第八章　立体几何初步 习题课　直线与平面垂直-课件-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体几何初步中直线与平面垂直的核心内容，涵盖定义、判定与性质定理，线面角及距离求法。通过课标要求导入，结合圆直径线面垂直证明、折叠问题等例题与变式训练，衔接立体几何基础，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点是以探究点分层设计，采用“例题解析-变式训练”模式，培养数学思维（如线面角计算中的逻辑推理）与数学眼光（如性质定理应用中的空间观念）。要点归纳梳理知识清单与方法，助力学生结构化认知，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

第八章　立体几何初步 习题课　直线与平面垂直 【课标要求】 1.理解直线与平面垂直的定义、判定定理. 2.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明. 3.能运用判定定理、性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　直线与平面垂直的判定 【例1】 如图,AB为☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,点M为圆周上任意一点,AN⊥PM,点N为垂足. (1)求证:AN⊥平面PBM; (2)若AQ⊥PB,垂足为点Q,求证:NQ⊥PB. 证明 (1)∵AB为☉O的直径, ∴AM⊥BM,又PA⊥平面ABM,BM⊂平面ABM, ∴PA⊥BM. 又PA∩AM=A,PA⊂平面PAM,AM⊂平面PAM, ∴BM⊥平面PAM. ∵AN⊂平面PAM,∴BM⊥AN. 又AN⊥PM,且BM∩PM=M,BM,PM⊂平面PBM, ∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM,PB⊂平面PBM, ∴AN⊥PB. 又AQ⊥PB,AN∩AQ=A,AN⊂平面ANQ,AQ⊂平面ANQ,∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ,∴NQ⊥PB. 变式训练1如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点,E,F分别为PC,PD的中点,将△PCD沿CD折起得到四棱锥 P-ABCD,如图②.在图②中,求证:EF⊥PA. ① ② 解 如图,在△PDC中,E,F分别为PC,PD的中点, ∴EF∥CD,在平面图形中连接CD, 因为AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点, 所以四边形ABCD为正方形, 所以在四棱锥P-ABCD中,CD⊥PD,CD⊥AD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD, ∴CD⊥平面PAD, ∴EF⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD, ∴EF⊥PA. 探究点二　直线与平面所成的角 【例2】 如图,在直四棱柱ABCD-QMNP中,底面ABCD为平行四边形,PB⊥AC. (1)证明:PA=PC; (2)若PD=1,∠DAB=60°,当PA与平面PBC所成角的正弦值最大时,求四棱锥P-ABCD的体积. 证明 (1)如图,连接BD,设AC∩BD=O,连接PO. 因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC, 因为PB⊥AC,PB∩PD=P,PB,PD⊂平面PDB, 所以AC⊥平面PDB. 因为PO⊂平面PDB,所以AC⊥PO. 由四边形ABCD为平行四边形可得AO=OC, 故△PAC为等腰三角形,即PA=PC. (2)设AD=x,x>0,由(1)可得AC⊥平面PDB,而BD⊂平面PDB,故AC⊥BD, 故四边形ABCD为菱形,而∠DAB=60°,故BD=AB=x.因为PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,故PD⊥AD,故PA=,同理PC=PB=. 因为BC=x,所以S△PBC=×x×. 设d为点A到平面PBC的距离,PA与平面PBC所成的角为θ,故sin θ=.VP-ABC=×PD×S△ABC=×1×S△ABD=×x2=x2, 而VA-PBC=×d×S△PBC=×d×,则×d×x2,故d=,sin θ==2-3,当且仅当x4=,即x=时,等号成立,故VP-ABCD=×1×AD×AB××x2×. 变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB. (1)求证:直线BD⊥平面PAC; (2)求直线PB与平面PAC所成角的大小. (1)证明 在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA. 因为四边形ABCD为正方形, 所以BD⊥AC. 又AC∩PA=A,且AC,PA⊂平面PAC, 所以直线BD⊥平面PAC.  (2)解 如图,设AC与BD交于点O,连接PO. 由(1)知,直线BD⊥平面PAC,则∠BPO是直线PB与平面PAC所成的角,显然BO=BD=·AB, 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以AB⊥PA. 又PA=AB, 所以PB=AB=2BO, 所以sin∠BPO=,即∠BPO=, 所以直线PB与平面PAC所成角的大小为. 探究点三　直线垂直的性质定理及其应用 【例3】 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l. 解 如图. ∵PA⊥α,l⊂α,∴PA⊥l. 同理PB⊥l.∵PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α,a⊂α,∴PA⊥a. ∵a⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB, ∴a⊥平面PAB. ∴a∥l. 变式训练3如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.M,N分别为B1D1与C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D. 求证:MN∥A1C. 证明 如图,连接B1A,AD1. ∵CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1, ∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形, ∴A1C1⊥B1D1, 又∵CC1∩A1C1=C1,CC1,A1C1⊂平面A1C1C, ∴B1D1⊥平面A1C1C. 又∵A1C⊂平面A1C1C,∴B1D1⊥A1C.同理可得A1C⊥AB1, 又∵AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,∴A1C⊥平面AB1D1.∵B1C1=AD,B1C1∥AD,∴四边形ADC1B1为平行四边形, ∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D,∴MN⊥AB1. 又∵MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1, ∴MN⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN. 探究点四　空间中的距离问题 【例4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,求: (1)异面直线AD与A1C所成角的大小的正切值; (2)点C到平面ABC1D1的距离. 解 (1)如图,连接A1B,易知BC⊥A1B, ∵AD∥BC, ∴∠A1CB即为异面直线AD与A1C所成角, ∵BC=3,则A1B=3,A1C=3, 故tan∠A1CB=. (2)如图,连接B1C交BC1于O,则B1C⊥BC1, ∵AB⊥平面BCC1B1,B1C⊂平面BCC1B1, ∴AB⊥B1C, 又∵B1C⊥BC1,BC1∩AB=B,BC1,AB⊂平面ABC1D1, ∴B1C⊥平面ABC1D1, ∴线段OC为所求距离,∴点C到平面ABC1D1的距离OC=. 变式训练4若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,且侧棱与底面垂直,直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°,则A1C1到底面ABCD的距离为　　　　　.  解析 如图,连接AC, 因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,所以AD=DC=1, 所以AC=AD=, 又C1C⊥底面ABCD,所以直线AC1与底面ABCD所成角, 即∠C1AC=60°,所以C1C=AC·tan 60°=, 则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C1到底面ABCD的距离,即C1到底面ABCD的距离C1C=.故答案为. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与平面垂直的判定定理、性质定理. (2)空间中距离的求法. (3)直线与平面所成的角的求法. 2.方法归纳: 化归. 3.常见误区: 判定直线与平面垂直时易混淆“无数”与“任意”. $