第11讲 函数的奇偶性（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第11讲 函数的奇偶性（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的奇偶性 前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象（图3.2-6），你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 【知识点1 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由偶函数的定义判断即可． 【解答过程】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解题思路】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解. 【解答过程】∵的定义域为， ， 所以是奇函数. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一上·河北唐山·期中）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数奇偶性的定义即可判断. 【解答过程】不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误； 令，，， 所以为偶函数，即为偶函数，故B正确； 也不知其奇偶性，故C错误； 令，，， 所以为奇函数，即为奇函数，故D错误． 故选：B． 【变式1-3】（25-26高一上·新疆喀什·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的奇偶性和单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】选项A：因为在定义域内为增函数，故A错误； 选项B：因为在定义域内不单调，故B错误； 选项C：因为的定义域为，且，故为奇函数， 又，所以是减函数，故C正确； 选项D：因为，可知在定义域内不是奇函数，故D错误； 故选：C. 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数是奇函数求解解析式. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，， 设时，则，可得. 故选：C. 【变式2-1】（2026·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【解答过程】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性即可求解. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数， 当时，， 所以当时，. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由奇函数的性质进行求解即可． 【解答过程】当时，得， 因为为定义在上的奇函数，所以， 则当时， ， 故选：B. 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】由求得，代回检验即可. 【解答过程】因为的定义域为，且为奇函数，所以， ，得， 则，又，满足题意， 故. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由奇函数性质可知，对任意恒成立，代入化简即可. 【解答过程】不妨设，由奇函数性质可知， 所以，即对任意恒成立， 于是，所以. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据函数是奇函数，得到，从而可求出，，计算即可. 【解答过程】因为为定义在上的奇函数， 所以，即，则，所以， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的定义域关于原点对称及求解即可. 【解答过程】由题意，，解得，即， 又，则， 则，即，所以. 故选：D. 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用奇函数的性质可得在上单调递减，结合单调性即可判断选项. 【解答过程】连续的奇函数的定义域为，所以, 因为在上单调递减，在[0,2]上单调递增， 所以在上单调递减， 因为，， 所以,, 所以; 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·四川绵阳·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，又，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据奇函数判断函数的单调性以及零点，然后根据不等式的性质求出解集即可. 【解答过程】因为函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减，因为，所以. 因为，所以 当时，即，要使得不等式成立，则， 那么有或，解得或， 此时，； 当时，即，要使得不等式成立，则， 那么有或，解得或， 此时，； 综上，不等式的解集为. 故选：C. 【变式4-2】（2026·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【解答过程】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·云南·期末）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，根据题意分析的奇偶性和单调性，不等式即，结合函数性质解不等式即可. 【解答过程】令， 因为是定义在R上的奇函数， 则， 所以是定义在R上的奇函数， 又因为对任意的，，均有成立， 不妨设，则， 可得，即， 可知在上单调递增，则在上单调递增， 且，则，可得， 不等式化为，即， 可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D． 模块三 函数的图象 【知识点2 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由奇偶性的定义确定函数的奇偶性，结合恒成立及排除法确定答案. 【解答过程】由解析式知，函数的定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、C，又恒成立，排除D. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·广西梧州·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解答过程】∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数，故排除A，C， 因为在上单调递增，在上单调递增， 即在上单调递增，故排除B. 选项D符合以上特征， 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【解答过程】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A. 【变式5-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【解题思路】根据奇函数的定义求出的值，由图象可得函数在内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在内单调递增，即可得解. 【解答过程】因为函数是定义在区间内的奇函数， 所以，解得， 所以函数是定义在区间内的奇函数， 由图可知，函数在内单调递增，由奇函数的性质可知函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【解答过程】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得， 又由当时，函数为单调递减函数，所以， 所以， 故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 【题型7 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例7】（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 【变式7-1】（25-26高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【解答过程】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 【变式7-3】（2026·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【答案】C 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 【题型8 函数性质的综合】 【例8】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B 【解题思路】根据条件中的对称性，变形判断AD，再结合判断C，根据对称性，再判断B. 