7.1.2复数的几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章　复数 7.1.2　复数的几何意义 目 标 素 养 1.理解复数的几何意义,能画出复数对应的点和向量,提升数学抽象和直观想象素养. 2.知道复数的模的含义,会求复数的模,提升直观想象和数学运算素养. 3.知道共轭复数的含义,会求一个复数的共轭复数,提升数学运算素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做　实轴　,y轴叫做　虚轴　.实轴上的点都表示实数;除了　原点　外,虚轴上的点都表示纯虚数.  微思考 实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗? 提示：不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数. 2.复数的几何意义 z=a+bi(a,b∈R),O为坐标原点. 微训练1 在复平面内,复数z=1-i对应的点的坐标为(　　) A.(1,i) B.(1,-i) C.(1,1) D.(1,-1) 答案:D 3.复数的模 设z=a+bi(a,b∈R). (1)定义:向量 的 模 叫做复数z=a+bi的模或绝对值.  (2)记法:复数z=a+bi的模记为|z|或|a+bi|. 即|z|=|a+bi|=   ,其中a,b∈R. 如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于|a|(a的绝对值). 微训练2 (2025广西崇左期末)若复数2+ai的模为,则实数a的值为(　　) A.3 B.±3 C. D.± 答案:D 解析:复数2+ai的模为,则|2+ai|=,解得a=±.故选D. 4.共轭复数 一般地,当两个复数的实部相等,虚部　互为相反数　时,这两个复数叫做互为共轭复数.  虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用 表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么 =　a-bi　.  微拓展 设R>r>0,则根据复数z的模的几何意义可知: (1)|z|=R表示以原点为圆心,半径为R的圆. (2)|z|<R表示以原点为圆心,半径为R的圆面(不含边界线). (3)r<|z|<R表示以原点为圆心,介于半径为r的小圆和半径为R的大圆之间的圆环(不含边界线). 课堂·重难突破 一 复数与复平面内的点的对应关系 典例剖析 1.当实数a分别取何值时,复数z= +(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件: (1)在复平面的第二象限内? (2)在复平面内的x轴上方? 规律总结 利用复数与点的对应关系求参数的值或取值范围的步骤 (1)确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标. (2)根据已知条件,确定复数的实部与虚部满足的条件. (3)求解参数的值或取值范围. 学以致用 1.已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3) 答案:A 解析:由复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象 限,得 解得-3<m<1,故选A. 二 复数与复平面内的向量的对应关系 典例剖析 2.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点. (1)求向量 对应的复数; (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 规律总结 复数与向量的对应和转化 (1)对应:若复数z在复平面内对应的点为Z,O为原点,则复数z与向量 是一一对应关系. (2)转化:把复数的有关问题转化为向量问题求解. 学以致用 2.在复平面内,O为原点,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (2)判断△ABC的形状. 三 复数的模及几何意义 典例剖析 3.(1)设x+xi=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(　　) A.1 B. C. D.2 解析：因为x+xi=1+yi, 所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|= ,故选B. B (2)设z∈C,且z在复平面内对应点Z,O为原点,试说明分别满足下列条件的点Z的集合是什么图形. ①|z|=2;②|z|<3. 解:①|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点O的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆. ②由|z|<3得向量 的模小于3,所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的圆面,不包括边界. 规律总结 1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模为|z|= . 2.复数的模的几何意义:在复平面内,复数|z|表示所对应的点Z到原点的距离. 学以致用 3.若复数z= +(a2-a-6)i(a∈R)是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为　　　　　.  解析:∵z为实数,∴a2-a-6=0,且a+2≠0, 解得a=3, 随堂训练 1.(2025广西青秀区校级期末)已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(-1,2),则i·=(　　) A.1+2i B.1-2i C.2-i D.-2+i 答案:C 解析:因为复数z在复平面内对应的点的坐标是(-1,2), 所以z=-1+2i. 所以i·=i·(-1-2i)=-i+2. 故选C. A.-1+i B.1-i C.-5-5i D.5+5i 答案:D 3.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 答案:A 4.已知i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　　 ,|z2|=　　　　　　　.  解析:∵z1=2-3i,∴z1在复平面内对应的点为(2,-3),此点关于原点的对称点为(-2,3). ∴z2=-2+3i. 5.若复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则实数m的取值范围为　　　　　.  解析:因为z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)在复平面内对应的点在第一象限, $