7.1.2　复数的几何意义-课件 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，系统讲解复平面概念、复数与复平面内点及向量的对应关系、复数的模与共轭复数，通过衔接复数代数形式，搭建从数到形的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以“基础落实-重难探究-过关自诊”模块构建学习路径，通过例1复数对应点位置求参数等问题，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。采用例题解析与变式训练结合的教学方法，总结规律方法助力知识内化，学生能提升抽象与应用能力，教师可高效开展分层教学。

第七章　复数 7.1.2　复数的几何意义 【课标要求】 1.了解复平面的概念. 2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 3.掌握复数模和共轭复数的概念,会求复数的模和共轭复数. 基础落实•必备知识全过关 知识点一　复数的几何意义 1.复平面 (1)复平面:建立了直角坐标系来表示　　　　的平面叫做复平面;  (2)实轴:坐标系中的x轴叫做　　　　,实轴上的点都表示　　　　;  (3)虚轴:坐标系中的y轴叫做　　　　,除了原点外,虚轴上的点都表示　　　　　　.  复数 实轴 实数 虚轴　 纯虚数 2.复数的几何意义 (1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应: 复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b); (2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应:   复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量. 实数0对应零向量 5 名师点睛 1.为了方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,并且规定,相等的向量表示同一个复数. 2.复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点,否则,不能建立一一对应关系. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在复平面内,直角坐标系的实轴和虚轴的交点是原点.(　　) (2)复数z=3-2i在复平面内对应的点是(3,-2).(　　) (3)复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.(　　) √　 √　 √　 2.虚轴上的点对应的复数都是纯虚数吗? 提示 不都是,虚轴上的点除了原点外都表示纯虚数,原点表示实数0. 知识点二　复数的模 1.定义:向量的　　　叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.  2.求法:|z|=|a+bi|=,其中a,b∈R. 模 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)复数的模一定是正实数.(　　) (2)两个复数相等,它们的模一定相等,反之也成立.(　　) × × 2.复数的模的几何意义是什么? 提示 复数的模就是该复数在复平面内对应的点到原点的距离. 知识点三　共轭复数 一般地,当两个复数的实部　　　　,虚部　　　　　　　　时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做____________.复数z的共轭复数用　　　表示,即如果z=a+bi,那么=a-bi.  名师点睛 1.设z1=a+bi,对应的点为Z1(a,b),z2=a-bi,对应的点为Z2(a,-b),点Z1与Z2关于实轴对称. 2.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z=⇔b=0. 相等 互为相反数　 共轭虚数 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)复数z=3-2i的共轭复数为3+2i.(　　) (2)两个复数互为共轭复数,它们的模相等.(　　) √ √ 2.复数z在复平面内对应的点在第二象限,它的共轭复数对应的点在第几象限? 提示 第三象限,因为复数与其共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称 重难探究·能力素养速提升 探究点一　复数与复平面内点的对应 【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点: (1)在虚轴上; (2)在第二象限; (3)在第二象限或第四象限; (4)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围. 解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10. (1)由题意得m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4. (2)由题意得, ∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4). (3)由题意得,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0, ∴2<m<4或-5<m<-2, 即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2). (4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,解得m=. 规律方法　利用复数与复平面内点的对应的解题步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系. 变式训练1已知i为虚数单位,复数z1=1-2i,z2=a+bi(a,b∈R)对应的复平面内的点分别为M,N,若M,N关于实轴对称,则a=　　　　,b=　　　　.  1 　2 解析 由已知,有M(1,-2),N(a,b),又M,N关于实轴对称,所以a=1,b=2. 探究点二　复数与复平面内向量的对应 【例2】 在复平面内,点A,B对应的复数分别为1+4i,-3i,O为复平面的坐标原点.求平行四边形OABC的顶点C对应的复数. 解 由于分别对应复数1+4i,-3i,则对应的复数为(1+4i)+(-3i)=1+i,即点C所对应的复数. 规律方法　1.复数与复平面内向量的对应和转化 (1)对应:复数z与向量是一一对应关系. (2)转化:复数的有关问题可转化为向量问题求解. 2.解决复数问题的主要思想方法 (1)转化思想:复数问题实数化; (2)数形结合思想:利用复数的几何意义数形结合解决; (3)整体化思想:利用复数的特征整体处理. 变式训练2已知复数z1=-3+4i,z2=2a+i(a∈R)对应的复平面内的点分别为Z1和Z2,O为原点,且,求实数a的值. 解 依题意可知=(-3,4),=(2a,1).因为,所以=0, 即-6a+4=0,解得a=. 探究点三　复数的模及其应用 【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于,求实数a的值. 解 由已知得,即5a2+4a-1=0,解得a=或a=-1,故实数a的值等于或-1. 规律方法　1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算. 2.两个复数相等,其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等. 3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小. 变式训练3若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=,则复数z=　　　　　　　　　.  1+2i或-1-2i　 解析 依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|=, 解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i. 探究点四　共轭复数及其应用 【例4】 设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析 由z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 规律方法　共轭复数的关注点 本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系. 变式训练4已知z为复数,为z的共轭复数,且=|z|-1+5i,则z的虚部是(　　) A.5i B.-5i C.5 D.-5 解析 设z=a+bi,a,b∈R, ∴=a-bi,|z|=, ∵a-bi=-1+5i, ∴ 故z=12-5i,虚部为-5.故选D. D 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系. (2)复数的模及几何意义. (3)共轭复数. 2.方法归纳:待定系数法、数形结合. 3.常见误区:虚数不能比较大小,虚数的模可以比较大小. $