方体的是( D 【变式1-2】下列四个图形中，不属于正方体的表面展开图的是() 5/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 中中 题型2正方体相对两面上的字 【例3】如图，这是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“数"字所在面相对的面上的字是(） 数学 启迪 智慧 A.启 B.迪 C.智 D.慧 【例4】将“弘扬五四精神"”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的 表面上，与“弘"字所在面相对的面上的汉字是（) 弘 扬 五 四 精 神 A.扬 B.四 C.精 D.神 【技巧归纳】 找正方体相对面：利用展开图，同行或同列隔一个面即相对：或找“Z”两端。在立体图中，可见面不相对， 共用棱的面相邻。常用除法，确定一对后剩下自然成对。注意旋转后相对关系不变。 【变式2-1】诸葛亮《诚子书》中有言“非学无以广才，非志无以成学”.如图是正方体的一种表面展开图， 则原正方体中与“成”字所在的面相对的面上的汉字是() 非 志 无 以成 学 A.非 B.志 C.无 D.学 【变式2-2】如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（) 共 建 安 全 校 园 A,安 B.全 C.校 D.园 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型3补一个面使图形围成正方体 【例5】如图，在4×3的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是() ② 1③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 【例6】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的 图形能围成正方体的位置有() ② 3 ① ④ ⑤ 图1 图2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【技巧归纳】 补面成正方体：检查已有5个面能否形成展开图，缺的面应使整体符合141、231等标准型。所补位置与邻面有 公共棱，且不造成面重叠或“田”“凹”形。试折吊验证：补面应与四面相邻，对面唯一。 【变式31】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个 正方体，共有()种添法。 A.3 B.4 C.5 D.6 【变式3-2】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小 正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有() A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 题型4含图案的正方体的展开图 7/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例7】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是() 【例8】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是() B 【技巧归纳】 图案展开图：先确定各面相对关系，再判断图案方向是否合理。注意折合后图案朝向（如箭头、字母）应一致， 相邻面图案不颠倒。可用“邻面转向法”：固定一个面，旋转相邻面判断方向是否矛循。除错位。 【变式4-1】如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成 后的正方体纸盒是() 【变式4-2】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是() 8/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 题型5常见几何体展开图的认识 【例9】“粽团桃柳，盈门共饮”.又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”， 其展开图可能是() 【例10】下列图形能围成圆锥的是() 【技巧归纳】 圆柱展开得两圆一矩形：圆锥得一圆一扇形；棱柱得两个多边形及多个矩形（侧面）；棱锥得一个多边形及多个 三角形。识别关键：找底面研形状及数量，侧面围成环。注意扇形很心角由底面周长与母线决定。 【变式5-1】如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是() A,四棱柱 B.四棱锥 C.三棱锥 D.三棱柱 【变式5-2】如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为() 9/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型6由展开图计算几何体的面积 【例11】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图 3cm 6cm r5cm 2cm 10cm 7cm (1)这个食品包装盒的几何体名称是 (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积. 【例12】如图1，这个长方体的高为9cm,底面是一个边长为5cm的正方形. 图1 图2 (1)该长方体有 个面， 条棱。 (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整. (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【技巧归纳】 计算表面积：先识别展开图中各面的形状（圆、矩形、扇形等），分别求面积再相加。圆柱侧面积+2底面积， 圆锥侧面积+底面积。注意单位统一，扇形的孤长对应底面周长，半径对应母线长。 【变式6-1】如图，是一个食品包装盒的表面展开图。 6 (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：- (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积. 【变式6-2】如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形， 10/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15cm> 26cm (1)请写出这个包装盒的几何体名称： (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积. 题型7由展开图计算几何体的体积 【例13】如图所示是一个几何体的表面展开图. (1)该几何体的名称是二，其底面半径为 (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留刀）· 【例14】某几何体的展开图如图所示. 0cm 2cm 18cm (1)该几何体是一；（填名称） (2)求这个几何体的体积。 【技巧归纳】 由展开图先还原几何体（柱、锥、球等），再套用体积公式。关键从展开图求出底面半径、高或线：矩形一边 为高，另一边为底面周长；扇形孤长对应底面周长。体积计算通常不直接用展开图，需推算几何尺寸。 【变式7-1】如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍， 高 ② 57cm ③ ⑤ ⑥ ① ④ 长 11/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面_相 对，面②与面_相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为20cm,求这个长方体包装盒的体积 【变式7-2】小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了 字母，据你所学的知识，回答下列问题： A B C D b E F a (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知a=20cm,b=40cm,所有棱长的和是300cm,求这个长方体收纳盒的容积 题型8判断立体图形的截面形状 【例15】给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体.其中能截出长方形的几何体是 【例16】用一个平面去截一个正方体，截面可能是 (请填写序号) ①等边三角形；②等腰梯形；③长方形；④五边形；⑤六边形；⑥七边形. 【技巧归纳】 截面形状取决于切割平面角度和位置。平行底面截圆柱/棱柱得相同底面形状：斜截圆柱得椭圆：截正方体可得三 角形、四边形、五边形或六边形。记住特殊截面：过顶点截棱锥得三角形，沿轴截圆锥得等腰三角形。 【变式8-1】在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞，洞口是边长为lcm的正方形（如 图)挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ ■ 【变式8-2】如图，是一个几何体的表面展开图： 3米 1米 3米 米 3米 12117 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请说出该几何体的名称 (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是 (填序号) ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积： (4)求该几何体的体积. 04过关检测 一、单选题 1.下列图形中，不是正方体展开图的是() 2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是( A.四棱锥 B.四棱柱 C.三棱锥 D.三棱柱 3.传统文化栾川豆腐是洛阳市传统特色美食，曾获非物质文化遗产，国家地理标志产品认证.其制作技 艺可追溯至汉代，兼具细腻爽滑与劲道松软特质、久煮不散（如图）·用刀截一个正方体栾川豆腐块，截 面不可能是() A.七边形 B.六边形 C.矩形 D.三角形 4.如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰.下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是() 13/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 秋 B D 5.用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.如图为三位同学的提供的 方案，其中AB=2厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕. B A D 方案1 方案2 方案3 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是() A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.一样大 二、填空题 6.用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是 ① ② ③ ④ 7.如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是 我们 热中国 爱 8.如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折 叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法 9.中秋时节“趣味猜灯谜”区域，一排排花灯轻轻摆动，游客和市民们穿梭其中，你一言我一语，一起讨论 着谜底，体验动脑的乐趣.其中有个谜语：“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，就是没直边.”谜底 是： (打一几何体). 10.如图(1)，在边长为18cm的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图(2) 所示的无盖的长方体.设剪去的小正方形的边长为4cm,则这样折成的无盖长方体的容积是cm3. 14/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) 三、解答题 11.如图是某种几何体表面的展开图. 24 (1)该几何体是： (填写几何体名称)： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积. 12.某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是 50cm,侧面棱长是45cm,观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是 棱柱，共有 个面： (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是 ；(填序号) ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少c? 13.为了庆祝抗战胜利80周年，某手工社团准备用卡纸制作纸盒来储存抗战胜利80周年纪念邮票. 