期末提分练案 简单几何体的表面积与体积问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以公式应用为基础，通过三级分层训练构建从单一几何体到组合体的表面积与体积求解体系，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础练|6题（如圆台体积、球表面积比）|公式直接应用、比例转化|单一几何体公式推导与基础计算| |B级提升练|4题（如正四棱柱与棱锥组合、球外接三棱柱）|组合体分解、空间几何量关系构建|从单一到组合体，渗透方程思想与最值求解| |C级创新练|1题（正方体内两外切球）|截面转化法、空间距离关系分析|复杂几何体空间想象与几何直观应用|

专题　简单几何体的表面积与体积问题 A级 必备知识基础练 1.已知一个圆台的上底面半径为2,下底面的半径为5,其侧面积为35π,则该圆台的体积为(　　) A.208π B.156π C.104π D.52π 2.若两个球表面积的比为1∶4,则体积的比为(　　) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.不确定 3.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.圆柱的表面积与球的表面积之比为(　　) (第3题图) A. B. C. D. 4.如图为扇形ABC,圆心角A=90°,D为半径AB的中点,CB,CD把扇形分成三部分,这三部分绕AC旋转一周,所得三部分旋转体的体积V1,V2,V3之比是(　　) (第4题图) A.1∶2∶2 B.1∶2∶3 C.1∶3∶3 D.1∶3∶4 5.如图,圆锥SO的底面圆半径OA=1,侧面展开图扇形SAB的面积为3π,则此圆锥的体积为　　　　.  (第5题图) 6.如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成,已知半球的直径是6 cm,圆柱筒长2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米? (2)要在100个这样的“浮球”表面涂一层胶质,如果每平方厘米需要涂胶20克,那么共需涂胶约多少克? B级 关键能力提升练 7.如图是明清时期的一个金属印章摆件的示意图,除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等,且正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则该几何体的体积是(　　) A.32 B. C. D.64 8.(多选题)已知圆锥的底面半径为1,高为,S为顶点,A,B为底面圆周上两个动点,则(　　) A.圆锥的体积为 B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C.圆锥截面SAB的面积的最大值为 D.从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3 9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点均在同一个半径为1的球面上,则正三棱柱ABC-A1B1C1侧面积的最大值为　　　　.  10.某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的体积是　　　 .  C级学科素养创新练 11.如图,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切,求两球半径之和. 参考答案 1.D　设圆台上下底面的半径分别为r',r,母线为l,由题意可得S侧=π(r'+r)l=35π⇒l=5,则圆台的高为h==4,所以圆台的体积为V=πh(r2+rr'+r'2)=52π.故选D. 2.C　设两球的半径分别为r1,r2, ∵表面积之比,∴, ∴体积之比.故选C. 3.C　设球半径为r,则圆柱底面半径为r,高为2r,所以圆柱的表面积S1与球的表面积S2之比为. 4.D　不妨设扇形ABC的半径为2,则V1=π×12×2=,V2=π×22×2-π×12×2=2π,V3=×23-π×22×2=, 故V1∶V2∶V3=∶2π∶=1∶3∶4.故选D. 5.　设圆锥的母线长为l,则圆锥的侧面积S=×2π×1×l=3π,所以l=3,所以圆锥的高SO==2,故圆锥的体积V=×π×12×2. 6.解(1)∵该半球的直径d=6 cm, ∴“浮球”的圆柱筒直径也是6 cm,半径R=3 cm, ∴两个半球的体积之和为V球=πR3=π×27=36π(cm3), 又V圆柱=πR2h=π×9×2=18π(cm3), ∴该“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3). (2)上、下两个半球的表面积S球表=4πR2=4π×9=36π(cm2),“浮球”的圆柱筒侧面积为S圆柱侧=2πRh=2π×3×2=12π(cm2), ∴1个“浮球”的表面积为36π+12π=48π(cm2), ∴100个“浮球”的表面积的和为100×48π=4 800π(cm2), ∵每平方厘米需要涂胶20克, ∴共需要胶的质量为20×4 800π=96 000π(克). 7.C　因为正四棱锥的底面边长为4,所以底面的对角线长为4,设正四棱柱和正四棱锥的高为h,因为正四棱锥的侧棱长为2,所以h2+(2)2=,解得h=2, 故该几何体的体积为4×4×2+×4×4×2=.故选C. 8.AC　因为圆锥的底面半径r=1,高h=,所以体积V=πr2h=π×12×,故A选项正确;设圆锥的母线为l,则l==2,设圆锥的侧面展开图的圆心角为θ,由弧长公式得lθ=2πr,即2θ=2π,解得θ=π,故B选项错误;当圆锥截面SAB为轴截面时,其面积最大,此时面积为·2r·h=×2×,故C选项正确;由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,所以从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为4,故D选项错误.故选AC. 9.3　设正三棱柱底面边长为a,高为h,底面外接圆的半径为r,则2r=,故r=,所以=1,即=1-, 又三棱柱的侧面积S=3ah,所以S2=9a2h2=27h2=(-h4+4h2)=-(h2-2)2+27≤27,当且仅当h=时,等号成立,则三棱柱的侧面积S=3ah最大值为3. 10.　球心到截面圆所在的平面的距离d==2,设截面圆的半径为r,球的半径为R,则2πr=4π,解得r=2,所以R==4,所以该球的体积为πR3=. 11.解作正方体的对角面,得如图所示的截面图,其中AB,CD为正方体的棱,AD,BC为正方体的面对角线,AC为体对角线, 球心O1和O2在AC上,过O1,O2分别作AD,BC的垂线交于E,F两点. 设小球半径为r,大球半径为R,则由题意知AB=1, ∴AC=,得AO1=r,CO2=R,∴r+R+(r+R)=, ∴R+r=,即两球半径之和为. 5 学科网（北京）股份有限公司 $