【解答过程】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称， 但不确定，故B错误. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．是奇函数 D． 【答案】D 【解题思路】对A、B，由已知条件通过变量代换判断对错；对C，分析的周期，利用周期性及中心对称赋值化简判断；对D，利用周期性和对称性求解判断. 【解答过程】对于A：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，A正确； 对于B：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，B正确； 对于C： 因为关于点对称，所以， 因为关于对称，所以， 所以，所以，所以， 即周期为， 又由关于点对称可得 即，所以是奇函数，C正确； 对于D：因为关于对称，所以， 因为关于点对称，所以， 所以，D错误； 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1)函数为奇函数，理由见详解 (2)证明见详解 (3) 【解题思路】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. （2）证明：取，规定， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 【变式8-3】（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足：. (1)求的值； (2)若是偶函数，求函数的解析式； (3)令，当时，，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）根据条件，令，得到，再利用是偶函数，即可求解； （3）根据题设条件，判断的奇偶性和单调性，再利用奇偶性和单调性的性质得在上恒成立，即可求解. 【解答过程】（1）令，，解得. （2）令，得，因为，所以， 又因为函数是偶函数，所以，即， 所以. （3）因为时，，又因为，所以当时，， 由（2）可知，，所以有， 即，所以函数为奇函数， 因为，所以，又因为， 所以有，即. 任取， 则， 因为，所以，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增； 又因为，且函数为奇函数， 所以， 又因为函数在上单调递增，所以， 即在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解题思路】利用奇函数的定义求解. 【解答过程】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据奇函数的性质，直接求出结果即可. 【解答过程】因为是上的奇函数，所以. 故选：A. 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【解答过程】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【解答过程】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C. 5．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数为偶函数，排除选项C、D，再根据时，函数值的正负，排除选项B，即可求解. 【解答过程】由函数的图像，可得函数为偶函数， 对于函数和函数为奇函数，排除C，D； 当时，可得，则，所以，，排除B. 故选：A. 6．（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的性质得到在上为减函数，且，从而得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【解答过程】因为偶函数在上为增函数，所以在上为减函数， 又，所以， 所以当或时，当或时， 不等式，即或， 解得或，即不等式的解集为. 故选：B. 7．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据为奇函数，得到，再由为偶函数，得到，从而推出函数的周期求解. 【解答过程】因为函数为奇函数， 所以， 又为偶函数，则，即， 所以，即， 所以，所以其周期为， 所以， ， 故选：C. 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可知，，再逐一判断各选项即可． 【解答过程】 是定义在上的偶函数， 关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减， 是定义在上的奇函数， 关于对称， 则在上单调递增，且， 所以，． 对于A：因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为，在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，在上单调递减， 所以，故C正确； 对于D，因为的值不定， 所以大小关系不定，故D错误； 故选：C． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D． 【答案】ABD 【解题思路】根据图象变换可得的对称性，进而得出周期性，再逐一赋值计算. 【解答过程】因为为奇函数，所以关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以关于对称， 因为，， 则，， 因为，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 因为，， 所以，即， 则，得，即是的一个周期， 则，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】AB 【解题思路】令可得出，再令结合函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用赋值法可判断C选项；由题意得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为函数满足， 令可得，解得， 令，则，即，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，任取、且， 则， 故函数是上的增函数，B对； 对于C选项，因为，故，， 故，C错； 对于D选项，由得， 因为函数是上的增函数，则，解得， 故的解集为，D错. 故选：AB. 11．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【解题思路】利用赋值法，根据奇偶函数的定义，逐项检验，可得答案. 【解答过程】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数是定义在上的奇函数，且当时，____________. 【答案】 【解题思路】先根据分段函数得出，再应用奇函数定义得出函数值. 【解答过程】当时，则，函数是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·重庆·期末）已知的定义域为，满足，，若，则____________. 【答案】 【解题思路】推导出函数是周期为的周期函数，结合函数的周期性和奇函数的性质可求得所求代数式的值. 【解答过程】因为函数的定义域为，满足，则函数为上的奇函数， 因为，所以， 即，故， 故函数是周期为的周期函数， 则，， ，， 故. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【解题思路】根据偶函数及单调递减解不等式即可. 【解答过程】关于的不等式，且， 所以，又因为是定义在上的偶函数， 所以，因为在单调递减， 所以，所以，即得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1) (2)在单调递增，证明见解析 【解题思路】（1）根据奇函数关于原点对称的性质，结合定义域求解； （2）由函数单调性定义法证明即可. 【解答过程】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，此时，满足题意 故. （2）证明：，且， 则， 因为， 所以，则， 所以，即， 所以，函数在单调递增. 16．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用偶函数的定义求出值，即得函数解析式，再由函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数的奇偶性与单调性，将抽象不等式化成绝对值不等式，两边取平方化简求解即得. 【解答过程】（1）由函数是上的偶函数，得对任意恒成立， 即对任意恒成立，整理得对任意恒成立， 所以，此时函数的解析式为； 任取，且， 则， 由，得，，， 因此，则，即， 故函数在上单调递增. （2）由（1）知，定义在上的偶函数在上单调递增，则在上单调递减， 由，则得，解得. 故原不等式的解集为. 17．（25-26高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 【答案】(1)在上单调递减，证明见详解 (2) 【解题思路】（1）根据单调性的定义证明单调性； （2）根据奇函数的定义及性质求函数解析式即可. 【解答过程】（1）函数在上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减. （2）因为是定义域为上的奇函数， 所以， 当时，， 当时，，此时， 由，所以， 即当时，， 所以. 18．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，是奇函数，证明见解析 (2)在上是单调递减的函数，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，证明如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. （2）在上是单调递减的函数，理由如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 19．（25-26高一上·上海金山·期末）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，；③当时，． (1)证明：为奇函数； (2)判断的单调性，并求解不等式； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)为单调递减函数； (3) 【解题思路】（1）令，求得，再令，求得，结合奇函数的定义，即可得证； （2）根据函数单调性的定义与判定方法，证得为定义域上的单调递减函数，由 ，且为奇函数，求得，把不等式转化为，再由为单调递减函数，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （3）由（2）知，函数为递减函数，得到最大值为，根据题意，转化为在恒成立，设，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为对任意，， 令，可得，可得， 令，可得，所以， 所以函数为奇函数. （2）解：任取，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 所以，即， 所以为定义域上的单调递减函数， 因为，且函数为奇函数，可得， 则， 不等式，可化为， 因为函数为奇函数， 可得， 则不等式即为， 又因为函数为单调递减函数，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以函数在上的最大值为， 要使得对所有，恒成立， 则满足恒成立，即在恒成立， 设，则在恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的奇偶性 前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象（图3.2-6），你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 【知识点1 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式1-2】（25-26高一上·河北唐山·期中）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·新疆喀什·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【变式3-1】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3-3】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·四川绵阳·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，又，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·云南·期末）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 模块三 函数的图象 【知识点2 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·广西梧州·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【变式6-2】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型7 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例7】（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【变式7-1】（25-26高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【变式7-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【变式7-3】（2026·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【题型8 函数性质的综合】 【例8】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【变式8-1】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．是奇函数 D． 【变式8-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【变式8-3】（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足：. (1)求的值； (2)若是偶函数，求函数的解析式； (3)令，当时，，若在上恒成立，求实数的取值范围. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D． 10．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 11．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数是定义在上的奇函数，且当时，____________. 13．（25-26高一上·重庆·期末）已知的定义域为，满足，，若，则____________. 14．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 四、解答题 15．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 16．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 17．（25-26高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 18．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 19．（25-26高一上·上海金山·期末）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，；③当时，． (1)证明：为奇函数； (2)判断的单调性，并求解不等式； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $