数学（湘教版）-2024-2025学年高一下学期学业能力评鉴四（期末）

2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件； ③“明天上海要下雨是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件 A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 2.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子为1的分数，因此这种分子为1的分数往往 被称为埃及分数，现有5个埃及分数， 会系名·后：从中能歌2个进行加肤 运算，则所得结果超过这5个埃及分数中最大数的概率为 1 c.5 3 A.2 D. 10 3.已知非零向量a,b满足|a=2|b|,且a-2b=a+4b1,则，b的夹角为 A君 B.3 元 C.3 D.6 元 4.以下四个命题： ①若aCx,bcB,则a、b为异面直线； ②若直线a在平面a&上，b不在平面a上，则a、b为异面直线； ③没有公共点的两条直线是平行直线； ④两条不平行的直线就一定相交. 其中正确答案的个数为 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有 70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是 (湖南教有)高一数学第1页（共4页) 合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果错误的是 A.P(B)=10 B.P(A∩B)=0 C.P(BnC)=100 7 D.P(4UB)=1 6.已知向量OA=(-1,),OB=(1,2),OC=(k+2,0)且实数k≥0，若A,B,C三点共 线.则k的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知ae(分受，且12sna-5csa-9,则as2a A:吉 B.日 D.6 8.设函数f(x)=2sin(ar+)(ow>0,0<p<),已知函数f(d)的图象相邻的两个 对称中心的距离是2元，且当x=雪时，（✉）取得最大值，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的最小正周期是4π B.函数f()在 0上单调 C.f()的图象关于直线x=3征对称 D,/9)的图象关于点，0对称 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列说法中正确的有 A.任何事件发生的概率总是在[0,1]之间 B.概率是随机的，在试验前不能确定 C.频率是客观存在的，与试验次数无关 D.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 10.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-AB,CD容器内灌进一些水，将容器底面一 边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA上时， AE+BF是定值.其中正确的说法是 A.①② B.① C.①②③ D.③ 11.下面命题中错误的是 A.ai-1(a∈R)的共轭复数是i+1 (湖南教育)高一数学第2页（共4页) B.若两个复数的差是纯虚数，则它们一定互为共轭复数 C.若z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z,二=三，则z是实数 D.若两个虚数的和与积都为实数，则它们互为共轭复数 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球 至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表 P 示的事件为■ 13.设f(tanx)=tan2x,则f(2)= 14.如图，四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=4,AC与BD相交 于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥平面ABCD,PO-4,M是 PC的中点，则二面角MBD-C的正切值为 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)在高中学生军训射击表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3， 甲乙两人的射击互不影响，求： (1)甲乙同时射中目标的概率； (2)甲乙中至少有一人射中目标的概率 16.(15分)底面半径为2，高为4√2的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧 棱与底面垂直的四棱柱) (1)设正四棱柱的底面边长为x,试将棱柱的高h表示成x的函数； (2)当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值 17.(15分)已知a、b、C分别为△ABC三个内角A、B、C的对边， acosC+3asinC-b-c=0. (1)求角A的大小； (2)若a=2,△ABC的面积为√5，求b、c的值 (湖南教育)高一数学第3页（共4页） 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，A⊥平面 ABCD,点MN分别为BC、PA中点，且PA=AB=2. (1)证明：BC⊥平面AMW; (2)在线段PD上是否存在一点E,使得N∥平面ACE?若存在，求出PE的长，若 不存在，说明理由 M 19.(17分)某场晚会，“玲儿姐”、“关关姐”和页楼哥”参加一项趣味问答活动.该活动 共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品.已知在第一 个问题中玲儿短”曰答正确的概率为子，“玲儿姐"和关关姐"丙人都回答错谈的概率为后， 2 3 “关关姐”和页楼哥”两人都回答正确的概率为0；在第二个问题中“玲儿姐、“关关姐和页 楼哥回答正确的概率依次为，子，。且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影 响 (1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率， (2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人 最终一共获得2枝“黑玫瑰奖品的概率. （湖南教育)高一数学第4页（共4页)2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.C2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.A 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.AD 10.BD 11.AB 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.恰有一个红球 13.子 14.5 2 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)设“甲射中目标为事件A,“乙射中目标为事件B, 则P(A)=0.4,P(B)=0.3,且事件A,B相互独立， 所以甲乙同时射中目标的概率为P(A·B)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12;(6分) (2)设“甲乙中至少有一人射中目标”为事件C, 则它的对立事件为“甲乙都没有射中目标记为：A·五， 则P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-(1-0.4)×(1-0.3)=0.58 (13分) 16.(15分) 解：(1)由题意： √2 _45-h→h-2x+4W5,(供中0<x<25) 29 (7分) 2-4W2 (2)设该正四棱柱的表面积为S,则有关系式：S=2·x2+4hx =2x2+(-8.x2+16W2x =-6x2+16N2x x() (湖南教育)高一数学参考答案第1页（共3页） 3 (15分) 17.(15分) 解：(1)acosC+√3 asinC.-b-c=0 根据正弦定理，得sinAcosC+√3 sinAsinC-sinB-sinC=0, 即sinAcosC+√3 sinAsinC=sinB+sinC,.∵A+B+C-=t,∴.sinB=sin(A+C), .sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC, .'sin Acos C+v3sinAsinC sinAcosC +cosAsinC+sinC 3 sinAsinC=cosA sinC+sinC, .∵0<C<π .∴.sinC>0, 5nk41,即5Mos=,sm4周5Ae(0刊， 221 2 6 (7分) @由4-子Seo4=6,得ac=4. 由余弦定理，得d=b2+c2-2 bccos4-=(b+c)2-2bc-2 bccos4, 则(b+c)2=ad2+3bc=4+1216,.b+c=4,则 bc=4 b+c=4b=c=2. (15分) 18.(17分) (1)证明：，PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC,即NA⊥BC, ,底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形，，点M为BC中点， ∴.AM⊥BC,又.AM∩NA=A,.BC⊥平面AMN; (8分) (2)解： M 存在点E；如图，取PD中点E,连接E,EC,AE,N,E分别为PA,PD中点， 涩∥AD且涵-4D,又在芝形ABCD巾，CMAD且CM-D, (湖南教育)高一数学参考答案第2页（共3页） ∴.NE∥CM,且E=CM,即四边形MCEN是平行四边形，∴.M∥EC,又ECc平 面ACE,NM文平面ACE,.N∥平面ACE,即在线段PD上存在点E,使得 MN/平面ACE,此时PD=√PA+AD=V2+2=2√2，PE=号PD=V2.(17分) 「2 19.(17分) (1)记A=“玲儿姐回答正确第i个问题”，B,=“关关姐回答正确第1个问题”， C=“页楼哥回答正确第1个问题”，i=1,2 根据题意得P4)=Pa)P国)-L-P(41-PRB=Q--P(8=号， 所以PB)= PsC)=c)号G)品所以PC) 3 故在第一个问题中，“关关姐“和页楼哥“回答正确的概率分别为亏和2； (8分) （a)出题意知4，P@)号，PC)专， “玲儿姐获得一枝“黑玫瑰奖品的概率为R=P氏44)=P氏4P4)2 342； “关关姐获得一枝黑玫瑰奖品的概率为月=PBB,)=PB)PB,)=子亏亏 322 页楼哥”获得一枝黑玫瑰奖品的概率为2=PCC)三PCPC)子号为 三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为 P=0-R)P,R+R0-P)+PR,0-R)=x2x2+1x3x2+1x2x38 25525525525 所以玲儿姐、“关关姐"和页楼哥“获得一枝“黑玫瑰奖品的概率分别为2亏亏 122 三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为5 (17分) (湖南教育)高一数学参考答案第3页（共3页）