解三角形中的最值或范围问题2025-2026学年高一数学必修二解三角形下学期期末备考13

**基本信息** 聚焦解三角形最值或范围问题，通过教材回归与分层训练，系统覆盖边长、周长、面积等最值题型，强化定理应用与数学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|6道教材原题|含最大内角、最小周长、面积最值等基础题型|以教材习题为起点，构建“定理应用-最值转化”逻辑链| |跟踪训练|16题（单选7/多选2/填空3/解答4）|涵盖角、边、面积、周长等多维度最值问题|从基础计算到综合应用，逐步提升对正弦定理、余弦定理及不等式求最值的迁移能力|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考13 测试范围：解三角形中的最值或范围问题 【回归教材】 【人教B版2019年数学必修四P12页习题9-1A第3题】已知，求中最大的内角。 【答案】中最大的角为. 【详解】由正弦定理得，代入已知条件，得， ，的最大角为角C.设，则，由余弦定理得.又，即中最大的角为. 【人教B版2019年数学必修四P12页习题9-1B第3题】已知三角形的两边和为4，其夹角为，求满足条件的三角形的最小周长。 【答案】 【详解】如图，在中，，设，则. 由余弦定理得 ，由可知， 当时，有最小值4，即有最小值2. 故的周长有最小值. 【苏教版数学必修二P107页第13题】在中，已知，若最长边的长为， 求最短边的长。 【答案】 【详解】由题意得，在中，，，，，即为最大角，与都为锐角，，，即为最小角，为最小边，，，由正弦定理得，解得。 【人教B版2019年数学必修四P104页第7题】如图，已知为定角，P，Q分别在的两边上，PQ为定长．当P，Q处于什么位置时，的面积最大？ 【答案】当时，的面积最大 【详解】设，，在中，由余弦定理得，其中与为定值，由基本不等式可得：，所以，即，当且仅当时取等号，故，所以当时，的面积最大。 【人教B版2019年数学必修四P12页习题9-1B第6题】已知中，. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理，诱导公式，两角和的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）由余弦定理，基本不等式及三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）由正弦定理得 ，整理得， 又均为三角形内角，所以． （2）由余弦定理得，， 整理得，，当且仅当时等号成立， 所以，即面积S的最大值. 【人教B版2019年数学必修四P21页第8题】在中，已知. (1)若，求；(2)求的最大内角. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由正弦定理可知，结合题干等式，即可解出答案. （2）将当做已知数，联立题干等式，即可用表示出，根据边长大于0，再利用作差法即可判断出边最大，根据大边对大角，可得到角为最大角，将上面等式代入角的余弦定理即可得出答案. 【详解】（1）由正弦定理及已知条件可设，则. 由已知条件得， （☆） ，即，或. 当时，舍去 （2）由（☆）式得，代入中得. 又.又. 中，c为最大边，即C为最大角，由已知得， ，又. 【点睛】本题考查解三角形，属于中档题.熟练掌握正余弦定理是解本题的基础.本题的关键在于判断出边为最大边. 【跟踪训练】 一、单选题 1．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式及基本不等式可得面积的最大值，列方程可解得. 【详解】由三角形的面积公式可得，，当且仅当时取“=”，令，解得，故选：B. 2．在中，已知，最大边与最小边的比为，则的最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】法一：直接验证排除：若最大角为，则三角形为等边三角形，排除A；若最大角为，则最大边与最小边的比值为，排除C；利用在直角三角形中最大边与最小边的比值为，可知钝角三角形中大于，排除D． 法二：不妨令，则，∴，的最大角； 法三：不妨令，由正弦定理得，即， ∴，，．故选：B. 3．已知内角，，的对边为，，，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式化简，再由余弦定理及正弦定理化简，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，可得，结合正弦定理及余弦定理有，整理得，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立.故选：A 4．已知满足：，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即. 所以，当时取等号；又，故角为锐角，，，当时取等号，所以角的最大值是. 5．已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用正弦面积公式表示出：，化简可得，即，再结合基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】如图，为角平分线，， 即，化简得， 则，当且仅当时取等号，故最小值为4. 6．在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理、余弦定理和基本不等式计算即可得. 【详解】因为，所以，即， 所以，又，所以，由的面积为，得，可得，所以，当且仅当，即时取等号. 7．如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即.所以，同时. 在中，，根据余弦定可得：， 即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即.当且仅当取得最值. 二、多选题 8．在中，内角所对的边分别为，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的有（    ） A．若，的面积是 B． C．的最小值是4 D．的最小值是2 【答案】BCD 【分析】对于A，根据角分线的定义得到，结合已知条件求出，然后求面积；对于B、C、D利用三角形面积公式和角平分线性质得到的关系，然后运用均值不等式和余弦定理分析选项. 【详解】对于A，因为，，，角的平分线，， 因为，则，由，得，，故A错误； 对于B，由题意得，由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以，故B正确；对于C，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以，故C正确；对于D ，由余弦定理 ，所以，即的最小值是2，当且仅当时取等号，故D正确． 9．在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为4 C．的取值范围为 D．若为的中点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求，可判断A，利用基本不等式来推理可判断B，利用举反例可判断C，利用中线向量来求中线长可求解取值范围来判断D. 【详解】由，结合正弦定理角化边得：， 再由余弦定理得，因为，所以，故A正确； 再由，因为，所以，又因为， 所以，解得，当且仅当时取等号，此时，故B正确； 在直角中，，，斜边，故C错误；由中线平方可得，即，利用可得，因为，所以，当且仅当取等号，因为，所以的取值范围为，故D正确；故选：ABD. 三、填空题 10．在中，，是的中点，且，则边长度的最大值为_____． 【答案】 【分析】设，在中，由余弦定理可得，可得，在中，利用余弦定理可求的最大值. 【详解】设，因为，所以，在中，由余弦定理得：，所以，进而由均值不等式可得， 在中，由余弦定理可得， ，当时取等，故的最大值为． 11．记的内角的对边分别为，已知，当角最大时，的面积是__________. 【答案】 【分析】借助正弦定理及余弦定理可得，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式可求出角最大值及此时的值，再利用面积公式计算即可得. 【详解】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得， 故，化简得，又，则， ，当且仅当，即时，等号成立，故，当角最大时，取最小，即角最大值为，此时， 则. 12．在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是_______． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再利用余弦定理结合基本不等式可得，进而可得的最大值. 【详解】原式，由正弦定理得，即，则有，因为，则，即，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，因为，当且仅当时等号成立，可得，所以，且，则，故的最大值是. 四、解答题 13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值。 【答案】(1)；(2)6 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，又因为，且，所以，又因为，，所以，即. （2） 在中，由余弦定理，得， 即，所以， 当且仅当时取等号，所以周长的最大值为， 14．已知、、为的三个内角，且其对边分别为、、，若． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用正弦定理将化为，再利用三角函数恒等变换公式化简可求出角的值； （2）由余弦定理结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式可求得结果 【详解】解：（1）因为，由正弦定理得，，即，所以，因为，所以，因为，所以； （2）由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以， 的面积，即面积的最大值． 15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边角互化化成的三角关系式，化简求值； （2）将所求表达式化成角的函数式，求最值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 于是，两边同时除以，得， 又，所以. （2）由正弦定理及余弦定理，得.又因为， 所以，当，即时，取得最大值. 16．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形，证明见解析；(2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，可得出或，可得出或，即可得出结论； （2）分析可得，且，利用诱导公式以及辅助角公式可得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：为等腰三角形或直角三角形，证明如下： 由及正弦定理得，， 即， 即， 整理得，所以，故或， 又、、为的内角，所以或，因此为等腰三角形或直角三角形． （2）由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且， 所以，因为，故，得，所以， 因此的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考13 测试范围：解三角形中的最值或范围问题 【回归教材】 【人教B版2019年数学必修四P12页习题9-1A第3题】已知，求中最大的内角。 【人教B版2019年数学必修四P12页习题9-1B第3题】已知三角形的两边和为4，其夹角为，求满足条件的三角形的最小周长。 【苏教版数学必修二P107页第13题】在中，已知，若最长边的长为， 求最短边的长。 【人教B版2019年数学必修四P104页第7题】如图，已知为定角，P，Q分别在的两边上，PQ为定长．当P，Q处于什么位置时，的面积最大？ 【人教B版2019年数学必修四P12页习题9-1B第6题】已知中，. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 【人教B版2019年数学必修四P21页第8题】在中，已知. (1)若，求；(2)求的最大内角. 【跟踪训练】 一、单选题 1．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 2．在中，已知，最大边与最小边的比为，则的最大角为（    ） A． B． C． D． 3．已知内角，，的对边为，，，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 4．已知满足：，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 6．在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 8．在中，内角所对的边分别为，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的有（    ） A．若，的面积是 B． C．的最小值是4 D．的最小值是2 9．在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为4 C．的取值范围为 D．若为的中点，则的取值范围为 三、填空题 10．在中，，是的中点，且，则边长度的最大值为_____． 11．记的内角的对边分别为，已知，当角最大时，的面积是__________. 12．在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是_______． 四、解答题 13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值。 14．已知、、为的三个内角，且其对边分别为、、，若． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 16．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $