专题 数列的通项与求和 基础练习-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题 数列的通项与求和(1) 一、 单项选择题 1 已知数列{an}满足an＝，则{an}的前10项和S10为(　　) A. B. C. D. 2 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a20等于(　　) A. 30 B. 29 C. －30 D. －29 3 (2023温州中学月考)定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差. 设{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a5＝3，则数列的前24项和为(　　) A. B. 3 C. 3 D. 6 4 ＋＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 5 已知数列{an}满足a1＝2，－＝1(n∈N*)，记数列{an·an＋1}的前n项和为Sn，若Sn＜m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. [1，＋∞) B. C. [2，＋∞) D. 6 (2023成都七中模拟)已知f(x)＝x3－3x2，则f＋f＋…＋f的值为　(　　) A. －8 088 B. －8 090 C. －8 092 D. －8 094 二、 多项选择题 7 (2023淮安涟水一中月考)已知数列{an}满足a1＝－2，＝(n≥2，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则下列结论中正确的是(　　) A. a2＝－8 B. an＝－2n·n C. S3＝－34 D. Sn＝－n·2n+1 8 (2023莆田仙游一中期末)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称之为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则下列结论中正确的是(　　) A. an＋1－an＝n＋1 B. S6＝35 C. Sn＋1－Sn＝，n≥2 D. ＋＋＋…＋＝ 三、 填空题 9 已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn＝________． 10 已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·(n2－n)，n∈N*，前n项和为Sn，则S40＝________． 11 (2023扬州邵伯高级中学期末)把一个等腰直角三角形对折一次后再展开得到的图形如图，则图中等腰直角三角形(折痕所在线段也可作为三角形的边)有3个，分别为△ABC，△ABD，△ACD.若连续对折n次后再全部展开，得到的图形中等腰直角三角形(折痕所在线段也可作为三角形的边)的个数记为an，则a4＝________，数列{an}的前n项和为________． 四、 解答题 12 已知数列1，1＋，1＋＋，1＋＋＋，…，1＋＋＋…＋，…，求该数列的前n项和Sn. 13 (2023湘豫名校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，S5＝3a5－4.数列{bn}的前n项和为Tn，b1＝3，且Tn＋1＝3Tn＋2n＋3. (1) 求{an}的通项公式； (2) 设cn＝，求数列{cn}的前n项和Hn. 专题 数列的通项与求和(2) 一、 单项选择题 1 (2023安康高新中学月考)已知数列1，，，，3，，…，则是这个数列的(　　) A. 第21项 B. 第22项 C. 第23项 D. 第24项 2 (2023长春吉大附中期末)在数列{an}中，an>0，a1＝1，＝2n，则a113的值为(　　) A. 4 B. 15 C. D. 10 3 若数列{bn}满足b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1)bn＝2n，则数列{bn}的通项公式为(　　) A. bn＝2n－1 B. bn＝2n－1 C. bn＝ D. bn＝ 4 已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A. B. C. D. 5 (2023衡水二中期中)在数列{an}中，a1＝2，(an＋1)(an－1＋2)＝an－1＋1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为(　　) A. an＝－ B. an＝3n2－n C. an＝2n-1＋1 D. an＝ 6 (2023江苏期末)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝记bn＝a2n，则下列结论中正确的是(　　) A. b1＝5 B. b2＝9 C. bn＋1－bn＝2 D. bn＝4n－1 二、 多项选择题 7 (2023邵阳二中月考)对于数列{an}，若 a2＝2，a2n＋a2n＋2＝4n(n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　) A. a6＝6 B. 数列{an}是等差数列 C. 数列{a4n－2}是等差数列 D. a4n＝16n－2 8 已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论中正确的是(　　) A. 为等比数列 B. {an}的通项公式为an＝ C. {an}为递增数列 D. 的前n项和Tn＝3n－n 三、 填空题 9 已知数列{an}满足a1＋＋＋…＋＋＝n，则an＝________． 10 已知数列{an}满足a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是 an＝________． 11 若数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则第三项a3＝________，它的通项公式an＝________． 四、 解答题 12 已知在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，求数列{an}的通项公式． 13 (2023咸阳武功县普集高级中学月考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝. (1) 计算数列{an}的前4项； (2) 求证：数列是等差数列； (3) 求{an}的通项公式． 【答案解析】 专题 数列的通项与求和(1) 1. D　由题意，得an＝，所以S10＝×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝×(1＋－－)＝. 2. A　因为当n为奇数时，an＋an＋1＝－(3n－2)＋3(n＋1)－2＝3，所以a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＝3×10＝30. 3. D　由题意，得a－a＝2，即{a}是公差为2的等差数列，又a5＝3，所以a＝a＋2(n－5)＝2n－1，即an＝，则＝＝＝－，所以数列的前24项和为(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝7－1＝6. 4. B　设Sn＝＋＋＋…＋＝1×＋2×＋3×＋…＋n·，则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n·，两式相减，得Sn＝＋＋＋＋…＋－n·＝－n·＝1－－n·＝，所以Sn＝. 5. C　由a1＝2，－＝1(n∈N*)，得＝＋n－1＝n－，则an·an＋1＝·＝2，所以Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＜2．若Sn＜m恒成立，则m≥2，即实数m的取值范围是[2，＋∞). 6. D　f(1－x)＋f(1＋x)＝(1－x)3－3(1－x)2＋(1＋x)3－3(1＋x)2＝－4，即f(x)＋f(2－x)＝－4.设M＝f＋f＋…＋f＋f①，则M＝f＋f＋…＋f＋f②，①＋②得2M＝＋[f＋f]＋…＋＋[f＋f]＝－4×4 045，所以M＝－8 090，又f＝f(2)＝8－12＝－4，所以f＋f＋…＋f＝－8 090－4＝－8 094. 7. ABC　＝，则＝，＝，…，＝，累乘得＝×××…×＝n·2n-1，又a1＝－2，则an＝－2n·n，故B正确；a2＝－22×2＝－8，故A正确；Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝－(1×21＋2×22＋…＋n·2n)，则2Sn＝－(1×22＋2×23＋…＋n·2n+1)，有Sn－2Sn＝－(21＋22＋…＋2n－n·2n+1)＝－＋n·2n+1＝－2n+1＋2＋n·2n+1＝(n－1)·2n+1＋2，即Sn＝(1－n)·2n+1－2，故D错误；S3＝(1－3)·23+1－2＝－34，故C正确．故选ABC. 8. AD　由题意，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，累加可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n≥2，a1＝1时也满足上式，故an＝.对于A，an＋1－an＝－＝n＋1，故A正确；对于B，S6＝1＋3＋6＋10＋15＋21＝56，故B错误；对于C，Sn＋1－Sn＝an＋1＝，n≥2，故C错误；对于D，＝＝2，＋＋＋…＋＝2＝，故D正确．故选AD. 9. n2＋1－　利用分组求和可得Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)＝＋＝n2＋1－. 10. 800　由题意，当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＋an＋1＝(－1)n·(n2－n)＋(－1)n+1·[(n＋1)2－(n＋1)]＝－(n2－n)＋[(n＋1)2－(n＋1)]＝(n＋1)2－n2＋n－(n＋1)＝2n，故S40＝a1＋a2＋…＋a40＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a39＋a40)＝2×1＋2×3＋…＋2×39＝2×(1＋3＋…＋39)＝2×＝800. 11. 31　2n+2－n－4　连续对折n(n≥2，n∈N*)次后再全部展开，则在上一次折叠的基础上，每个等腰直角三角形变为2个等腰直角三角形，加上△ABC这个等腰直角三角形，共an个等腰直角三角形，所以an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝3，可得an＋1＝2(an－1＋1).又a1＋1＝4，所以数列{an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，因此an＋1＝4×2n-1＝2n+1，则an＝2n+1－1，故a4＝25－1＝31，数列{an}的前n项和为(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n+1－1)＝(22＋23＋24＋…＋2n+1)－n＝－n＝2n+2－n－4. 12. 因为 an＝1＋＋＋…＋＝＝2，所以an＝2－， 则原数列可以表示为2－1，2－，2－，2－，…，2－，…， 故前n项和Sn＝(2－1)＋＋(2－)＋…＋＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－2＝＋2n－2. 13. (1) 方法一：设等差数列{an}的公差为d， 因为S5＝3a5－4且a2＝4， 所以 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2(n∈N*). 方法二：设等差数列{an}的公差为d， 因为S5＝3a5－4且a2＝4， 由等差数列的性质可得S5＝5a3＝5(a2＋d)＝5(4＋d)，3a5－4＝3(a2＋3d)－4＝3(4＋3d)－4， 所以3(4＋3d)－4＝5(4＋d)，解得d＝3， 所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋3(n－2)＝3n－2(n∈N*). (2) 在数列{bn}中，Tn＋1＝3Tn＋2n＋3， 当n≥2时，Tn＝3Tn－1＋2n＋1. 两式相减，得Tn＋1－Tn＝3(Tn－Tn－1)＋2， 即bn＋1＝3bn＋2， 所以bn＋1＋1＝3(bn＋1). 当n＝1时，T2＝3T1＋5， 所以b1＋b2＝3b1＋5. 又b1＝3，所以b2＝11， 所以b2＋1＝3(b1＋1)， 故bn＋1＋1＝3(bn＋1)，n∈N*. 因为b1＝3，所以bn＋1≠0，从而＝3， 所以{bn＋1}是以b1＋1＝4为首项，3为公比的等比数列， 所以bn＋1＝4×3n-1，所以bn＝4×3n-1－1. 由(1)知，an＝3n－2， 所以cn＝＝4n×3n-1. 设dn＝n×3n-1，{dn}的前n项和为An， 则An＝1＋2×3＋3×32＋…＋n×3n-1，① 3An＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n-1＋n×3n，② ①－②，得－2An＝(1＋3＋32＋…＋3n-1)－n×3n＝－n×3n， 所以Hn＝4An＝－2×＝(2n－1)·3n＋1. 专题 数列的通项与求和(2) 1. B　由题意可得数列的通项公式为an＝，又＝，解得n＝22，所以是这个数列的第22项． 2. B　由＝2n，得a＋a＝2na－2na，即(2n－1)a＝(2n＋1)a，整理，得＝，所以数列是常数列，则＝＝1.又an>0，所以an＝，所以a113＝＝15. 3. D　由b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1)bn＝2n①，得当n>1时，b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n-1－1)bn－1＝2n－2②，由①－②，得(2n－1)bn＝2，所以bn＝；当n＝1时，b1＝2×1＝2也满足上式．综上，bn＝. 4. A　因为数列{an}满足a1＝，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，所以＝，＝，…，＝，所有的项相乘得＝，整理，得an＝. 5. A　由(an＋1)(an－1＋2)＝an－1＋1(n≥2)，得anan－1＋2an＋1＝0，即an(an－1＋2)＝－1，所以an－1＋2≠0，an≠0，所以an＋1＝(n≥2)，两边取倒数，得＝＋1，所以数列是首项为＝，公差为1的等差数列，所以＝n－＝，则an＋1＝，故an＝－1＝＝＝－. 6. D　对于A，由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝3，故A错误；对于B，由题意，得a3＝a2＋3＝6，b2＝a4＝a3＋1＝7，故B错误；对于C，由题意，得a2n＋1＝a2n＋3，a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋4，即bn＋1＝bn＋4，所以bn＋1－bn＝4，故C错误；对于D，因为b1＝3，bn＋1－bn＝4，所以{bn}是以3为首项，4为公差的等差数列，所以bn＝3＋4(n－1)＝4n－1，故D正确． 7. AC　由a2n＋a2n＋2＝4n(n∈N*)，a2＝2，得a4＝4－a2＝2，a6＝8－a4＝6，故A正确；又a2n＋a2n＋2＝4n，a2n＋2＋a2n＋4＝4(n＋1)，两式相减，得a2n＋4－a2n＝4，令n＝2n1－1，n1∈N*，可得a4n1＋2－a4n1－2＝4，所以{a4n－2}是等差数列，故C正确；通过a2＝2，a2n＋a2n＋2＝4n(n∈N*)只能得到偶数项的值，对于奇数项，无法确定，所以无法确定{an}是不是等差数列，故B错误；同理，令n＝2n1，n1∈N*，则a4n1＋4－a4n1＝4，所以{a4n}是以a4＝2为首项，4为公差的等差数列，所以a4n＝2＋(n－1)×4＝4n－2，故D错误．故选AC. 8. AB　因为an－3an＋1＝2an·an＋1，所以＋1＝3，又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，则＋1＝2×3n-1，即an＝，所以{an}为递减数列，的前n项和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n-1－1)＝2(30＋31＋…＋3n-1)－n＝2×－n＝3n－n－1.故选AB. 9. n　因为a1＋＋＋…＋＋＝n，当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝n－1，两式相减可得，＝n－(n－1)＝1，即an＝n. 当n＝1时，an＝n也成立．综上可知，an＝n. 10. n　由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，所以＝，所以数列是常数列，且＝＝1，所以an＝n. 11. 　　由an＋1＝，得＝＝＋2.又＝2，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以＝2＋(n－1)×2＝2n，所以an＝，所以 a3＝. 12. 在an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n+1，得＝×＋.① 令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋， 所以bn＋1－1＝(bn－1)， 所以数列{bn－1}是等比数列，首项为b1－1＝－1＝－，公比为， 所以bn－1＝×， 即bn＝1－×＝， 故an＝5n－3×2n-1. 13. (1) 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝， 则a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， 所以数列{an}的前4项为，，，. (2) 由(1)知，an≠0， 将an＋1＝的两边取倒数， 得＝1＋，即－＝1， 所以数列是以＝2为首项，1为公差的等差数列． (3) 由(2)知，＝2＋n－1＝n＋1， 即an＝， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$