第02讲 有理数（4类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第02讲 有理数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数概念的理解 题型2 0的意义 题型3 有理数的分类 题型4 带“非”字的有理数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数、整数、分数、分类标准、有限小数、无限循环小数。 1. 理解有理数的概念，能说出有理数的定义（整数和分数统称为有理数）。 2. 掌握有理数的两种分类标准：按定义分（整数、分数）和按性质符号分（正有理数、0、负有理数）。 3. 能准确判断一个数属于有理数中的哪一类，特别是有限小数和无限循环小数归为分数。 4. 体会数的分类思想，感受数系从自然数到有理数的扩充过程。 学习重点：有理数的概念及两种分类方法，能正确判断一个数是否为有理数及其所属类别。 学习难点：理解有限小数和无限循环小数属于分数（从而属于有理数），以及两种分类标准的区别与联系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 【易错提醒】 有理数是整数和分数（有限小数或无限循环小数）的总称。注意：π不是有理数；分数形式须约分为最简整数比，且q≠0 。 即时即练1.下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 2.下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【易错提醒】 按定义分整数（含0）和分数；按性质分正有理数、0、负有理数。注意：小数（如0.5）需先判断是否可化分数，循环小数是有理数，π等不是。 即时即练1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 2.将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                     ……} 正有理数集合：{                …… } 负有理数集合：{                 ……} 题型1 有理数概念的理解 【例1】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【技巧归纳】 有理数是整数和分数的统称，可化为 （q≠ 0）形式。判断时，整数、有限小数、无限循环小数均为有理数；无限不循环小数（如 π 不是。注意带根号且能开尽的也是有理数。 【变式1-1】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【变式1-2】下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 题型2 0的意义 【例3】下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【例4】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【技巧归纳】 0既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。它表示“没有”或起点（如数轴原点）。运算中：加0不变、减0不变、乘0得0、0不能作除数。0的相反数是0，绝对值是0，平方根是0。 【变式2-1】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式2-2】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 有理数的分类 【例5】把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【例6】将下列各数填入相应的集合中．0.6，，，，0，，，，． 自然数集合：{ …}；负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}． 【技巧归纳】 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。按性质分为正有理数、0、负有理数。分类时注意：有限小数和无限循环小数归属分数，百分数化成分数形式后判断。 【变式3-1】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正整数集合：{                         }； 负整数集合：{                         }； 正分数集合：{                         }； 负分数集合：{                         }． 【变式3-2】把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                             … ｝ 负数集合：｛                             … ｝ 整数集合：｛                             … ｝ 分数集合：｛                             … ｝ 题型4 带“非”字的有理数 【例7】把下列各数分别填在相应的集合内： 、、、、、、、、， 正数集合{____________________________} 负分数集合{____________________________} 非负整数集合{___________________________} 【例8】把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 正数集合：{         …}； 分数集合：{         …}； 非负整数集合：{         …}． 【技巧归纳】 “非”字表示否定，如非负数即正数和0，非正整数即0和负整数。解题时先明确否定范围，用数轴画出对应区域，注意端点是否包含。转化时去掉“非”字，补充相反情况，避免遗漏0。 【变式4-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，0， 正有理数集合{                     …}； 负有理数集合{                     …}； 整数集合{                     …}； 非负整数集合{                     …}． 【变式4-2】请把下面的有理数填在相应的集合内： 1，，，，0，，，． 正有理数集合：{____________________________…}． 负整数集合：{______________________________…}． 正分数集合：{______________________________…}． 非负整数集合：{____________________________…}． 一、单选题 1．下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．在数，，，，，，，，中，负分数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 二、填空题 6．任意写一个有理数______． 7．在，，0，这四个有理数中，整数有________个． 8．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 9．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 10．把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 三、解答题 11．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 12．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 13．将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 14．把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 15．把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 16．把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 有理数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数概念的理解 题型2 0的意义 题型3 有理数的分类 题型4 带“非”字的有理数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数、整数、分数、分类标准、有限小数、无限循环小数。 1. 理解有理数的概念，能说出有理数的定义（整数和分数统称为有理数）。 2. 掌握有理数的两种分类标准：按定义分（整数、分数）和按性质符号分（正有理数、0、负有理数）。 3. 能准确判断一个数属于有理数中的哪一类，特别是有限小数和无限循环小数归为分数。 4. 体会数的分类思想，感受数系从自然数到有理数的扩充过程。 学习重点：有理数的概念及两种分类方法，能正确判断一个数是否为有理数及其所属类别。 学习难点：理解有限小数和无限循环小数属于分数（从而属于有理数），以及两种分类标准的区别与联系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 【易错提醒】 有理数是整数和分数（有限小数或无限循环小数）的总称。注意：π不是有理数；分数形式须约分为最简整数比，且q≠0 。 即时即练1.下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 2.下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏． 此题运用有理数的概念及分类（按正负分：正有理数，0和负有理数或正数、负数、0；按数的性质分：整数、分数）即可解答． 【详解】①正有理数是正整数和正分数的统称，正确； ②整数是正整数，零和负整数的统称，故不正确； ③有理数是正整数、负整数、零、正分数、负分数的统称，故不正确； ④0是偶数，也是自然数，故不正确； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零，正确． 综上所述，说法正确的有2个． 故选A． 知识点02 有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【易错提醒】 按定义分整数（含0）和分数；按性质分正有理数、0、负有理数。注意：小数（如0.5）需先判断是否可化分数，循环小数是有理数，π等不是。 即时即练1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 2.将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                     ……} 正有理数集合：{                …… } 负有理数集合：{                 ……} 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数，负整数和零，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数，进行作答即可． 【详解】解：整数集合：{12，0，……} 正有理数集合：{13.2，12，……} 负有理数集合：{， ，，……}． 题型1 有理数概念的理解 【例1】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 【例2】下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【技巧归纳】 有理数是整数和分数的统称，可化为 （q≠ 0）形式。判断时，整数、有限小数、无限循环小数均为有理数；无限不循环小数（如 π 不是。注意带根号且能开尽的也是有理数。 【变式1-1】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的概念；根据没有最小的有理数，由此即可判断A；整数集合包括正整数，负整数和0，由此即可判断B；分数分为正分数和负分数，由此可判断C；非负整数包括0和正整数，由此即可判断D． 【详解】解：A、没有最小的有理数，原说法错误，不符合题意； B、整数集合包括正整数，负整数和0，原说法错误，不符合题意； C、分数分为正分数和负分数，原说法正确，符合题意； D、非负整数即为正整数和0，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【变式1-2】下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，故A错误，不符合题意； B、在有理数中没有最小的数，故B错误，不符合题意； C、有理数不是整数就是分数，故C正确，符合题意； D、a是有理数，则不一定是负数，如时，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型2 0的意义 【例3】下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数，0是重要的数，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．依据0的含义以及有理数分类逐一判断即可． 【详解】解：A、表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界，故此选项正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，不符合题意； C、0是整数，也是最小的自然数，故此选项正确，不符合题意； D、0能写成分数的形式，是有理数，故此选项错误，符合题意；． 故选：D． 【例4】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【技巧归纳】 0既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。它表示“没有”或起点（如数轴原点）。运算中：加0不变、减0不变、乘0得0、0不能作除数。0的相反数是0，绝对值是0，平方根是0。 【变式2-1】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【变式2-2】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 题型3 有理数的分类 【例5】把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 【例6】将下列各数填入相应的集合中．0.6，，，，0，，，，． 自然数集合：{ …}；负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数的分类进行作答即可． 【详解】解：自然数集合：； 负整数集合：； 正分数集合：； 有理数集合：． 【技巧归纳】 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。按性质分为正有理数、0、负有理数。分类时注意：有限小数和无限循环小数归属分数，百分数化成分数形式后判断。 【变式3-1】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正整数集合：{                         }； 负整数集合：{                         }； 正分数集合：{                         }； 负分数集合：{                         }． 【答案】，；；，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正整数、负整数、正分数和负分数的定义解答即可求解，掌握有理数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：正整数集合：{，，}； 负整数集合：{，}； 正分数集合：{，，}； 负分数集合：{，，，}； 故答案为：，；；，；，，． 【变式3-2】把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                             … ｝ 负数集合：｛                             … ｝ 整数集合：｛                             … ｝ 分数集合：｛                             … ｝ 【答案】正数集合：｛， ， ，， …｝， 负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝， 分数集合：｛，，，， …｝ 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据正数、负数、整数、分数的定义即可得到答案． 【详解】解：正数集合：｛， ， ，， …｝， 负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝， 分数集合：｛，，，， …｝． 题型4 带“非”字的有理数 【例7】把下列各数分别填在相应的集合内： 、、、、、、、、， 正数集合{____________________________} 负分数集合{____________________________} 非负整数集合{___________________________} 【答案】、、、、 、 、、、 【分析】本题主要考查有理数的分类，理解正数、负分数、非负整数的概念及识别，掌握有理数分类是解题的关键． 正数包括正整数、正分数；负分数包括负分数、负小数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：、、、、、、、、 正数集合{、、、、}； 负分数集合{、}； 非负整数集合{、、、}； 故答案为：、、、、；、；、、、． 【例8】把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 正数集合：{         …}； 分数集合：{         …}； 非负整数集合：{         …}． 【答案】，0.618，，，；，，0.168，，；0，． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正数集合：{，0.618，，，，…}． 分数集合：{，，0.168，，，…}． 非负整数集合：{0，，…}． 故答案为：，0.618，，，；，，0.168，，；0，． 【技巧归纳】 “非”字表示否定，如非负数即正数和0，非正整数即0和负整数。解题时先明确否定范围，用数轴画出对应区域，注意端点是否包含。转化时去掉“非”字，补充相反情况，避免遗漏0。 【变式4-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，0， 正有理数集合{                     …}； 负有理数集合{                     …}； 整数集合{                     …}； 非负整数集合{                     …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数和负整数和0，分数包括正分数和负分数，非负整数包括正整数和0，负有理数为小于0的有理数数，进行作答即可． 【详解】解：正有理数集合{，6，，…}； 负有理数集合{，，…}； 整数集合{ 6，，0， …}； 非负整数集合{ 6，0，…} 【变式4-2】请把下面的有理数填在相应的集合内： 1，，，，0，，，． 正有理数集合：{____________________________…}． 负整数集合：{______________________________…}． 正分数集合：{______________________________…}． 非负整数集合：{____________________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负整数集合：； 正分数集合：； 非负整数集合：． 一、单选题 1．下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：是负分数，不符合题意； 对于选项B：是负整数，不符合题意； 对于选项C：既不是正数，也不是负数，且是整数，不符合题意； 对于选项D：是正分数，符合题意． 2．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 3．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 4．在数，，，，，，，，中，负分数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据负分数的定义逐项判断即可，有限小数、可以转化为有限小数的百分数都可以化为分数，所以有限小数、可以转化为有限小数的百分数可以看成分数． 【详解】根据题意可知，，，，，为负分数，共个． 故选：C 5．关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：B选项中 0不是正数． 二、填空题 6．任意写一个有理数______． 【答案】 【分析】本题考查有理数定义：有理数是整数和分数的统称，包括正有理数、负有理数和零，熟记有理数定义及常见有理数是解决问题的关键． 有理数包括整数和分数，可以是正数、负数或零，任意写一个即可得到答案． 【详解】解：任意写一个有理数可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 7．在，，0，这四个有理数中，整数有________个． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的分类、属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键． 整数分为正整数、0和负整数，据此解答即可． 【详解】解：在，，，这四个有理数中， 是负整数，是整数，是分数不是整数，是小数不是整数， 因此整数有2个． 故答案为：2． 8．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 9．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 10．把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 【详解】解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 三、解答题 11．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 12．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字的分类（计数、测量、标号与排序）、整数与分数的概念，以及数在实际生活中的应用，熟练掌握数字的分类方法和整数、分数的定义是解题的关键． （1）先从题干描述中逐一提取出现的所有数字，再根据计数、测量、标号与排序的定义，对每个数字的用途进行判断和归类． （2）依据整数和分数的数学定义，对提取出的所有数字进行整数与分数的划分． （3）结合实际生活中的具体数学问题，举例说明仅用整数和分数无法满足需求，从而论证数系需要扩展． 【详解】（1）解：老师刚才描述中出现了：、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，没有属于标号与排序的数字； （2）解：按整数和分数分类：整数有、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 13．将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 【答案】 5，，，8.9，19，，，0；5，，19，0；，，，0 【分析】本题考查有理数的定义及分类，根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：有理数集：{5，，，8.9，19，，，0…} 整数集：{5，，19，0…} 非正数集：{，，，0…}． 14．把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 【答案】；；； 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：正数：{}； 负分数∶ {}； 负整数：{}； 整数∶ {}． 15．把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据正数的定义、分数的定义、整数的定义、负有理数的定义作答即可． 【详解】解：如图： 16．把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【分析】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $