7.2.2　复数的乘、除运算课件-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的乘除运算，涵盖乘法法则及运算律、除法分母实数化、i幂值周期性及复数解方程。通过复习多项式乘法过渡，结合i²=-1特殊性构建知识支架，形成从基础到应用的连贯学习脉络。 其亮点在于“基础落实”配“过关自诊”即时检测，夯实运算基础培养数学思维，“重难探究”通过例3周期性运算等例题变式，发展数学眼光中的抽象与创新意识。小结归纳知识清单与方法，助力学生用数学语言表达规律，提升学生解题能力，为教师提供清晰教学流程与丰富例题资源。

第七章　复数 7.2.2　复数的乘、除运算 【课标要求】 1.掌握复数乘、除运算的法则,理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算. 3.能在复数范围内解有关方程问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点一　复数的乘法及其运算律 1.复数乘法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=　　　　　　　　.  2.复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=　　　  结合律 (z1z2)z3=　　　  乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=　　　  (ac-bd)+(ad+bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3 名师点睛 1.复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并. 2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数. 3.重要性质:z=a2+b2=|z|2. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若z1,z2互为共轭复数,则z1z2为实数.(　　) (2)若i为虚数单位,n为正整数,则i4n+3=i.(　　) (3)若复数z的共轭复数为,则z=|z|2.(　　) √ √ × 2.in(n∈N*)有什么规律? 提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),即in(n∈N*)是以4为周期的. 知识点二　复数的除法 在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数　　　　　,化简可得(a+bi)÷(c+di)=_______　　　　　+　　　　　(a,b,c,d∈R,且c+di≠0). c-di i 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先算乘、除,后算加、减.(　　) (2)在进行两个复数除法运算时通常先要写成分式形式.(　　) (3)复数=z1.(　　) √ √　 × 2.两个复数在进行除法运算时需要注意哪些方面? 提示 (1)两个复数进行除法运算时通常先要写成分式形式;(2)最终结果要化成a+bi的形式. 知识点三　复数范围内一元二次方程的解法 1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,其求根公式为____________.  2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解. x= 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)方程x2=1的解是x=i.(　　) (2)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=-1.(　　) × √ 2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0),如何求它的实根? 提示 ①求出判别式Δ=b2-4ac的值,判断根的情况,若Δ>0,方程有两个不相等的实根; 若Δ=0,方程有两个相等的实根;若Δ<0,方程无实根. ②当Δ=b2-4ac≥0时,方程的两根为x=. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　复数的乘法与除法运算 角度1.复数的乘法运算 【例1】 计算下列各题: (1)(1-2i)(3+6i); (2)(5-2i)2; (3)(1+i)(1-i)+(-1+i). 解 (1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15. (2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i. (3)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i. 规律方法　复数乘法运算的步骤 按照多项式的乘法法则展开 → 将i2换成-1 合并实部和虚部,化为a+bi的形式 → 变式训练1若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) B 解析 (1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=(a+1)+(1-a)i,由题意知解得a<-1.故选B. 角度2.复数的除法运算 【例2】 计算:=　　　　　. -2+i 解析 原式==-2+i. 规律方法　复数除法运算的技巧 (1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. (2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式. 变式训练2(1)已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·=　　　　.  (2)计算:+(2+i)(1-i). 1 解析 依题意,得z==i,则=-i,所以z·=i·(-i)=1. 解 +(2+i)(1-i)=+3-i=2-i+3-i=5-2i 探究点二　i幂值的周期性及其应用 【例3】 计算下列各式的值: (1)i2 024; (2)(1+i)12+(1-i)12; (3)1+i+i2+…+i2 024. 解 (1)i2 024=i4×506=i4=1. (2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6=(2i)6+(-2i)6=[(2i)2]3+[(-2i)2]3=(-4)3+(-4)3=-128. (3)1+i+i2+…+i2 024 =(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…+(i2 020+i2 021+i2 022+i2 023)+i2 024=0×506+i2 024=1. 规律方法　利用i幂值的周期性解题的技巧 (1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i. (2)对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0. 变式训练3(1)已知f(n)=(n∈N*),则集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 (1)∵f(n)==i2n+(-i)2n=(i2)n+[(-i)2]n=(-1)n+(-1)n=2×(-1)n,∴{x|x=f(n),n∈N*}={2,-2}, ∴集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为2.故选B. (2)计算()2 025+()2 025=(　　) A.-2i B.0 C.2i D.2 B 解析 (2)因为=i,=-i, 所以()2 025+()2 025=i2 025+(-i)2 025=(i4)506·i+[(-i)4]506·(-i)=i-i=0.故选B. 探究点三　与复数有关的方程问题 【例4】 在复数集C内解下列方程: (1)3z2+9=0; (2)z2-4z+8=0; (3)2z2+3z+5=0. 解 (1)由题意得z2+3=0, 设z=x+yi(x,y∈R),则(x+yi)2+3=0,即(x2-y2+3)+2xyi=0,所以解得所以z=i或z=-i. (2)配方,得(z-2)2=-4, 则z-2=2i或z-2=-2i,所以z=2+2i或z=2-2i. (3)由题意得(z+)2=-, 解得z+i或z+=-i, 所以z=-i或z=-i. 规律方法　与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,一元二次方程一类问题中,根与系数的关系仍适用. 变式训练4(1)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b,求实数a,b的值. 解 (1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0, 故解得a=b=3. (2)已知复数z满足z(1+i)=2i. ①求; ②若z是方程x2+ax+b=0(a∈R,b∈R)的一个根,求a+b的值. 解 (2)①z(1+i)=2i,则z==1+i,则=1-i. ②z是方程x2+ax+b=0(a∈R,b∈R)的一个根,则=1-i也是方程x2+ax+b=0(a∈R,b∈R)的一个根, 故 解得a=-2,b=2,故a+b=0. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复数的乘法及运算律. (2)复数的除法运算. (3)在复数范围内解方程. (4)i的运算性质. 2.方法归纳:分母实数化、配方法、求根公式法. 3.常见误区:分母实数化时忽视i2=-1造成运算错误. $