7.2.2 复数的乘除运算-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第七章复数 7.2.2复数的乘除运算 一素养目标 1.熟练掌握复数的乘法和除法运算； 2.掌握并熟练应用复数四则运算的运算律及运算技巧； 3.培养学生数学运算的核心素养. 核心素养达标夯实基础 一、选择题 D.在复平面内与之对应的点在第二象限 1.若a,b∈R,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i, 6.（多选)对任意1,2，z∈C,下列结论成立的 则() 是() A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 A.当m,n∈N*时，有z"zn=之m+n C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 B.当之1,2∈C时，若好+号=0，则1=0且 2.已知复数之= ,则复数之的虚 之2=0 |1+√3il-2 C.互为共轭复数的两个复数的模相等，且 部是() |2=|之|2=之·之 A B.C. D.- D.之1=2的充要条件是|1|=|x2 7.在复数范围内，之1,2是方程3十z2十之十 3设=年十i,则k=( 1=0的两个不同的复数根，则|之1一2|的值 为() A.√2 c号 D.10 2 A.1 4.已知a,b为实数，复数=a十2i,若+b B.√2 C.2 2ai,则|a-b=( D.√2或2 A.-2 B.-1 二、填空题 C.1 D.2 8.若复数之=1十2i,其中i是虚数单位，则（之+ 5.(多选)已知复数之=1一，则以下说法正确 2》 的是( 9.若复数之满足方程x2一4x十5=0，且之在复 A复数：的虚部为 平面内对应的点位于第一象限，则之= R=号 10.若P028 5 a+i=-1-2（a,b∈R),则logsa+ Cx的共轭复数-方-司 1og5(2b)= 38 ·数学· 课时夯基过关练了 三、解答题 12.已知i是虚数单位，设复数=1十i,2=m一 11.计算下列各式： 2i(m∈R). 49±+-802D。 (1)若2为纯虚数，求m的值； 1+i 4+3i 2)++(+(” (2)若在复平面上对应的点位于第三象 1 限，求m的取值范围. 核心素养培优拓展提升 1.设f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R).已知关 4.已知x2一2x+m=0(m∈R)的两共轭虚根 于x的方程f(x)=0有纯虚数根，则关于x 为x1,x2,且|x1|+|x2|=2√3，则m= 的方程f(f(x))=0( ) A.只有纯虚数根 5.设之1是虚数，=1十1是实数，且一1≤ B.只有实数根 之1 C.有两个实数根，两个纯虚数根 22≤1. D.既没有实数根，也没有纯虚数根 (1)求|之11的值以及之1的实部的取值范围； 2.（多选)设非零复数之1,2所对应的向量分别 (2老w十求证如为纯膨数 为OZ,OZ,则能用1，x2的形式推出 （3)求2一w2的最小值. OZ⊥OZ的有() A.z1=iz2 B.1=22 C.1=-iz2 D.|1十z2|=|z1一2 3.已知复数之满足之·之十4i泛=5十ai,则实数 a的取值范围为() A.[-4,4] B.[-6,6] C.[-8,8] D.[-12,12] 数学·392ǎ+b=3+2i 此时=21，由韦达定理得 (2)由(1)可得AB1=√2，|BC1=√10， 0b=6i |AC=2√2，.AB12+1AC12=|BC2, b=3. △ABC为直角三角形. (2)复数之满足1≤|z≤|a+bi,即1≤ (3)由(2)可知，三角形ABC为直角三 |z≤3√2， 角形，∠A为直角， 不等式之≥1的解集是圆|之=1的外 部（包括边界）所有点组成的集合， ∴S=号A恋AC=2×w2×2=2 不等式之≤3√2的解集是圆|之=3√2 核心素养培优·拓展提升 的内部（包括边界）所有点组成的集合， 1.CD2.B3.44.2√2 所以所求，点Z的集合是以原，点为圆心， 5.解：1=cosa+isin a,z2=cosB-isin, 以1和3√2为半径的两个圆所夹的圆 .z1-z2=(cos a-cos B)+i(sin a+ 环，包括边界」 simm=高+导， S围环=x[(3√2)2-12]=17元. cos a-cos -13 5 7.2复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及 sin a+sin 其几何意义 两式平方相加得2-2cos(a十B)=1, 核心素养达标·夯实基础 i.cos( 1.C 2.A 3.A 4.C 5.ACD 6.ABC 7.A8.}+79.号+3i10.1,3] 6据：号+ 11.解：之=之1-2=(3x十y)+（y-4x)i 》+( [(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+ 设1，之2，之1十22对应的向量分别为 y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+ Oi,o谚，0心，因为1Oi1=1Oi1=1O心1=1， 3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i, A,B,C三点均在以原点为圆心，1为 (5x-3y=13, ,z=13-2i,. 半径的圆上，如图所示，由平行四边形法 x+4y=-2, 则和余弦定理易得 解得2， y=-1, cos∠A0C=1Oi2+10C2Ad 210AOC .%1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, 急=(-1×4-2×2)-(5×2-3×1)i= 2, 一8-7i. 复数的加减法，相当于多项式加减 争 总 结 法中的合并同类项，即实部与实部 律 相加减，虚部与虚部相加减。 12.解：(1)AB对应的复数为(2+i)-1= 故∠AOC=60°，.□OACB为菱形，且 1+i. △BOC,△COA都是等边三角形，即 BC对应的复数为(-1+2i)-(2+i)= ∠AOB=120°. -3+i. 又O心与x轴正半轴的夹角为60°，故点A AC对应的复数为(-1+2i)-1=-2+2i. 在x轴上，即A(1,0),而xB=1O1· 167 c0s120°=- 2y%=Oi·sin120°-3， (m-2<0, 2 2 所以 m+2∠0， 解得-2<m<2. 点B的坐标为(-是，），点A与点 m的取值范围为（一2,2）. B位置互换后，A(-,受)，B1,0. 核心素养培优·拓展提升 1=1, 1.D2.ACD3.D4.3 =+ 21 5.(1)解：设之1=a十bi,(a,b∈R,且b≠0)， 2=1, 则2=十1=(a+bi)十，1 --+ 1 aTbi=(a+ a-bi bi(abi)(a-bi) 3. =(a+)+g=(a+。4F)+ 7.2.2 复数的乘除运算 b 核心素养达标·夯实基础 (ba+6)i. 1.C2.B3.C4.A5.BD6.AC b 因为是实数，所以6一a十=0，即 7.D8.69.2-i10.21og52-2 1.解：原或=[1+)·+[1 。）… i)2].1--8(3-4)(1+i)2(1+D 因为b≠0，所以a2十b2=1,即1|=1， 1+i (3-4i)i 且2=2a, (2i)3·i+(-2i)3·(-i) 由-1<<1，得-12a<1,解得-2≤ 8·2i,(1+D=8+8-16-16i=-16i (2》原式=42+}+=16i-i i 即的实那的取位范国为[一之] i=14i (2)证明：.a2+b=1, 规 题中既有加、减、乘、除、乘方运算，又有括 =1-x=1-a-6i=1-a2-6-2bi 总 号，同实数的运算顺序一样，先算括号内 w=1+名=i+a+6i=(1+a)2+B 结 的，再算乘方、乘、除，最后算加、减。 bi a+1 12.解：(1)由复数1=1+i,之2=m 2i(m∈R), 因为-2<a≤分b≠0，所以w1 1 1一21 则之12=(1十i)(m一2i)=m+2十 为纯虚数， (m一2)i,由之2为纯虚数， (3)解：2-w2=(a十a千)+(6- m-2≠0所以m=一2. [m+2=0 所以 a年ei-(-a7 (2)丝=m-2i=（m-2)(1-D 21 1+i (1+i)(1-i) =2a+(b-b)i+ (a+1)2 m-2-(m+2)i 2 =2a+,1-a2 (a+1)2=2a+1-a a+1 由兰在复平面上对应的，点位于第三象限 =2a(a+1)+(1-a)_2a2+a+1 21 a+1 a+1 168 =1+2a2 'a+1 =1+2(a+1)2-4a-2 a+1 =1+2(a+1)2-4(a+1)+2 a+1 =1+2(a+1)-4+2 +1 -2a+D+a子-3a+1e[合2]， 当2a+1）=g子1时，即a=0时，-云 取最小值1. 7.3*复数的三角表示 1.D2.B3.D4.A5.BD 6.ABC解析：因为e=cosx+isinπ= 一1，故er十1=0，故A正确.er=cosx十 isin x,e-is cos(-x)isin(-z)= cosx-isin,所以e+eiz=2cosx, er-ei证=2 isin x,故C正确，D错误.而 (侵+)=（吾+}- (e3i)2o22=e74d=cos674π+isin674π= 1.故B正确，故选ABC. 7.号(cos暂+in）解折：-1十 1 =-(合别 =2(cos+isin） 8.cos60°+isin60° 日-解析： 号+9i=cos60+isin60, 3(cos 120-isin 300)-(cos 60+ 之 isin60)÷3(cos120°+isin120) =专cs(60-1200+5m(60-1209] =号[c0s(-60)+isin(-60] 66 9.b-ai