纪 念抗战胜 利 图1 图2 图3 (1)图1中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； (2)图2是手工小组的设计图，把它折成正方体纸盒后，与写有“抗”字一面的相对面上的字是“”： (3)图3是用一张边长为30cm的正方形卡纸在四角各剪去一个同样大小的边长为5cm的小正方形得到的纸 15117 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 片，将其折成一个无盖长方体纸盒，求这个纸盒的容积 14.我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形 (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是 B (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形.则下 列图形中可能是该长方体表面展开图的有（填序号）· 3 ① 2 ④ (3)下列A、B分别是题(2)中长方体的一种表面展开图，已知求得图A的外围周长为52，请你求出图B的 外围周长； 图A 图B (④)第(2)题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画 出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长 15.问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动. ()下面不可能是长方体展开图的是· (填序号) ① ② ③ ④ (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子. 16/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M N 图1 图2 ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形， 再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为平方厘米： ②如图2，将原正方形沿着MN剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸 片制作一个无盖的长方体纸盒.三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然 后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒. 12 12 12 : B 8 D D 图3 图4 图5 甲：如图3，盒子底面的四边形ABCD是正方形： 乙：如图4，盒子底面的四边形ABCD是正方形： 丙：如图5，盒子底面的四边形ABCD是长方形，AB=2AD, 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积'，'，'丙的大小. 17/17 第02讲 从立体图形到平面图形（一） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正方体几种展开图的识别 题型2 正方体相对两面上的字 题型3 补一个面使图形围成正方体 题型4 含图案的正方体的展开图 题型5 常见几何体展开图的认识 题型6 由展开图计算几何体的面积 题型7 由展开图计算几何体的体积 题型8 判断立体图形的截面形状 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 展开图、折叠、正方体11种、相对面、截面、空间观念。 1. 掌握正方体展开图的11种基本类型，能识别并判断展开图能否折叠成正方体，能找出相对面。 2. 了解棱柱、圆柱、圆锥等常见几何体的展开图特征，能根据展开图判断对应的立体图形。 3. 理解截面概念，掌握正方体、圆柱、圆锥等几何体被平面截取所得截面的形状。 4. 经历展开、折叠、切截等实践活动，发展空间观念和空间想象能力。 学习重点：正方体的展开与折叠（11种展开图的识别、相对面的判断）；常见几何体（棱柱、圆柱、圆锥）的展开图特征；常见几何体的截面形状。 学习难点：根据展开图想象并判断正方体相对的面（运用“间隔法”“Z字形法”）；理解不同切割方向对截面形状的影响；建立从平面图形还原立体图形的空间想象能力。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 【易错提醒】 正方体展开图易错警示：共11种，可归纳为“一四一”“二三一”“二二二”“三三”型。注意“田”“凹”“L”形不能围成正方体。展开图中相对面间隔一个或呈Z形两端，相邻面不相对。 即时即练1．下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查几何体的平面展开图，熟练掌握几何体的平面展开图是解题的关键．由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】根据正方体的展开图可知，只有D选项的图形不能还原成一个正方体． 故选：D． 2．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 3．如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的， A、还原正方体后，符合题意； B、<与＝是相对的两面，不符合题意； C、还原正方体后，不等号的尖尖向右，不符合题意； D、还原正方体后，<在下面，且不等号的尖尖朝前，不符合题意， 故选：A． 知识点02 其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 【易错提醒】 其他立体图形展开图易错警示：圆柱展开得两个圆和一个矩形（侧面）；圆锥展开得一个圆和一个扇形；棱柱侧面是长方形，两个底面为多边形。注意扇形与圆的半径关系，勿漏画底面。 即时即练1．如图是某个立体图形的表面展开图，这个立体图形是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．长方体 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查常见几何体的展开图形识别，理解并掌握常见几何体的展开图特征是解题关键．根据常见几何体圆锥的展开图形特征进行判断即可． 【详解】解：由展开图可知，该图形的侧面展开后是扇形，底面为圆， ∴该立体图形为圆锥， 故选：B． 2．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，然后可知该几何体是三棱柱，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该几何体是三棱柱； 故选C． 3．有一种牛奶软包装盒如图所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．    (1)图给出的四种纸样，正确的有 ；(写出所有正确答案) (2)求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）． 【答案】(1)； (2)包装盒的体积为，表面积为． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】（）根据长方体的展开图特征判断即可； （）根据长方体的侧面积、底面积、表面积公式计算即可； 本题主要考查了长方体的展开图以及长方体的表面积的计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：图给出的四种纸样，正确的有， 故答案为：； （2）解：包装盒的体积为， 表面积为： ， 答：包装盒的体积为，表面积为． 知识点03 截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 【易错提醒】 截一个几何体易错警示：截面形状与切割方向和几何体有关。正方体截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形，**不能截出七边形**。圆柱截面可为圆、椭圆、长方形，圆锥为三角形、圆或椭圆，注意边界情况。 即时即练1．用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，根据不同几何体的截面的形状，进行判断即可，掌握各种几何体的截面形状是解题的关键． 【详解】解：、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是圆形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的，符合题意； 故选：． 2．妙妙有一块如图所示的长方体橡皮，她用刀去切这块橡皮，切一刀，则截面形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．圆 【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】此题考查的是长方形的截面图形，掌握长方形的各个截面图形的形状是解决此题的关键． 长方体共有六个面，故用平面截一个长方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形，最少与三个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是圆． 【详解】解：长方体共有六个面，故用平面截一个长方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形， 最少与三个面相交，此时为三角形， 因此，截面图形的形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为圆． 故选：D． 3．如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有____________条棱，有____________个面，有____________个顶点； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是____________（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该三棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1) (2)④⑤ (3) 【知识点】截一个几何体、几何体中的点、棱、面、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题主要考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键． （1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据三棱柱侧面积为3个相同的，长为，宽为的长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）由图可知，该三棱柱有9条棱，有5个面，个顶点． （2）用一个平面去截该三棱柱， 截面形状可以是三角形，长方形，梯形，五边形， ①②③不符合要求；④⑤符合要求， 截面形状不可能是④⑤． （3）由图可知，三棱柱侧面积为3个相同的， 长为，宽为的长方形的面积和， 三棱柱侧面积为． 题型1 正方体几种展开图的识别 【例1】下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【例2】下列图形是正方体的表面展开图的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】正方体展开图的11种不同的形状，其特征可总结为：141、222、33、132；根据上面的特征，找出不符合上面特征的形状即可，也可通过折叠进行判断，即判断哪个图形能折成正方体． 【详解】解：根据展开图特征判定，B符合题意． 【技巧归纳】 识别正方体展开图需牢记11种基本型：141型（6种）、231型（3种）、222型（1种）、33型（1种）。方法：先找“目”形或“Z”形，注意相对面间隔一个面，相邻面折后必邻。排除“田”“凹”字形。 【变式1-1】下面展开图中，能折成无盖的正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图共有11种类型,可分为1—4—1、2—3—1、2—2—2、3—3四类基本结构，遵循“隔行相对”“Z字两端为对面”等规律，且需避免出现“田”“凹”等结构．根据正方体展开图的特点求解． 【详解】解：根据正方体展开图的特点可得： A．不能折成无盖的正方体，不合题意； B．能折成无盖的正方体，符合题意； C．不能折成无盖的正方体，不合题意； D．不能折成无盖的正方体，不合题意． 【变式1-2】下列四个图形中，不属于正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的表面展开图的每个面都有对面，可得答案． 【详解】解：A图中每个面都有对面，故A不符合题意； B图中每个面都有对面，故B不符合题意； C图中每个面都有对面，故C不符合题意； D图中中间层的中间的面没有对面，故D符合题意． 题型2 正方体相对两面上的字 【例3】如图，这是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“数”字所在面相对的面上的字是（    ） A．启 B．迪 C．智 D．