第八章　立体几何初步 习题课　简单几何体的表面积与体积问题-课件 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

这是一份高中数学同步教学课件，聚焦立体几何初步中简单几何体的表面积与体积问题。包含课标要求、三个重难探究点（多面体、旋转体、几何体与球的切接问题）及变式训练，还有知识清单、方法归纳和常见误区总结，为学生提供系统学习支架。 资料特色突出，注重数学核心素养培养。通过正方体与正四面体表面积比、圆锥侧面展开最短距离等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，用逻辑推理和运算思维解决问题，以符号表达和模型构建提升数学语言能力。变式训练和方法归纳帮助高一学生适应抽象思维，掌握公式应用，也为教师教学提供清晰思路与实践案例。

第八章　立体几何初步 习题课　简单几何体的表面积与体积问题 【课标要求】 1.会求多面体的侧面积、表面积和体积. 2.会求旋转体的侧面积、表面积和体积. 3.掌握空间几何体表面积与体积的常见求法. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　多面体的表面积与体积 【例1】 若正方体的八个顶点中,有四个恰好为正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为(　　) A. B. C. D. B 解析 设正方体的棱长为a,此时正四面体的棱长为a, 则正方体的表面积为6a2, 正四面体的表面积为4××(a)2sin =2a2, 两者之比为. 变式训练1如图,两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液, AB=6,A1B1=2,图①中液面高度恰好为棱台高度的一半,图②中液面高度为棱台高度的,若图①和图②中溶液体积分别为V1,V2,则=(　　) A. B. C.1 D. ① ② D 解析 设四棱台的高度为h,在题图①中,中间液面四边形的边长为4,在题图②中,中间液面四边形的边长为5, 则V1=(36+16+)·,V2=(4+25+)·, 所以. 探究点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 【例2】 如图,圆锥的母线长为2,点M为母线AB的中点,从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达B点,这条绳子的长度最短值为,则此圆锥的表面积为(　　) 　　　　　　　 　　　　　　 A.π B. C.D.2π B 解析 将圆锥侧面沿母线AB剪开,其侧面展开图为扇形,如图, 从点M处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到B点,最短距离即为线段BM长,则有BM=, 而M是线段AB'的中点,又母线长为2, 于是得AM2+AB2=5=BM2,即∠BAB'=, 设圆锥底面圆半径为r,从而有2πr=2·,解得r=, 所以圆锥的表面积为S=πr2+πr·AB=. 变式训练2如图,在圆锥PO中,用一个平行于底面的平面去截圆锥PO,可得一个圆锥PO1和一个圆台O1O,若圆锥PO1的体积是圆锥PO体积的,则圆锥PO1与圆台O1O的侧面积的比值为　　　　.  解析 设圆锥PO1,PO的底面圆半径分别为r,R,它们的母线长分别为l,L. 因为,所以.从而, 即R=2r,L=2l.所以. 探究点三　几何体与球的切、接问题 【例3】 已知三棱锥P-ABC,其中PA⊥平面ABC, ∠BAC=120°,PA=AB=AC=2,则该三棱锥外接球的表面积为(　　) A.12π B.16π C.20π D.24π C 解析 如图,根据题意设底面△ABC的外心为点G,点O为球心,所以OG⊥平面ABC,又因为PA⊥平面ABC,所以OG∥PA.设点D是PA的中点, 因为OP=OA,所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC,AG⊂平面ABC, 所以AG⊥PA,所以OD∥AG,因此四边形ODAG是平行四边形,故OG=AD=PA=1. 在△ABC中,由余弦定理得, BC===2. 由正弦定理,得2AG=⇒AG=2,所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5⇒S=4πR2=20π.故选C. 变式训练3已知圆锥的顶点为P,母线长为4,底面半径为2,求圆锥的内切球体积. 解 如图,由已知条件得圆锥的高PO=AO=2,PA=l=4,   设内切球半径为CO=CD=R,球心C在PO上, 则△POA∽△PDC,所以, 则有,解得R=4-2, 所以圆锥的内切球体积为V=πR3=π(4-2)3=. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)多面体的侧面积、表面积和体积公式. (2)旋转体的侧面积、表面积和体积公式. (3)空间几何体表面积与体积的常见求法. 2.方法归纳: 公式法、等体积法、补体法、分割法. 3.常见误区: (1)记错台体的体积公式. (2)求组合体的表面积、体积的问题,要弄清它的组成部分. $