8.6立体几何初步平面与平面垂直 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教2019A版必修 第二册 第八章 立体几何初步 平面与平面垂直 半平面 平面内的一条直线将平面分成两部分，每一部分对这个平面来说，都叫做半平面. 将一个平面沿平面上的一条直线折起得到的空间图形就称为二面角. 类比角的定义，如何定义二面角？ 二面角 空间中，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 其中，这条直线叫做二面角的棱；这两个半平面叫做二面角的面. 二面角的表示方法 二面角 P-AB-Q 学生活动二： 1.当信封合起来时，信封盖和信封所成角的大小是 ，∠AOB是怎样的角？ 2.当信封完全打开时，信封盖和信封所成角的大小是 ，∠AOB是怎样的角？ 3.∠AOB能刻画信封所成的二面角吗？ 将上述问题中的信封换成贺卡， 结论一样吗？？ 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB的大小与点O在 上的位置有关吗？为什么？ 二面角的取值范围 二面角的大小用它的平面角来度量. 求二面角的大小，其实就是求其平面角的度数. 当两个半平面重合时规定：二面角为 当两个半平面合成平面时规定：二面角为： 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 信封盖和信封形成的二面角的平面角怎样确定？ 小试牛刀 .如图，已知四边形ABCD是矩形，PA 平面ABCD，则二面角 B-PA-D的大小为 . 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数. 观察与思考： 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上. 两个平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面 垂直，记作 β α α β 图形表示： 建筑工人在砌墙时，怎样保证墙面垂直于地面？这种方法说明了什么道理？ 如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直. 你能在长方体中发现类似的结论吗？ 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面DCC1D1经过平面ABCD的一条垂线DD1，此时，平面DCC1D1垂直于平面ABCD. 两个平面垂直的判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号表示 例1.如图，在正方体 ABCD­A'B'C'D' 中，求证：平面 A'BD⊥平面 ACC'A'. A B D C A′ B′ C′ D′ 你能发现在平面A'BD和平面 ACC'A'中有哪些垂直关系吗？(线线、线面) 平面 A'BD⊥平面 ACC'A' 例1.如图，在正方体 ABCD­A'B'C'D' 中，求证：平面 A'BD⊥平面 ACC'A'. A B D C A′ B′ C′ D′ 证明：∵ ABCD­A'B'C'D' 是正方体， ∴ AA'⊥平面ABCD ， ∴ AA'⊥BD. 又 BD⊥AC，AA'∩AC＝A， ∴ BD⊥平面 ACC'A'，BD⊂平面 A'BD ∴ 平面 A'BD⊥平面 ACC'A'. 例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同 于A，B的任意一点.求证：平面PAC 平面PBC. 证明：∵ PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴ PA⊥BC. ∵ C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点， AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠BCA＝90°，即 BC⊥AC. 又 PA∩AC＝A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC， ∴ BC⊥平面 PAC.又 BC⊂平面 PBC ∴ 平面 PAC⊥平面 PBC. 1. 直线和平面垂直的定义如何？ 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. α A 复习回顾 2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 关键：线不在多，相交则行. 观察：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1， CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？ A A1 B C D B1 C1 D1 平行 新知探究 O 证明: 假设b不平行于a, b∩α=0，c是经过点O与直线a平行的直线。 因为a//c，a⊥α，所以c⊥α。 即经过同一点O的两条直线b，c都垂直于平面α，这是不可能的。 因此a//b 已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b． 思考：如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α, b⊥α，则直线a,b有怎样的位置关系？ 反证法 c 直线和平面垂直的性质定理： 符号语言： 图形语言： 垂直于同一个平面的两条直线平行. a b 据上述分析，得到一个什么结论？ 作用：证线线平行 α 例1.如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。 由A，B是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等。 证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线 AA1，BB1，垂足分别为A1，B1。 ∵AA1⊥α，BB1⊥α， ∴AA1//BB1 设直线AA1，BB1，确定的平面为β，β∩α=A1B1 ∵l//α，∴l//A1B1，∴四边形AA1B1B是矩形。 ∴AA1=BB1. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。 由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。 对点训练 例2.推导棱台的体积公式 其中S'，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高。 解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下交于点O',O，则PO垂直于棱台的上底面。从而O'O=h。 设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V'，高为h'，则PO'=h'。于是 所以棱台的体积 由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且 代入① ，得 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 【证明】因为四边形ADD1A1为正方形 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D， 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC， 所以MN∥AD1. 小 结 点金训练P110 任务一：对直线与平面垂直的性质定理的理解 任务二：直线与平面垂直性质定理的综合应用 任务三：线面垂直的判定定理与性质的综合应用 Lavf57.62.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $