精品解析：黑龙江绥化市第七中学2025-2026学年高二第二学期期中数学试题

绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期期中考试卷 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 2. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 5. 在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（　　） A. 第8项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第10项 6. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 7. （2017.唐山市二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 所有项的系数和为0 B. 二项式系数最大的项为第3项和第4项 C. 所有项的二项式系数和为64 D. 常数项为 10. 若，则x的值为（ ） A. 8 B. 5 C. 12 D. 7 11. 若，，则（　　） A. B. C. D. 12. 在的展开式中（ ） A. 常数项为 B. 项的系数为 C. 系数最大项为第3项 D. 有理项共有5项 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知展开式的二项式系数之和为128，则展开式的第5项的系数是___________. 14. 现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是_____（用数字作答）． 15. 展开式中含项的系数为___________. 16. 为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_____种． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在二项的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式中二项式系数最大的项; （2）求展开式中各项的系数和. 18. 设，求下列各式的值． （1）求； （2）； （3）； 19. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. （1）选5名同学排成一排： （2）全体站成一排，甲、乙不在两端： （3）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； （4）全体站成一排，男生彼此不相邻； 20. 设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， （1）求取到的是次品的概率； （2）经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 21. 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少答对其中的4道题即可通过；若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期期中考试卷 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 2. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解. 【详解】由题意 事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件 由条件概率的定义： 故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，即可得到，，设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率． 【详解】解：设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则，， 设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，， 今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为： ． 故选：D 4. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 5. 在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（　　） A. 第8项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第10项 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的性质，分别与首末项等距离的两项的二项式系数相等，即可知与第3项二项式系数相同的项 【详解】由知：二项展开式共11项，第3项二项式系数为， ∴根据对称性，与第3项二项式系数相同的项系数为，即为第9项. 故选：C 6. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用条件概率计算公式，结合概率运算性质可得答案. 【详解】， ， 又，则， . 故选：B. 7. （2017.唐山市二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知P（A）=0.5，P（AB）=0.4，利用条件概率公式可求得P（B丨A）的值． 【详解】设第一个路口遇到红灯的事件为A，第二个路口遇到红灯的事件为B， 则P（A）=0.5，P（AB）=0.4， 则P（B丨A）==0.8， 故选C． 【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：D． 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 所有项的系数和为0 B. 二项式系数最大的项为第3项和第4项 C. 所有项的二项式系数和为64 D. 常数项为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法与二项式定理即可得解. 【详解】A：设，所有项的系数为， 所以，故A错误； B：所有项的二项式系数为，最大的为和， 对应的是第3项和第4项，故B正确； C：所有项的二项式系数之和为，所以C错误. D：二项式展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为，故D正确. 故选：BD. 10. 若，则x的值为（ ） A. 8 B. 5 C. 12 D. 7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】因为，所以或， 解得或， 因为，故或均符合题意. 故选：AC 11. 若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令、可得答案. 【详解】因为 所以令可得： 令可得 故选：AC 12. 在的展开式中（ ） A. 常数项为 B. 项的系数为 C. 系数最大项为第3项 D. 有理项共有5项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可. 【详解】的展开式的通项公式， 对于A：令，解得，可得， 即常数项为，故A错误； 对于B：令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，解得， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则， 所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知展开式的二项式系数之和为128，则展开式的第5项的系数是___________. 【答案】35 【解析】 【分析】由展开式的二项式系数之和为128，可求得n的值，继而求得展开式的第5项的系数. 【详解】由展开式的二项式系数之和为128， 可得 ， 故展开式的第5项的系数为 , 故答案为：35 14. 现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是_____（用数字作答）． 【答案】260 【解析】 【详解】试题分析：可分步研究涂色的种数，从A处开始，再涂B处，C处时进行分类，分A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项．解：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种，故填写260 考点：计数原理的应用 点评：本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜色，”根据情况对C处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证 15. 展开式中含项的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先写出的展开式通式，然后根据的次数选择对应的系数计算即可. 【详解】对于，其展开式的通式为， 则展开式中含项的系数为 故答案为：. 16. 为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_____种． 【答案】150 【解析】 【分析】采用分步计数原理，首先将5人分成三组，计算出分组的方法，然后将三组进行全排，即可得到答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组， 若分为1、1、3的三组，有＝10种分组方法； 若分为1、2、2的三组，＝15种分组方法；则有10+15＝25种分组方法； ②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有种情况， 则有25×6＝150种分派方法； 故答案为150． 【点睛】本题考查排列组合的运用，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在二项的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式中二项式系数最大的项; （2）求展开式中各项的系数和. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项； （2）在二项式的展开式中，令，可得各项系数和. 【小问1详解】 解：展开式的通项为，. 由已知: 、、，成等差数列， 即，所以. 二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，即 ； 【小问2详解】 )令，各项系数和为. 18. 设，求下列各式的值． （1）求； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 令，得． 【小问2详解】 令，得①， 所以． 【小问3详解】 令，得②． 由①②联立，得． 19. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. （1）选5名同学排成一排： （2）全体站成一排，甲、乙不在两端： （3）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； （4）全体站成一排，男生彼此不相邻； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】(1)直接用排列原理求解；(2)先特殊后一般即可求解；(3)利用捆绑法求解；(4)利用插空法求解. 【小问1详解】 无条件的排列问题,排法有种. 【小问2详解】 先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列， 所以有种. 【小问3详解】 相邻问题，利用捆绑法，共有种. 【小问4详解】 即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法， 所以共有种. 20. 设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， （1）求取到的是次品的概率； （2）经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 【答案】（1） （2）编号为2的工厂 【解析】 【小问1详解】 事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（）， 显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，， ，，． 由全概率公式得 ． 【小问2详解】 由贝叶斯公式得 ， ， ． 所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大． 21. 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少答对其中的4道题即可通过；若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 【答案】 【解析】 【分析】由条件根据条件概率的求法，并注意互斥事件概率计算公式的合理运用，求得他获得优秀成绩的概率． 【详解】解：设“他能答对其中的6道题”为事件，“他能答对其中的5道题”为事件，“他能答对其中的4道题”为事件， 设“他考试通过”为事件，“他考试获得优秀”为事件． 则由题意可得，，且、、两两互斥． 所以． 又，， ， 故他获得优秀成绩的概率为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $