6.5　数列求和（一）-2027年高考数学一轮复习讲义.

该高中数学讲义聚焦数列求和核心考点，围绕倒序相加法和裂项相消法，按“方法特征—结构分析—应用示例”逻辑展开，通过课标要求解读、规律方法提炼、真题模拟演练等环节，帮助学生构建求和方法体系，突破特殊数列求和难点。 资料采用分层教学策略，裂项相消法分无理型、分式型等角度精讲，倒序相加法结合函数性质引导发现规律，培养学生数学思维与模型观念。设置基础巩固、能力提升练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第5节　数列求和（一） 　　能够正确分析某些特殊数列求和符合倒序相加法或裂项相消法的结构特征，会利用倒序相加法，裂项相消法求数列的前n项和. 　　 倒序相加法求和 已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（　　） A.12 B.14 C.16 D.18 听课记录 　　如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 练1 设f（x）＝，则f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 裂项相消法求和 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和. 裂项求和常用的几种变形： ①＝－； ②＝（－）； ③＝（－）； ④＝－； ⑤＝（－）. 角度1　形如an＝ 若数列{an}满足an＝，则数列{an}前15项的和S15＝　　　　. 听课记录 　　形如an＝的无理型裂项求和，通常转化为无分母的两无理项的差的形式，在求和时达到相消的目的. 角度2　形如an＝ （2026·湖南衡阳模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且{Sn＋n2}也是等差数列. （1）求数列{an}的公差； （2）若a1＝－1，求数列{}的前n项和Tn. 裂项相消法求和的步骤 提醒　消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 练2 （1）数列{an}中，an＝，Sn＝4，则n＝（　　） A.51　　　B.40 C.41　　　D.50 （2）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1. ①求{an}的通项公式； ②设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 第5节　数列求和（一） （时间：40分钟，满分：45分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋n，则数列{}的前8项的和为（　　） A. B. C. D. 2.在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－，a3＝－，则＋＋＋＋＝（　　） A.－44 B.－ C. D.11 3.设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝　　　　. 4.（15分）（2026·河北秦皇岛模拟）已知各项都是正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－＝. （1）求{an}的通项公式； （2）若bn＝＋，求证：＋＋…＋＝3. 5.（15分）（2026·四川绵阳模拟）已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn. （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：－≤Tn＜－ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5节　数列求和（一） 课标要求 　　能够正确分析某些特殊数列求和符合倒序相加法或裂项相消法的结构特征，会利用倒序相加法，裂项相消法求数列的前n项和. 倒序相加法求和 已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（　　） A.12 B.14 C.16 D.18 解析：B　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加进而可得a1＋an＝30.又因为Sn＝＝＝210，所以n＝14，故选B. 规律方法 　　如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 练1 设f（x）＝，则f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 解析：B　由于f（x）＋f（1－x）＝＋＝1，故原式＝f（）＋f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＋f（）＝5. 裂项相消法求和 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和. 裂项求和常用的几种变形： ①＝－； ②＝（－）； ③＝（－）； ④＝－； ⑤＝（－）. 角度1　形如an＝ 若数列{an}满足an＝，则数列{an}前15项的和S15＝　3　. 解析：因为an＝＝－，所以S15＝a1＋a2＋…＋a15＝（－）＋（－）＋…＋（－）＝－1＝3. 规律方法 　　形如an＝的无理型裂项求和，通常转化为无分母的两无理项的差的形式，在求和时达到相消的目的. 角度2　形如an＝ （2026·湖南衡阳模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且{Sn＋n2}也是等差数列. （1）求数列{an}的公差； （2）若a1＝－1，求数列{}的前n项和Tn. 解：（1）设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d. 因为{Sn＋n2}是等差数列，所以Sn＋1＋（n＋1）2－Sn－n2为常数. 又Sn＋1＋（n＋1）2－Sn－n2＝an＋1＋2n＋1＝nd＋a1＋2n＋1＝（d＋2）n＋a1＋1， 所以d＋2＝0，解得d＝－2. 所以数列{an}的公差为－2. （2）因为a1＝－1，所以an＝－2n＋1.＝＝＝（－）， 故Tn＝（1－＋－＋…＋－）＝（1－）＝. 规律方法 裂项相消法求和的步骤 提醒　消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 练2 （1）数列{an}中，an＝，Sn＝4，则n＝（　　） A.51 B.40 C.41 D.50 解析：B　an＝＝（－），故Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝（－＋－＋…＋－）＝（－1），故（－1）＝4，解得n＝40. （2）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1. ①求{an}的通项公式； ②设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：①由an＋1＝2an－1，变形可得an＋1－1＝2（an－1）， 因为a1－1＝2－1＝1，所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列， 故an－1＝1×2n－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1. ②因为bn＝，由（1）知an＝2n－1＋1，an＋1＝2n＋1， 所以bn＝＝＝－， 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（－）＋（－）＋…＋（－）＝－. （时间：40分钟，满分：45分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋n，则数列{}的前8项的和为（　　） A.　　　　 B. C.　　　 　D. 解析：C　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，当n＝1时，a1＝2也符合上式，∴an＝2n（n∈N*），∴＝＝＝－，∴数列{}的前8项的和为（－）＋（－）＋…＋（－）＝. 2.在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－，a3＝－，则＋＋＋＋＝（　　） A.－44 B.－ C. D.11 解析：A　设T5＝＋＋＋＋，则2T5＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＝＋＋＋＋＝＝＝－88，所以T5＝－44.故选A. 3.设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝　44.5　. 解析：∵sin（90°－α）＝cos α，∴sin2α＋sin2（90°－α）＝sin2α＋cos2α＝1.∵S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式相加得2S89＝（sin21°＋sin289°）＋（sin22°＋sin288°）＋…＋（sin289°＋sin21°）＝1×89＝89，因此，S89＝＝44.5. 4.（15分）（2026·河北秦皇岛模拟）已知各项都是正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－＝. （1）求{an}的通项公式； （2）若bn＝＋，求证：＋＋…＋＝3. 解：（1）由题意得4Sn－4＝－1， 所以＝，又数列{an}是各项都是正数的数列，a1＝1， 所以2－1＝an，4Sn＝（an＋1）2， 当n≥2时，有4Sn－4Sn－1＝4an＝＋2an－－2an－1， 所以2（an＋an－1）＝－＝（an＋an－1）（an－an－1）， 所以an－an－1＝2，故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1. （2）证明：由（1）得bn＝＋， 所以＝＝（－）， 所以＋＋…＋＝＋＋…＋， 裂项得（－）＋（－）＋…＋（－）＝（－）＝3，证毕. 5.（15分）（2026·四川绵阳模拟）已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn. （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：－≤Tn＜－. 解：（1）由已知Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn得an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋3n－2， 即an＋1－an＝3n－2，则an－an－1＝3n－5，an－1－an－2＝3n－8，…，a2－a1＝1， 等式左右分别相加可得 an－a1＝（3n－5）＋（3n－8）＋…＋1＝＝， 则an＝＋a1＝. 所以数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋4. （2）证明：依题意得， bn＝＝＝＝（－）， 则Tn＝（－1－＋－＋－＋…＋－）＝（－1－）＝－－， 又n∈N*，所以∈（0，］，所以Tn＝－－∈［－，－）， 即－≤Tn＜－ 学科网（北京）股份有限公司 $