精品解析：2026年江苏省宿迁市宿城区二模数学试题

2026年中考第二次模拟考试数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，写在试卷或草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡上对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题时使用0.5 mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径是，这个数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（ ） A. 不变，改变 B. 增大两岁，不变 C. 增大两岁，改变 D. 不变，不变 5. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：_________． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 11. 若n边形内角和为900°，则边数n= ． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是_____（结果保留π）． 13. 若关于x的方程有增根，则a的值是______． 14. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 15. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 16. 设二次函数（，为常数，）经过点、．若，则的取值范围是______． 17. 如图，点、分别是轴的正半轴、轴的负半轴上的两个点，且．过作，垂足为．反比例函数的图象经过点，与边另一个交点为．若，则的值为_______． 18. 如图，矩形中，，．点为边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接、．当的面积最大时，线段的长为____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 22. 小军的爸爸参加了今年市里马拉松比赛的赛道志愿者服务工作．根据赛道志愿者服务的要求，赛道志愿者被随机分到A组（补给站）、B组（指引与秩序）、C组（起点/终点）． （1）小军的爸爸被分到C组的概率是_________； （2）李老师也参加了这次马拉松比赛的赛道志愿服务工作，他和小军爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程） 23. 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________； （2）这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； （3）若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 24. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． （1）求A，B两种型号机车的单价； （2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 26. 如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长， 27. 如图1，中，，，．将绕顶点旋转至，点，的对应点分别为，．连接，，、，直线与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，当平分时，求的长； （3）如图3，在旋转过程中，当的度数最大时，求四边形的面积． 28. 我们约定：点与点，当，，，满足，且时，称点与点为一对“反射点”．例如：点与点即为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，称该函数为“镜像函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）直接写出双曲线上的一对“反射点”的坐标______； （2）若关于的一次函数是“镜像函数”，求这个函数的图象关于轴对称后的函数表达式； （3）若关于的二次函数是“镜像函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，写在试卷或草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡上对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题时使用0.5 mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径是，这个数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，这个数用科学记数法表示是． 3. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是几何体主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键． 找到从正面看所得到的图形即可，注意从正面看到的所有棱都应表现在主视图中． 【详解】解：这个几何体的主视图是： 故选：B． 4. 某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（ ） A. 不变，改变 B. 增大两岁，不变 C. 增大两岁，改变 D. 不变，不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义计算变化即可得出结论． 【详解】设该班有名学生，两年前学生年龄分别为，，，，两年前年龄平均数为，方差为， 则，， 现在每名学生年龄都增加岁，则学生年龄分别为，，，， ， ， 平均数增大两岁，方差不变． 5. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移变换．向下平移2个单位，只需在原解析式的基础上减去2即可． 【详解】解：∵抛物线向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为 ． 故选：B． 7. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 8. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可. 【详解】解：代数式有意义， 被开方数满足 ， 移项得 ， 系数化为得 ． 11. 若n边形内角和为900°，则边数n= ． 【答案】7 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式建立方程求解． 【详解】解：根据题意得：180°（n﹣2）=900°， 解得：n=7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查多边形内角和公式，解题的关键是熟记公式． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是_____（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合扇形面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的侧面积 （）． 13. 若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 14. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，掌握中点坐标公式是解题的关键；连接、交于点，设，，由平行四边形的性质可知点是▱的对称中心，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点， 设，， 四边形是平行四边形， 点是的对称中心， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 15. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，然后根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴的长度是18厘米， 故答案为∶18． 16. 设二次函数（，为常数，）经过点、．若，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】将已知两点代入二次函数解析式，对式子变形整理得到关于的表达式，结合的条件，解不等式即可得到的取值范围，再结合即可得解． 【详解】二次函数经过点、， ， 得，， ， ， ，解得， ， 的取值范围是且． 17. 如图，点、分别是轴的正半轴、轴的负半轴上的两个点，且．过作，垂足为．反比例函数的图象经过点，与边另一个交点为．若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作,根据正切值以及勾股定理可知，根据点坐标可知反比例函数为，根据正切值可知点，进而可知直线的解析式为：，然后可知，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作, ∴, ∵ ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴ ∴, ∴ ∴, ∴点, 将点代入反比例函数， 得， 解得， 则反比例函数为， , ∴, ∴, 则点, 设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得： 则直线的解析式为：， ∵直线与反比例函数交于， 则， 解得， 当，则 当，， 则点， 则， , ∴． 18. 如图，矩形中，，．点为边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接、．当的面积最大时，线段的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】先证明，则，那么可得当时，取得最大值，即的面积最大，过点作于点，再解即可． 【详解】解：如图，∵四边形是矩形， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， 由翻折可得，， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴当时，取得最大值，即的面积最大， 过点作于点， ∴此时， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数幂、代入特殊角三角函数值，再进行混合运算即可. 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【解析】 【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，最后代入即可求值． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 21. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 22. 小军的爸爸参加了今年市里马拉松比赛的赛道志愿者服务工作．根据赛道志愿者服务的要求，赛道志愿者被随机分到A组（补给站）、B组（指引与秩序）、C组（起点/终点）． （1）小军的爸爸被分到C组的概率是_________； （2）李老师也参加了这次马拉松比赛的赛道志愿服务工作，他和小军爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）总共有3种等可能的分组结果，符合分到C组的结果有1种，直接用概率公式计算； （2）通过列表法列出所有等可能的结果，统计出两人同组的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：一共有A，B，C三种等可能的分组结果，小军爸爸被分到C组的结果只有1种， 因此小军爸爸被分到C组的概率为． 【小问2详解】 列表列出所有可能的结果如下∶ 小军爸爸\李老师 所有等可能的结果共有9种，其中两人被分到同一组的结果有3种， 因此两人被分到同一组的概率为． 23. 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________； （2）这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； （3）若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】（1）； （2）D； （3）该景区月份的服务质量良好， ， ， 该景区月份的服务质量良好． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、加权平均数，解决本题的关键是根据中位数的定义确定中位数在哪一组，利用加权平均数的公式求出平均数． （1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出D组的人数，即为的值； （2）根据中位数的定义可知，把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据，，组的人数和组的人数判断中位数在D组； （3）利用加权平均数的公式可以求出名游客评分的平均数为分，所以该景区月份的服务质量良好． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：一共抽查了人， 把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又，， 第和个评分结果在D组， 这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； 【小问3详解】 略 24. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． （1）求A，B两种型号机车的单价； （2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆，解题过程见详解 （2）购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元，解题过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列二元一次方程组求解即可； （2）结合第（1）问的结果，先建立总利润与机车数量的一次函数关系式，然后根据条件确定自变量的取值范围，再利用函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得 解得 答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆； 【小问2详解】 解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则 ． 购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ， ． 又为非负整数， 的最大值为33． ， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值， 此时，， 所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元． 【点睛】本题综合考查了利用一次函数、二元一次方程组以及不等式解决实际问题．能够结合已知条件建立恰当的数学模型是解题的关键． 25. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）14分米 （2）2分米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； 【小问2详解】 如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 26. 如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长， 【答案】（1）证明见解析（2）． 【解析】 【分析】(1)根据，分别切于点，，得到平分，得到，再根据得到，利用等量替换得到； (2) 连接，先算出CE=10，再利用勾股定理得到BE的长度，设的半径为，在中，得到，即可求出r的长度，再证明，利用相似三角形的性质即可求出EF的长； 【详解】（1）证明：∵，分别切于点，， ∴平分，即，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴（等量替换）； （2）解：连接，如图， ∵，分别切于点，， ∴，， ∴， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， 解得， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，涉及到切线的性质、相似三角形的判定与性质综合、勾股定理解三角形，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 27. 如图1，中，，，．将绕顶点旋转至，点，的对应点分别为，．连接，，、，直线与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，当平分时，求的长； （3）如图3，在旋转过程中，当的度数最大时，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：由旋转可得：，，． ， ， ， ， （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）取的中点，连接、，交与点，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得四点共圆，根据垂径定理可知垂直平分 ，进而根据勾股定理即可求解； （3）当时，度数最大, 即可证明，可得，进而可知，根据勾股定理可知长，进而根据面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连接、，交于点． ，点为的中点， ， 即点、在以为圆心，为半径的圆上． 平分， ， ∴， ， 垂直平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， 是的中位线， ∴， ． 在中，． 【小问3详解】 由题意得，当时，度数最大； ， 过作，垂足为，过作，交的延长线于点． ， ， , 在与中, ，， ∴ ． 28. 我们约定：点与点，当，，，满足，且时，称点与点为一对“反射点”．例如：点与点即为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，称该函数为“镜像函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）直接写出双曲线上的一对“反射点”的坐标______； （2）若关于的一次函数是“镜像函数”，求这个函数的图象关于轴对称后的函数表达式； （3）若关于的二次函数是“镜像函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）与或与等，（本题答案不唯一）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，只要两点在反比例函数图像上，满足条件即可； （2）设反射点与，根据新定义的关系可构造方程，即可知，进而再根据轴对称的定义即可求得对应坐标，进而用待定系数法即可求解； （3）设反射点与代入函数可得，进而可知，根据二次函数的顶点式即可求解的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是“镜像函数”， 图象上存在反射点与，即， 在直线上， ∴， ∴ ∵， ， ， 当时，，当时，， 一次函数图象与坐标轴的交点坐标为，； 这两点关于轴对称后的点的坐标分别为，， 设函数表达式为，将点，代入， 得， 解得， 关于轴对称后的函数表达式为． 【小问3详解】 ∵， ∴， 二次函数是“镜像函数”，则图象上存在反射点与， ∴， ， ， ， ， ∴， ． ， 即：， ∴， ∴， ， ， 当时，， 此时； 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $