精品解析：云南昆明市第八中学2025-2026学年高一下学期学情检查（二） 数学试卷A

昆八中2025-2026学年度下学期学情检查（二） 高一数学（A） 时长：120分钟 满分：150分 命题： 审题： 一、单选题（共8题，每题5分，共40分，每道题只有一个答案是正确的） 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算和模长公式即可求解. 【详解】由， 得，即  则 . 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，， 所以. 3. 若，，则（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 24 【答案】D 【解析】 【详解】 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】验证充分性：若，结合基本不等式，推导出；验证必要性：若，通过举反例，得不出. 【详解】由题意知，，则可知， 当时，，即充分性成立； 取，满足，，， 但是，即必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥母线长为，则，解得，则高， 因此体积，故B正确． 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出内层函数的取值范围，结合余弦函数的单调递增区间列不等式进行求解. 【详解】因为，， 令，则， 余弦函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增， 因此区间需为某一单调递增区间的子集， 取时的递增区间为适配区间， 所以，解得，即的取值范围是. 7. 已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 8. 现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，由此得这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为2，再结合古典概型即可求解. 【详解】由题意可知，设平均数为，方差为， 则，则， 即， 整理得：， 显然最大的数不可能为5，若最大的数为4，剩余的四个数均为1， 此时，不合要求； 若最大的数为4，剩余的四个数分别为1，1，1，2， 此时，不合要求； 故该组数据中最大的数不可能大于等于4，且这5个数也不可能都是2， 则这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为， 所以从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为. 故选：A 二、多选题（共3题，每题6分，共18分，四个选项中有多个选项是正确的，答错的0分，部分选对，得部份分，全选对得满分） 9. 某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位：小时），数据如下：5，6，6，7，7，7，8，8，9，10．下列关于这组数据的说法不正确的是（ ） A. 中位数为7 B. 众数为8 C. 平均数为6.8 D. 极差为4 【答案】BCD 【解析】 【详解】数据已按从小到大的顺序排列，共10个样本．中位数为，故A正确； 众数为7，故B错误； 平均数为，故C错误； 极差为，故D错误． 10. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】若，则存在直线，根据面面垂直的判定定理，，选项A正确； 如图所示，可知，但与相交，则选项B错误； 如图所示，设，过平面内一点，作， 由面面垂直的性质定理可知，，所以， 因为，所以，选项C正确； 如图所示，可知，但与相交，选项D错误； 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算可得，可判断A；由，可判断B；由题意可得，令，在上单调递增，进而可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，由，得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，又，所以， 所以，所以， 令，可得在上单调递增，又， 所以，故C正确； 对于D，由C选项可知，所以，所以， 由，得，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积化简求解即可． 【详解】解：因为，是夹角为的两个单位向量， 所以，， 故， 故答案为：． 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和差公式展开，然后平方化简可得. 【详解】因为， 即， 所以， 所以，即. 故答案为： 14. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为. 四、解答题（5道题，共77分，写出必要的解题过程） 15. 已知是定义在R上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式; （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的对称性质来求解析式即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性来解不等式，再利用不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 由题意，得， 令，则，由于是在R上的奇函数， 所以， 则函数的解析式为 【小问2详解】 由的解析式可知，函数在R上为增函数. ∵是定义在R上的奇函数， ∴，即. 又是增函数，∴， 即对任意的恒成立， ∵， ∴，即. ∴实数k的取值范围为. 16. 的内角，，的对边分别为，，．已知，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 周长为 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角恒等变换求内角； （2）使用三角形面积公式和正弦定理求三角形的边长，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 ， 根据余弦定理可得，即， 代入可得，化简可得， 根据三角形辅助角公式可得，即， 因为，所以， 因此解得，即， 因为，， 所以解得. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，解得， 因为，， 所以， 根据正弦定理可得，即，化简可得， 代入可得，解得， 所以， 根据正弦定理可得，即，解得， 所以的周长为. 17. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【小问1详解】 设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． 【小问2详解】 设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 18. 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【小问1详解】 ∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 19. 将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求． （2）当时，求的表达式． （3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）只需研究，按的十位区间分类，分别统计数字0和数字9的个数，先确定集合，再比较各个候选点处的大小． 【小问1详解】 当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； 【小问2详解】 当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，； 综上所述：. 【小问3详解】 由集合的定义，只需考虑． 当时，数字0和数字9都没有出现，所以，从而． 当时，，所以，即． 当时，设，其中，． 从1写到时，个位上的0出现在10，20，…，中，共有个，因此． 个位上的9在不超过的数中出现次；当且仅当时，数又增加一个个位数字9． 在此范围内十位尚未出现9，所以． 于是当且仅当，即． 当时，设，其中． 此时数字0的个数为． 个位数字9在9，19，…，89中出现9次，十位数字9在90，91，…，中出现次， 所以，从而． 因此只有时，即． 当时，，所以． 当时，100又增加2个0，所以，而，故． 综上，． 当时，． 当，时，． 并且，所以随增大而增大． 因此这些点中的最大值为． 当时，． 因为，所以当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2025-2026学年度下学期学情检查（二） 高一数学（A） 时长：120分钟 满分：150分 命题： 审题： 一、单选题（共8题，每题5分，共40分，每道题只有一个答案是正确的） 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 24 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分，四个选项中有多个选项是正确的，答错的0分，部分选对，得部份分，全选对得满分） 9. 某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位：小时），数据如下：5，6，6，7，7，7，8，8，9，10．下列关于这组数据的说法不正确的是（ ） A. 中位数为7 B. 众数为8 C. 平均数为6.8 D. 极差为4 10. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________． 13. 已知，则________． 14. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题（5道题，共77分，写出必要的解题过程） 15. 已知是定义在R上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式; （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 16. 的内角，，的对边分别为，，．已知，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 17. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 18. 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 19. 将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求． （2）当时，求的表达式． （3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $