7.1.2 复数的几何意义-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

x=5+5λ0， 解得λ<-1. y=4+7λ<0， 横范因为（停，小 所以入的取值范围为(-∞，一1) 分 本题易忽略角C的范围，从而得出角 错 B的错误范围而致误， 本题易混淆向量的坐标和点的坐标而 易错 致误，向量的坐标反映的是向量的长 小题限时强化练 度和向量的方向，与终点坐标无关， 9,解：由正弦定理得b=sinB-sin3A 1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.D a sin A sin A 8.A 9.BCD 10.AD 11.ACD sin (A+2A)sin Acos 2A+cos Asin 2A 12.2√5 sin A sin A 13.30°14.-18 5 cos 2A++2cosA=4cos2A-1. 大题冲关规范练 A+B+C=180°，B=3A...A十B=4A 180°， 1.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得 0A号sA AB BD Sin∠BDA-sin∠BAD' 在△ACD中，由正弦定理得，sin/CDA AC 1<40os2A-1<3,1<b<3. a DC 易忽略三角形内角和为180°及角A的取 sin∠CAD 易 值范围，从而导致台的取值范围求错。解 因为∠CDA+∠BDA=元， 错 三角问题，角的取值范围至关重要.一些问 可得sin∠CDA=sin∠BDA, 分 题中，角的取值范围隐含在题目的条件中， 又因为AB=λAC,BD=λDC,所以 若不仔细审题，深入挖据，往往易疏漏而导 LAB 致解题错误. BD sin∠BDA sin∠CAD' 10.(1)证明：由c一b=2 bcos A, 所以 BD BD 得sinC-sinB=2 sin Bcos A.① sinZCAD=sin∠BAD'可得 在△ABC中，因为C=元-(A十B), sin∠CAD=sin∠BAD,所以∠CAD= 所以sinC=sin(A+B), ∠BAD 所以sin(A+B)-sinB=sin Acos B十 又因为∠BAC=经，所以∠CAD sin Bcos A-sin B=2sin Bcos A, 整理得sin(A一B)=sinB. ∠BAD=x …6分 因为C为纯角，所以0<B<受，一受< (2)在△ABD中，由正弦定理得 2 AB+AD sin∠ADB+sinB A-B<受， BD sin∠BAD 所以A一B=B,故A=2B. sin (B+)+sin B sin等 2( sin B+ (2②)解：由正孩定里及1)得品B sinA2sinB”cosB,因为6=2，所 a 7cosB)=2sin(B+若）： 以a=2 bcos B=cosB.因为角C为钝 因为∠BAC-,可得B∈(O,), 角，所以0<A+B=2B+B<5,即0< 所以B+晋∈（答，受），可得sin(B十 B<吾，所以号<cosB<1,所以a的取 )∈(2,1)， 165 所以AB+AD∈1,2)，即ABLAD的取 BD BD IBCm2mn cos 值范围为(1,2).… 13分 (m2+n2+mn)x2, 故由|AC|2+|AB|2=|BC12得(n2+ n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+ B D mn)x2, 2.解：(1)由已知△ABC中cos2B+cos2C- 即m十n十2=mn,而m>0,n>0,故m十 cos 2A=1,Ep 1-2 sin2 B+1-2 sin2C- 1+2sin2A=1, n+2=mm≤(m士）， 故sin2A=sinB十sinC,由正弦定理可 当且仅当m=n,结合m十十2=mn,解 得a2=b2+c2, 得m=n=1十√3时，等号成立， 故△ABC直角三角形，即A=T」 2 ，·4分 又m十n=t,即有t-4t-8≥0，解得t≥ (2)由(1)A=受，所以三角形ABC的三 2十23或t≤2-2√3（舍去）， 故实数t的最小值为2十2√3.…15分 个角都小于120°， 则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC 第七章 复 数 ∠APC=120°， 设|PA|=x,|PB|=y,|P心|=x,由 课时夯基过关练 S△APB十S△BPC十S△APC=S△ABC得 7.1复数的概念 2 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 号×2，整理得xy十z十x8=4 3 核心素养达标·夯实基础 则PA·P克+P克.P心+P才.P心 1.A 2.C 3.C4.A 5.ACD 6.ABC =xw·(-）+z(-2)+xx… 7.c8-1299号 2 10.②③ (-2）=-×45-2 · …9分 m2-2m=0, 11.解：(1)当 即m=2时，复 m≠0， 数之是实数 (2)当m2-2m≠0，即m≠0，且m≠2 时，复数之是虚数 A (3),点P为△ABC的费马点，则∠APB= (m2+m-6=0 (3)当 n 即m=一3时， ∠BPC-∠CPA-, m2-2m≠0， PBI=m PAl,PC=n PA, 复数之是纯虚数 |PA|=x,m>0,n>0,x>0, 利用复数的分类求参数的值或取值范围 则由|PB|+|PC=t|PA|得m+n=t. 的一般步骤： 由余弦定理得|AB|2=x2十m2x2 (1)判定复数是否为a+bi(a,b∈R)的形 规 式，实部与虚部分别为哪些； r=(m2+m+1)x, 2mx'cos3 律总结 (2)依据复数的有关概念将复数问题转化 =(n+ 为实数问题； ACl2=x2+n2x2-2nx2cos 3 (3)解相应的方程（组）或不等式（组）； n+1)x2, (4)求出参数的值或取值范围 166 核心素养培优·拓展提升 1.ABC2.-13.-3或号 4.解：由题意，知P=Q, 所以(m2-2m)十(m2十m一2)i=4i, m2-2m=0, 所以 解得m=2. m2+m-2=4, 7.1.2复数的几何意义 核心素养达标·夯实基础 1.D 2.B 3.B 4.C 5.AD 6.ABD 7.C8日+4i9.3-i(答案不唯-） 10.(0,1U[8,+oy 11.解：(1)由题意3a-2=0,a= 3； (2)由已知z|=√(3a)2+(3a-2)2= 0,解得a=1或a=- 3 (3)复数之对应，点坐标为(3a,3a-2),它 3a<0 在第三象限，则 解得a<0. 3a-2<0 .a的范围是(-∞，0). 12.解：(1)由题意可得f(x)=3x十(x2一 x)=x2+2x, 因为f(x)=8,所以x2十2x=8, 又x>0,所以x=2,即之=6-2i, 所以之在复平面内对应的点的坐标为 (6,-2). (2)因为f(x)=(x十1)2-1，所以当 x=一1时，f(x)取得最小值，此时，之= -3-2i,则之=-3十2i. 核心素养培优·拓展提升 1c263843(-5,-1-V1 5.解：(1)因为zo=lg(a2-4a十4)+(a2- 3a十2)i为纯虚数， lg(a2-4a+4)=0 所以 a2-3a+2≠0 「a2-4a+4=1 即a2-3a+2≠0 ,解得a=3, 2ǎ+b=3+2i 此时=21，由韦达定理得 (2)由(1)可得AB1=√2，|BC1=√10， 0b=6i |AC=2√2，.AB12+1AC12=|BC2, b=3. △ABC为直角三角形. (2)复数之满足1≤|z≤|a+bi,即1≤ (3)由(2)可知，三角形ABC为直角三 |z≤3√2， 角形，∠A为直角， 不等式之≥1的解集是圆|之=1的外 部（包括边界）所有点组成的集合， ∴S=号A恋AC=2×w2×2=2 不等式之≤3√2的解集是圆|之=3√2 核心素养培优·拓展提升 的内部（包括边界）所有点组成的集合， 1.CD2.B3.44.2√2 所以所求，点Z的集合是以原，点为圆心， 5.解：1=cosa+isin a,z2=cosB-isin, 以1和3√2为半径的两个圆所夹的圆 .z1-z2=(cos a-cos B)+i(sin a+ 环，包括边界」 simm=高+导， S围环=x[(3√2)2-12]=17元. cos a-cos -13 5 7.2复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及 sin a+sin 其几何意义 两式平方相加得2-2cos(a十B)=1, 核心素养达标·夯实基础 i.cos( 1.C 2.A 3.A 4.C 5.ACD 6.ABC 7.A8.}+79.号+3i10.1,3] 6据：号+ 11.解：之=之1-2=(3x十y)+（y-4x)i 》+( [(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+ 设1，之2，之1十22对应的向量分别为 y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+ Oi,o谚，0心，因为1Oi1=1Oi1=1O心1=1， 3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i, A,B,C三点均在以原点为圆心，1为 (5x-3y=13, ,z=13-2i,. 半径的圆上，如图所示，由平行四边形法 x+4y=-2, 则和余弦定理易得 解得2， y=-1, cos∠A0C=1Oi2+10C2Ad 210AOC .%1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, 急=(-1×4-2×2)-(5×2-3×1)i= 2, 一8-7i. 复数的加减法，相当于多项式加减 争 总 结 法中的合并同类项，即实部与实部 律 相加减，虚部与虚部相加减。 12.解：(1)AB对应的复数为(2+i)-1= 故∠AOC=60°，.□OACB为菱形，且 1+i. △BOC,△COA都是等边三角形，即 BC对应的复数为(-1+2i)-(2+i)= ∠AOB=120°. -3+i. 又O心与x轴正半轴的夹角为60°，故点A AC对应的复数为(-1+2i)-1=-2+2i. 在x轴上，即A(1,0),而xB=1O1· 167 c0s120°=- 2y%=Oi·sin120°-3， (m-2<0, 2 2 所以 m+2∠0， 解得-2<m<2. 点B的坐标为(-是，），点A与点 m的取值范围为（一2,2）. B位置互换后，A(-,受)，B1,0. 核心素养培优·拓展提升 1=1, 1.D2.ACD3.D4.3 =+ 21 5.(1)解：设之1=a十bi,(a,b∈R,且b≠0)， 2=1, 则2=十1=(a+bi)十，1 --+ 1 aTbi=(a+ a-bi bi(abi)(a-bi) 3. =(a+)+g=(a+。4F)+ 7.2.2 复数的乘除运算 b 核心素养达标·夯实基础 (ba+6)i. 1.C2.B3.C4.A5.BD6.AC b 因为是实数，所以6一a十=0，即 7.D8.69.2-i10.21og52-2 1.解：原或=[1+)·+[1 。）… i)2].1--8(3-4)(1+i)2(1+D 因为b≠0，所以a2十b2=1,即1|=1， 1+i (3-4i)i 且2=2a, (2i)3·i+(-2i)3·(-i) 由-1<<1，得-12a<1,解得-2≤ 8·2i,(1+D=8+8-16-16i=-16i (2》原式=42+}+=16i-i i 即的实那的取位范国为[一之] i=14i (2)证明：.a2+b=1, 规 题中既有加、减、乘、除、乘方运算，又有括 =1-x=1-a-6i=1-a2-6-2bi 总 号，同实数的运算顺序一样，先算括号内 w=1+名=i+a+6i=(1+a)2+B 结 的，再算乘方、乘、除，最后算加、减。 bi a+1 12.解：(1)由复数1=1+i,之2=m 2i(m∈R), 因为-2<a≤分b≠0，所以w1 1 1一21 则之12=(1十i)(m一2i)=m+2十 为纯虚数， (m一2)i,由之2为纯虚数， (3)解：2-w2=(a十a千)+(6- m-2≠0所以m=一2. [m+2=0 所以 a年ei-(-a7 (2)丝=m-2i=（m-2)(1-D 21 1+i (1+i)(1-i) =2a+(b-b)i+ (a+1)2 m-2-(m+2)i 2 =2a+,1-a2 (a+1)2=2a+1-a a+1 由兰在复平面上对应的，点位于第三象限 =2a(a+1)+(1-a)_2a2+a+1 21 a+1 a+1 168 =1+2a2 'a+1 =1+2(a+1)2-4a-2 a+1 =1+2(a+1)2-4(a+1)+2 a+1 =1+2(a+1)-4+2 +1 -2a+D+a子-3a+1e[合2]， 当2a+1）=g子1时，即a=0时，-云 取最小值1. 7.3*复数的三角表示 1.D2.B3.D4.A5.BD 6.ABC解析：因为e=cosx+isinπ= 一1，故er十1=0，故A正确.er=cosx十 isin x,e-is cos(-x)isin(-z)= cosx-isin,所以e+eiz=2cosx, er-ei证=2 isin x,故C正确，D错误.而 (侵+)=（吾+}- (e3i)2o22=e74d=cos674π+isin674π= 1.故B正确，故选ABC. 7.号(cos暂+in）解折：-1十 1 =-(合别 =2(cos+isin） 8.cos60°+isin60° 日-解析： 号+9i=cos60+isin60, 3(cos 120-isin 300)-(cos 60+ 之 isin60)÷3(cos120°+isin120) =专cs(60-1200+5m(60-1209] =号[c0s(-60)+isin(-60] 66 9.b-ai、第七章复数 7.1.2复数的几何意义 -7⌒素养目标 1.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 2.理解复数的两种几何意义并能熟练应用； 3.培养学生对类比数学方法的应用能力， 核心素养达标夯实基础 一、选择题 B.之一定不是纯虚数 1.复数=(m-)-(m+2)i对应的点在函 C.在复平面内，之对应的点在实轴上方 D.之一定是实数 数y=x十2图象上，则m=( ) 7.设之∈C,则满足1≤|之≤3的复数在复平 A.2 B.0 C.1 D.-1 面上的对应点构成图形的面积是() 2.在复平面内，复数之和(2一)i表示的点关于 A.π B.4π C.8π D.9元 虚轴对称，则复数之=( 二、填空题 A.1+2i B.-1+2i 8.若复数之满足之=z一3一4i,则2= C.-1-2i D.1-2i 9.请写出一个复数之= ,使之同时具 3.0<m号"是“复数=(3m一2)十(m-1i在 有如下性质：①之|=2，②之在复平面中所对 应的点位于第四象限 复平面内对应的点位于第四象限”的( 10.使log影x-4i≥3+4i成立的实数x的 A.充分不必要条件 取值范围是 B.必要不充分条件 三、解答题 C.充要条件 11.已知复数之=3a十(3a一2)i,i为虚数单位， D.既不充分也不必要条件 a∈R. 4.已知复数之=sin0+i,则满足|z|≥√2的所 (1)若之是实数，求实数a的值： 有不相等的复数之之和的虚部为( ) (2)若|之=√10，求实数a的值； A.1 B.i C.2 D.2i (3)若之在复平面内对应的点位于第三象 5.(多选)在复平面内，复数之对应的点是(1， 限，求实数a的取值范围. 1),则() A.=1+i B.z=-1十i C.|x=2 D.=√2 6.(多选)设之=(2t+5t-3)+(t+2t+2)i, t∈R,则以下结论中错误的是() A.在复平面内，之对应的点在第一象限 34 ·数学· 课时夯基过关练了 12.已知复数之=3x一(x2-x)i(x∈R)的实部 (2)当f(x)取得最小值时，求复数之. 与虚部的差为f(x). (1)若f(x)=8,且x>0,求复数之在复平 面内对应的点的坐标； 核心素养培优拓展提升 1.（多选)已知复数之=a十bi(a,b∈R,i为虚数单 5.已知复数=lg(a2-4a十4)+(a2-3a+2)i 位)，且a十b=1,下列命题正确的是( ) (i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，z和b是关 A.之不可能为纯虚数 于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两 B.若之的共轭复数为乏，且之=之，则之是 个根， 实数 (1)求实数a,b的值； C.若=x,则之是实数 (2)若复数之满足1≤|之≤|a十bi,说明在 D.可以等于之 复平面内之对应的点Z的集合是什么图形？ 并求该图形的面积. 2.已知复数之满足|之|=1，则之十3-4i(i为 虚数单位)的最大值为 3.在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1,Z2 分别对应复数1=4+3i,z2=2a-3i(a∈ R),若OZ⊥OZ,则a= 4.已知复数之=1g(m2+2m-14)+(m2-m- 6)i(为虚数单位)，若复数之是实数，则实数 m= ;若复数之对应的点位于复平 面的第二象限，则实数m的取值范围为 ·数学·35