慧 【答案】D 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特征是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方体表面展开图的可知，“学”的对面是“启”，“智”的对面是“迪”，“慧”的对面是“数”， 故选：D． 【例4】将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．扬 B．四 C．精 D．神 【答案】C 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“弘”字所在面相对面上的汉字是“精”， 故选：C． 【技巧归纳】 找正方体相对面：利用展开图，同行或同列隔一个面即相对；或找“Z”两端。在立体图中，可见邻面不相对，共用棱的面相邻。常用排除法，确定一对后剩下自然成对。注意旋转后相对关系不变。 【变式2-1】诸葛亮《诫子书》中有言“非学无以广才，非志无以成学”．如图是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“成”字所在的面相对的面上的汉字是（  ） A．非 B．志 C．无 D．学 【答案】C 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体展开图的特点是解题关键．根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形解答即可． 【详解】解：由展开图可知“学”与“非”相对，“无”与“成”相对，“志”与“以”相对． 故选C． 【变式2-2】如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（   ） A．安 B．全 C．校 D．园 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”． 故选：B． 题型3 补一个面使图形围成正方体 【例5】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【例6】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【技巧归纳】 补面成正方体：检查已有5个面能否形成展开图，缺的面应使整体符合141、231等标准型。所补位置与邻面有公共棱，且不造成面重叠或“田”“凹”形。试折验证：补面应与四面相邻，对面唯一。 【变式3-1】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【变式3-2】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 题型4 含图案的正方体的展开图 【例7】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 【例8】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据正方体的侧面展开图判断正方体． 根据正方体的侧面展开图的特征判断即可． 【详解】解：由图可知，正方体中圆相邻的四个面中，应为三个相邻的竖线面及一个空白面，且三条竖线均垂直于圆所在的面的边，A正确，B、C错误； 由图可知，正方体中三个竖线面中的竖线应指向统一方向，D错误； 故选：A． 【技巧归纳】 图案展开图：先确定各面相对关系，再判断图案方向是否合理。注意折合后图案朝向（如箭头、字母）应一致，相邻面图案不颠倒。可用“邻面转向法”：固定一个面，旋转相邻面判断方向是否矛盾。排除错位。 【变式4-1】如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意； B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意； C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意； D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式4-2】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开图， 先观察原正方体可知带有图案的三个面交于一点，再逐个判断即可． 【详解】解：由原正方体知带有图案的三个面交于一点，而通过折叠后A，B都不符合； 且D折叠后带有图案的面的位置正好相反，所以能得到的图形是C选项． 故选：C． 题型5 常见几何体展开图的认识 【例9】“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 【例10】下列图形能围成圆锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据几何体的展开图的特征即可求解． 【详解】解：A.是圆柱的展开图，故该选项错误； B.是三棱锥的展开图，故该选项错误； C.是圆锥的展开图，故该选项正确； D.是正方体的展开图，故该选项错误， 故选：C． 【技巧归纳】 圆柱展开得两圆一矩形；圆锥得一圆一扇形；棱柱得两个多边形及多个矩形（侧面）；棱锥得一个多边形及多个三角形。识别关键：找底面形状及数量，侧面围成闭环。注意扇形圆心角由底面周长与母线决定。 【变式5-1】如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了几何体展开图的认识， 根据表面展开图的特点判断几何体即可． 【详解】解：侧面是三个长方形，上下两个底面是三角形，可知几何体是三棱柱． 故选：D． 【变式5-2】如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】此题主要考查了几何体的展开图．由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答． 【详解】解：由侧面是3个矩形，上有1个三角形， 它的平面展开图可能为  ， 故选：B． 题型6 由展开图计算几何体的面积 【例11】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 【例12】如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)该长方体的侧面积是180平方厘米 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查长方体及其展开图： （1）根据长方体的特点，作答即可； （2）根据长方体的展开图，补全图形即可； （3）根据长方体的侧面积为底面周长乘以高进行计算即可． 【详解】（1）解：长方体有6个面，12条棱； 故答案为：； （2）由图，补全表面展开图如图： （3）； 答：该长方体的侧面积是180平方厘米． 【技巧归纳】 计算表面积：先识别展开图中各面的形状（圆、矩形、扇形等），分别求面积再相加。圆柱=侧面积+2底面积，圆锥=侧面积+底面积。注意单位统一，扇形的弧长对应底面周长，半径对应母线长。 【变式6-1】如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 【变式6-2】如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称； (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积． 【答案】(1)长方体 (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的表面积．熟练掌握长方体的展开图，长方体的表面积是解题的关键． （1）根据长方体的展开图判断作答即可； （2）根据长方体的表面积为展开图的6个面的面积的和求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，这个包装盒的几何体名称为长方体． （2）解：由图可知，这个包装盒底面的边长为， 高为， ∴这个包装盒的表面积为， ∴这个包装盒的表面积为． 题型7 由展开图计算几何体的体积 【例13】如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱； (2)表面积为；体积为． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何体的展开图； （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的表面积为 该几何体的体积． 【例14】某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 【技巧归纳】 由展开图先还原几何体（柱、锥、球等），再套用体积公式。关键从展开图求出底面半径、高或母线：矩形一边为高，另一边为底面周长；扇形弧长对应底面周长。体积计算通常不直接用展开图，需推算几何尺寸。 【变式7-1】如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤，④ (2)这个长方体包装盒的体积为 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了长方体的平面展开图以及列代数式，注意根据题意分析及解答问题． （1）通过结合立体图形与平面图形的相互转化，可以知道长方体包装盒的六个面分别是那两个面一一对应； （2）根据题意和题干图列代数式，根据所给数据计算即可解答． 【详解】（1）解∶根据长方体纸盒展开图可知，①与⑤是相对的，②与④是相对的，③与⑥是相对的； 故答案为∶⑤，④； （2）解∶由长方体的宽为，长是宽的2倍可以得到长方体的长为；由图可知①与④的高相同，所以长方体的高为． 长方体的体积为∶长宽高， 答∶长方体包装盒的体积为． 【变式7-2】小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠； （1）根据长方体的展开图可得面D与面B相对，结合题意，即可求解； （2）根据题意求得，然后根据长方体的体积公式，即可求解． 【详解】（1）解：将展开图折叠成长方体后，其中面D与面B相对，要让折叠后的B在底面，则她应该剪去面D； （2）因为所有棱长的和是， 所以． 因为， 所以， 所以这个长方体收纳盒的容积为 题型8 判断立体图形的截面形状 【例15】给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体．其中能截出长方形的几何体是 ． 【答案】③④ 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的特征逐项判断即可，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【详解】解：球和圆锥都不能截出长方形，①②说法错误，不符合题意． 当截面与圆柱的底面垂直时可以截得长方形，③说法正确，符合题意； 当截面截取正方体两条平行的面对角线组成的面时，可以截得长方形，④说法正确，符合题意； ∴能截出长方形的几何体有③圆柱；④正方体， 故答案为：③④． 【例16】用一个平面去截一个正方体，截面可能是 ．（请填写序号） ①等边三角形；②等腰梯形；③长方形；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【答案】①②③④⑤ 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查几何体的截面．根据题意思考几种情况，即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意可以得到下列几种情况： ∵正方体只有六个面， ∴作不出七边形， ∴截面不可能七边形， 故答案为：①②③④⑤． 【技巧归纳】 截面形状取决于切割平面角度和位置。平行底面截圆柱/棱柱得相同底面形状；斜截圆柱得椭圆；截正方体可得三角形、四边形、五边形或六边形。记住特殊截面：过顶点截棱锥得三角形，沿轴截圆锥得等腰三角形。 【变式8-1】在一个棱长为的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞，洞口是边长为的正方形（如图）挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查的是规则立体图形的体积计算，解决本题的关键是明确挖去三个小洞后，体积减少的图形的形状； 挖去的是三个长、宽、高分别为、、的长方体，且三个长方体有重叠部分，重叠部分是棱长为的正方体； 根据正方体和长方体的体积计算公式，分别计算出原木块和挖去的部分的体积，再根据上述分析进行计算，即可得到答案． 【详解】 ， 答：挖洞后正方体木块的体积是． 【变式8-2】如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积； (4)求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3) (4) 【知识点】截一个几何体、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的表面积计算公式求解即可； （4）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：几何体的展开图共有6个面， 且各面都是长方形， ∴此几何体为长方体． （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形， 最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体， 截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴截面形状可能是①②③④． （3）解：， ∴表面积是． （4）解：， ∴体积是． 一、单选题 1．下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 2．把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】展开图中有两个相同的三角形，是几何体的底面；三个长方形，连接在三角形的边上，是侧面；据此分析判断几何体的形状即可． 【详解】解：根据展开图，可知该几何体有两个平行的三角形面，且侧面是三个长方形，所以这个几何体是三棱柱． 3．传统文化  栾川豆腐是洛阳市传统特色美食，曾获非物质文化遗产，国家地理标志产品认证．其制作技艺可追溯至汉代，兼具细腻爽滑与劲道松软特质、久煮不散（如图）．用刀截一个正方体栾川豆腐块，截面不可能是（   ） A．七边形 B．六边形 C．矩形 D．三角形 【答案】A 【分析】根据截面经过几个面来判断截面是几边形即可． 【详解】解：正方体最多有6个面，截面最多也经过6个面，所以得到的多边形的边数最多是六边形，所以不可能是七边形． 4．如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰．下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个图案的小正方形为相邻面即可进行判断． 本题考查了正方体相邻两个面上的图案，掌握正方体的展开图是解题关键． 【详解】解：由图可知，能围成几何体的只有A选项，B、C、D各由两个带图案的小正方形为相对面，不符合题意． 故选：A． 5．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 二、填空题 6．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． 7．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【答案】 们 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， 所以“中”与“们”是对面． 8．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 9．中秋时节“趣味猜灯谜”区域，一排排花灯轻轻摆动，游客和市民们穿梭其中，你一言我一语，一起讨论着谜底，体验动脑的乐趣．其中有个谜语：“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，就是没直边．”谜底是：___________（打一几何体）． 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了生活中简单的几何体，根据谜语描述，从正面和侧面看都有三条边，从上面看是圆，且没有直边，符合圆锥的特征． 【详解】解：正看三条边：从正面看圆锥，呈现三角形，有三条边； 侧看三条边：从侧面看圆锥，也呈现三角形，有三条边； 上看圆圈圈：从上面看圆锥，底面是圆形； 因此谜底是圆锥． 故答案为：圆锥． 10．如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 【答案】400 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由于正方形的边长为，同时在正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剪去的小正方形的边长为，由此得到长方体的长、宽、高，最后利用长方体的容积公式即可求解． 【详解】解：依题意得：长方体的容积为：； 故答案为：400． 三、解答题 11．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 12．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是____________棱柱，共有____________个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是____________；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形． (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六；8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 13．为了庆祝抗战胜利80周年，某手工社团准备用卡纸制作纸盒来储存抗战胜利80周年纪念邮票． (1)图1中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； (2)图2是手工小组的设计图，把它折成正方体纸盒后，与写有“抗”字一面的相对面上的字是“ ”； (3)图3是用一张边长为的正方形卡纸在四角各剪去一个同样大小的边长为的小正方形得到的纸片，将其折成一个无盖长方体纸盒，求这个纸盒的容积． 【答案】(1)见解析 (2)胜 (3) 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，作图－应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意画出正方形即可； （2）根据正方体展开图的特征判断即可； （3）利用正方体的体积公式求解． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）解：“抗”字一面的相对面上的字是“胜”． 故答案为：胜； （3）解：纸盒的容积． 14．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 【答案】(1)B (2)①②③ (3)58 (4)见解析，70 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据正方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的平面展开图求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （4）要使外围周长最大，那么边长为6的边要尽可能在外围，边长为3的边尽可能不在外围，据此作图求解即可． 【详解】（1） 解：根据正方体的表面展开图可得，是正方体的表面展开图的是   ， 故选：B； （2）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③； （3）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴图B的外围周长； （4）解：如图所示，即为所求；此时外围周长为． 15．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $