课时分层检测(12)数学归纳法-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（十 …0基础达标练0 1.利用数学归纳法证明不等式1十十 3 1 2n-1 <n(n≥2，n∈N)的过程中，由n= k到n=k十1时，左边增加了 A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn十 y”能被x十y整除”的第二步是 ( A.假设n=2k十1时正确，再推n=2k十3 正确 B.假设n=2k一1时正确，再推n=2k+1 正确 C.假设n=k时正确，再推n=k十1正确 D.假设n≤k(k≥1)，再推n=k十2时正确 (以上k∈N*) 3.用数学归纳法证明12+22十…十(n一1)2十 m2+（m-1)2+…十22+12=n(2n2+1D时， 3 由n=k的假设到证明n=k十1时，等式左边 应添加的式子是 A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+2 C.(+1)2 D.3(k+1)[2(k+1)2+1] 4.（多选)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N), 若当n=1,2,…,1000时，p(k)成立，且当 n=1001时(k)也成立，则下列判断中正确 的是 9: 得分 数学归纳法 A.(k)对k=528成立 B.(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 5.用数学归纳法证明42m+1十3n+2能被13整 除，其中n∈N,则当n=k十1时式子应当 整理成 6.用数学归纳法证明1十2十22十…十2”一1= 2n-1(n∈N*)的过程如下： ①当n=1时，左边=20=1，右边=21一1= 1,等式成立 ②假设=k(k≥1，且k∈N")时，等式成立，即 1+2+22+…+2k-1=2k-1. 则当n=k十1时，1+2十22十…十2k-1十2 =1-2+1 =2+1-1, 1-2 所以当n=k十1时，等式也成立. 由①②知，对任意n∈N*,等式成立. 上述证明中的错误是 7.用数学归纳法证明(1-(1号)-)× ×1-)-n≥2m∈N). 班级 姓名 得分 8.已知函数f(x)=x一 昌2，设0<动 …0 能力提升练 an+1=f(an),n∈N*,证明：am<n 1 1.用数学归纳法证明(n十1)(n十2)·…·(n +n)=2m×1X3×…X(2n-1)(n∈N*), “从n=k到n=k十1”左端增乘的代数式为 2.数列{an}的前n项和为Sn,且满足am=Sn十 s, 2(n∈N*). (1)求S1,S2,S3,S4的值； (2)猜想数列{S}的通项公式，并用数学归 纳法证明你的结论。 96数列{an}的通项公式为an=1X3”-1 =3"-1,n∈N“, 又当=1时a1=言4十m=含十=1， :T,=a(付)”2+b对n∈N恒成立 好得m=一 a=- 1 6 a=3-1. 创新拓展练 法二当n=1时，a=S=2a2十m, 解(1)因为每一行的数成等差数列， 所以a12aaa11成等差数列， 当n=2时a=S,-S=(分a+m）(分a十m） 所以aH=2a-ae=子 a4=3a2 又每一列的数成等比数列，故a1=a21·9, 等地数列a的公比为q一鲁号=3，且a=1, 期可-=六又a,>0所以g>0,故g=合 a21 ∴an=1×3m-1=3m-1. (2)由已知，第四行的数成等差数列， 所以a=a,十m=十m=1, 53 且公差d=a18一a12=16 1 解得m=一 因为a为此行中第k个数，所以a=ag十（质一2）d=日十(k-2) an=3"1. (2)由(1)可知an=3”-1, ·-=12…m (3)因为第k列的数成等比数列，且a1为此列中第4个数，所以a: 则6，=(a,+1)(a+1十万 2刀一1 =ar=6(2）=.(2）h=1.2,m. (3”-1+1)(3”+1) 设S=an十a22十…十am 1 1 =z(3+3+1)” 则s=+2x(合)'+3x()广++m-0×()）+ 故Tn=b1十b十…十b ×(2）广0 =×(位 0+…+ 1 3-1+13"+1 合s=(合)'+2×（合）广+…+-1×(合)广+× 1 /11 3m-1 =×(23+)43+ 6.解(1)设该等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 根据题意可知6=a1十5d=11, 510a,+45d二10o.解得{，1 由①-@，整理得S=2-”十 {d=2, 所以an三a1十(n-1)d=2n-1, 课时分层检测（十二） 所以数列{an}的通项公式是an=2n-1. !基础达标练 1 1 1 1 (2)由(1)得an=2n-1,所以bn=(-1)”· am·am+1 1.D[增加项为：2十2十十2十2十…十2共2项] 1 ·2.B[因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n=2k一1正确，再推第(k十1)个正奇 所以T。=4 「 1-方++ 5 + 1 数即n=2k十1正确.] 9 十…十3B[根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， (+) 由于n=k时，左边=12十22十…十(k一1)2十k2十(k一1)2十…十29 (-1) +12, n=k十1时，左边=12十22十…十(k-1)2十2+(k十1)2十k2十(k 当m为寺数时，T,=子(1一)）： 1)2+…十22+12， 当n为偶教时，T,=（-1十2m) 比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k十1)2十k”,] 4.AD[由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2002成立，当k取其他值时 所以Tn= 1 !不能确定p(k)是否成立，故选AD.] 4 +(-1)”4(2n+1D 5.42+1·13十3·(425+1十30+2)[当n=k+1时，42+D+1+3+3 能力提升练 =426+1·42+3+2·3 1.解(1)证明设等差数列{an}的公差为d, =42k+1.13+3·(42+1+3+2).] 由a2-b=a3-b3,得a1十d-2b1=a1十2d-4b1,即d=2b1, :6.没有用归纳假设[由证明过程知，在证从=k到n=k十1时，直接 由a2一b2=b1一a1,得a1十d一2b1=8b1一(a1十3d),即a1=!用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错 5b1-2d, 误的.] 将d=2b1代入，得a1=5b1一2×2b1=b,即a1=b1. 格)由的0个4nD%2m1a67.证明（当=2时，左边=1-是右边-装子，片以左 b1·2-1, 边=右边，所以n=2时等式成立. 由bs=an十a1,得b1·2-1=(2m-1)a1十a1, (2)假设n=k(k≥2，k∈N“)时等式成立 由a1=6≠0，得21=2m, 由题知1m500,所以22m1000,所以k=2,3,4,…,10,共91 即()（日）(-)x…×(-)出 个教，即集合{k|bk=am十a1,1≤m≤500}={2,3,4，…，10}中元素！ 的个数为9. 哪么=+1时(-子)(-合)()×…×(1-是) 2.解(1)①当n=1时，由2S1=2a1=1-12得a1=0: ②当n≥2时，2a=2S,-2Sm-1=n-r2-[(n-1)-(n-1)2]=2-2,1 k十2 ·(k+1)2 2(k十1) 则a=1一n(n≥2)，显然当n=1时也适合上式，.a,=1-n(n∈N*). (十1)十1 1 1 2(k+1)1 即n=k十1时等式成立 T2n=(b1+bg十…+b2n-1)+(b十b1+…+b2n) 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N“等式恒成立， =(2+2++2)十[（分子）十（子吉）十…+（分8证明①当n=1时，0<a1<分，显然结论成立 因为当xe(0,分)时，0<fu)6 1 所以0<a=fa)≤< 172 故n=2时，原不等式也成立 y ②假设当n=k(k≥2，k∈N*)时， 8.3[由题意得k=im △-= 不等式0<a:<十成立 lim 2+△)2-4(z+A)十p-(2x=4z十D=4红-4=0，解得 因为f(x)=x一 2的对称轴为直线x=子 x=1,所以切点为(1,1)，所以2一4十p=1,所以p=3.] 9.解(1)初速度o=1im s(△1)-s(0) 所以当e(0号]时，f()为增函载 A △t =1im3△1-（△）2 △t =1im(3-)=3, 所以由0<a<≤3 △= △/-=0 即物体的初速度为3m/s. 得0<fa:)<f(市) (2)o=lim(2+△)x2) △t 3 1 于是，0a+1-fa,)<币·十n十中年 3(2十△)-(2+△1)2-(3×2-4) △ k十4 .1 2(k+1)'(k+2)k+2 =im二（△-心=im(一y-1)=一1，即比物体在1=2时的醉 △- △1 △→= 所以当n=十1时，原不等式也成立。 时速度为1m/s,方向与初速度方向相反 根据①@，知对任何n∈N,不等式a,<市成立， (30=2）0_6-40=1, 2-0 2 能力提升练 即1=0s到1=2s时的平均速度为1m/s 1.2(2k+1)[令f(n)=(n+1)(n+2)·…·(n+n), 能力提升练 则f(k)=(k十1)·(k十2)···(k十k), f(k十1)=(k十2)(k十3)·…·(k十k)(2k+1)(2k+2). :f6+_(2k+1)2+2=2(2k+1.] .12[由题暗程叶63： lim ,a1+△P+b（a+b=2a=2, △ △x f(k) k十1 2.解1)当m=1时，a=S=S十5-2S=2, 得名 又a=5S=s十5-2=号 2. [因为VR,所以奶 3 同理S=子5，=子 所以m十m1点-0，解得m=三（负值含去）.] 4 (2)猜想S,=n∈N)。 3.CA-imjim (+A立=m 3x(△x)2十3x2△x+(△x)3 △x 下面用数学归纳法证明这个结论 =3x2,因为点P(1,1)为曲线y=3上一点，所以曲线y=x3在点P(1, ①当n=1时，结论成立. ②假设n=k(k∈N“,k≥I)时结论成立， 1)处的切线斜率=3.由条件知分-3.] 即S一十1' 14.解(1)物体在t∈[3,5]上的时间变化量为△1=5-3=2， 物体在t∈[3,5]上的位移变化量为 则当n=k十1时， △s=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, a4+1=S+1-S=S+1+S --2, 物体在1∈[3,5]上的平均速度为会=48=24， △2 】=2-5 .物体在t∈[3,5]上的平均速度为24m/s. (2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度， 5+1一2-52k中1 :A=f0+△)-f0) △ 29+3[(0+△1)-3]2-29-3(0-3)2 k+1 k十1 k十2(k+1)+1 △M =3△-18， 即当n=k十1时结论成立， △s 由①@知S,=对任意的正整教n都成立. 六物体的初速度=mm(3△1-18)=一18(m/s. 课时分层检测（十三） (3)f2+△)-f22 △t 基础达标练 29+3[(2+△t)-3]2-29-3(2-3)2 1.B[△=(2+）-2+10= ÷ △ =3△-6， 2.c[4=(3x3+1)-8×2+1)=15岁-52=15.] 物体在=2时的瞬时速度为 3.C[△s=s(1.2+△1)-s(1.2) im(3△-6)= -6(m/s). =2[1-(1.2+△1)2]-2(1-1.2) 课时分层检测（十四） =-2(△t)2-4.8△1， :基础达标练 %体在1.2s附近的手均建度-合=一20一48 1.D ['y'=lim (x十△x)2-x2 =1im(2.x十△.x)=2x, △1-0 △x △=D 六m-4.8.故选C.] 令2红=m=1得x= 4.Ak1=f2)二f①=4-1=3，k4=3)2=9-4=5,k3= 2-1 3-2 v-(）子所未点的标为（宁宁）门 f④)f3)=16-9=1,k1<k2<k,故选A.] 2.C[因为过点A(3,a)的切线与2x十y十1=0平行，所以过A点的 1一 切线斜率f'(3)=-2. 5.BD[设产量与时间的函数关系为y=f(x),由题图可知f(3)一：3.D[不妨设A固定，B从A点出发绕图周旋转一周，刚开始时x很 f(2)<f(2)一f(1),则前三年该产品产量增长速度想来越慢，故！ 小，即孤AB长度很小，这时给x一个改变量△x,那么弦AB与孤 A错误，B正确：由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且： AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢： f(4)≠0，故C错误，D正确，故选B、D.1 当弦AB接近于圈的直径时，同样给x一个改变量△x,那么孤AB 6.乙[乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，： 与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化 即甲的平均速度比乙的平均速度小，] 较快： 7.4.2 [Af=f(rn)-f(A) 从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变 △x XBTA 化较快变为越来越慢. -1.58-（-22=4.2.] 由上可知函数y=f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后 1.1-1 变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确.] 173