精品解析：江苏苏州园区青剑湖实验中学2026年九年级数学 五月课堂练习

初三数学五月课堂练习 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据俯视图是从上方看到的解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：D． 3. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可． 【详解】解： ∴一个水分子的质量大约是． 故选：C． 4. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 6. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案． 【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32， ∴， 把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为， 故答案为：35． 11. 若，则代数式的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 根据已知条件将要求的代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴当时， 原式=． 故答案为：． 12. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴; 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为． 13. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 14. 如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据黄金分割的定义得，然后利用等量代换可得，再结合可得，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 16. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 20. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 21. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可； （2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等． 22. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求一次函数及反比例函数的表达式； （2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接，，且满足，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把代入求出，即可求出反比例函数的表达式，把代入求出，把，代入即可求出一次函数的表达式； （2）过点P作轴，交于点H，设，则，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得：， ， 把，代入，得，解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴，交于点H， 设，则， ， ， ，即， 解得：（舍去）， 点P的坐标为． 24. 如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． （1）求的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】（1）15.6米 （2）9秒 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出的长，进而求出的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； 【小问2详解】 解：由题意，，， 在中，； 在中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 25. 如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：； （2）如果，求∠ABC的正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）∠ABC的正弦值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可证明E为BC的中点，再利用中位线定理可得AC=2OE，OE//AC，证明△ACF∽△DEF，可得结论； （2）连结OF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，证明△AOF∽△ADO可证得AH=AO，再证明△ACF≌△AHF，可得AC=AH，从而可求得sinB的值． （3）先得出，分当∠AOF=90°和∠AFO=90°两种情况讨论求得即可得出结论． 【小问1详解】 解：连结AC， ∵OD⊥BC， ∴点E是BC的中点， ∵点O是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AC=2OE，OE//AC， ∴△ACF∽△DEF， ∴， ∴． 【小问2详解】 连结OF，过点F作FH⊥AB，垂足为H， ∵AF·AD=AO²， ∴， ∵∠OAF=∠DAO， ∴△AOF∽△ADO， ∴∠AOF=∠D， ∵OA=OD， ∴∠FAO=∠D， ∴∠FAO=∠FOA， ∴FA=FO， ∴AH=AO. ∵OD//AC， ∴∠CAF=∠D，∠ACB=∠OEB=90°， ∴∠CAF=∠OAF， ∴△ACF≌△AHF， ∴AC=AH=AO. Rt△ABC中，sinB=． 【小问3详解】 ∵AC//OD， ∴， ∵，， ∴， 由题意可知∠FAO≠90°， （i）当∠AOF=90°时， 可得∠B=∠FAO，由∠OAD=∠D，可得∠B=∠D， 由OE⊥FB，得∠FOE=∠B， ∴∠D=∠FOE， ∴OF=FD， ∴DE=OE， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）∠AFO=90°时， 可得DF=FA，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，垂径定理、三角形中位线的判定，圆周角定理等．（1）中能得出AC为△ABC的中位线是解题关键；（2）中能正确构造辅助线是解题关键；（3）需注意分类讨论． 26. 小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． （1）根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． （2）根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． （3）根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 【答案】（1）右眼度数为度，左眼度数为度； （2） （3）这副眼镜与验光单匹配，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为，分别代入数据计算即可； （2）设， 把，代入，求得，再根据，代入计算即可； （3）延长交于点，由题意，得点是的中点，证明点在上，设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距，证明，推出，求出米，由（2）的结论，代入计算即可解答． 【小问1详解】 解：右眼焦度，则（度）； 左眼焦度 ，则（度）； 答：右眼度数为度，左眼度数为度； 【小问2详解】 解：∵近视眼镜度数与焦距成反比例， 设， 把，代入得：， 解得， 因此​， 又∵，代入得​， 化简得：；​ 【小问3详解】 解：这副眼镜与验光单匹配，理由如下： 如图，延长交于点， 由题意，得点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴点在上， 设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 由（2）的结论， 解得， ∵是近视镜片，焦度为， ∴和验光单标记一致，因此匹配． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． （1）求点C的坐标及二次函数的解析式； （2）若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； （3）点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标进而得出的长度；过点C作轴于点H，由平移的性质可得，原抛物线中B，C两点的纵坐标的差与新抛物线中，两点的纵坐标的差相等，据此可得点C的坐标，最后利用抛物线顶点式将点B，C代入即可求得抛物线表达式； （2）由原抛物线对称轴得到新抛物线的对称轴，在中得到三边的长度，根据与的相似比不为1，可得出当符合题意，利用余弦的定义求得的长度，进而得出点P的坐标； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，将点D代入求出其坐标，由时，恒成立，可设，求得点F的横坐标，进而得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 令，得：， ∴， ∴， 如图，过点C作轴于点H， ∵，点的纵坐标为， ∴， ∵将原二次函数的图象平移后得到新抛物线，点，分别是B，C的对应点， ∴， 即， ∵， ∴， 将代入，得， ∴， ∵点C为二次函数的顶点， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数． 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴为， ∵向右移个单位长度得到二次函数的对称轴， ∴二次函数的对称轴为， 如图，在中，， ∴轴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵与的相似比不为1， 当时，易证得，不符合题意， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：由（2）知，， 将点代入得：， ∴， 设，则， ∵时，恒成立， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学五月课堂练习 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 因式分解：__________． 10. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 11. 若，则代数式的值为________． 12. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 13. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 14. 如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则___________． 15. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 16. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 化简：． 20. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 22. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求一次函数及反比例函数的表达式； （2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接，，且满足，求点P的坐标． 24. 如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． （1）求的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 25. 如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：； （2）如果，求∠ABC的正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 26. 小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． （1）根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． （2）根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． （3）根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． （1）求点C的坐标及二次函数的解析式； （2）若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； （3）点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $