专题07菱形的性质与判定期末复习讲义(19大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题07菱形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解菱形的定义，理清菱形与平行四边形、矩形的从属关系与区别。 2.熟练掌握菱形的性质与判定定理，熟记其边、角、对角线、对称性的独有特征。 3.掌握菱形的面积两种计算方法，理解公式推导依据。 4.识记菱形相关衍生结论，区分菱形、矩形、普通平行四边形的易混知识点。 1.能运用菱形性质完成线段、角度、周长、面积的计算与推理。 2.结合已知条件灵活选取判定定理，规范完成菱形的几何证明。 3.掌握菱形对角线分割出的直角三角形、等腰三角形模型，提升图形分析与变式解题能力。 4.学会综合运用平行四边形、矩形、菱形知识，提升知识整合与逻辑推理能力。 1.精准完成概念辨析、性质判断类选择、填空题，保证基础题零失误。 2.熟练解答菱形基础计算、简单证明题型，把控答题步骤与正确率。 3.攻克菱形与直角三角形、全等三角形结合的中档综合题，拿全步骤分。 4.掌握菱形折叠、动点等常考压轴题型的解题思路，提升难题得分率。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与中位线综合 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形中旋转问题 题型17.多结论判断题 题型18.菱形中的存在性问题 题型19.菱形的规律探究问题 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形⊃平行四边形⊃菱形，菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 3.区分：矩形特殊在角，菱形特殊在边。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD .知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05:平行四边形、矩形、菱形性质对比（易混点） 图形 特殊边角特征 对角线特征 对称轴数量 平行四边形 无特殊边角 互相平分 0 条 矩形 四个角都是直角 互相平分且相等 2 条 菱形 四条边都相等 互相平分、互相垂直、平分一组对角 2 条 知识点06:高频易错点 1.判定混淆：切勿用 “对角线互相垂直的四边形” 判定菱形，必须先证明是平行四边形。 2.公式误用：菱形面积两个公式灵活选用，已知对角线优先用乘积的一半。 3.概念混淆：区分三者对角线差异：矩形对角线相等，菱形对角线垂直。 4.定理混用：对角线平分对角是菱形独有性质，普通平行四边形、矩形不具备。 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】菱形的性质：对角相等；四条边相等． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 3．如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，得到对角线平分内角、对角线互相垂直，进而求出、的度数；再结合角平分线的定义，用表示出，最后根据的取值范围确定的可能值． 【详解】解：在菱形中，，平分，， ， ， 平分， ， 点为上一点（可与点重合，不与点重合）， ， 平分， ， ， ． 故选． 4．如图，在菱形中，，为对角线上一点，连接，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，对角线平分，即， 在和中： ， ． (2) 【分析】（1）利用菱形四边相等、对角线平分内角的性质，结合全等判定定理证明； （2）由全等得角相等以及等边对等角设未知数，结合菱形、列方程求角度，再用三角形内角性质算． 【详解】（1）略 （2）解：，是等腰三角形， 设， （三角形外角）， 由（1），得， 菱形，，， ，（平行线内错角）， 又，， 在中：， 即， 解得：，， ， ， 菱形中平分， ， 在中： ． 题型02.菱形的性质求线段长 5．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点C作于点E，连接，若，，则的长为 _____ ． 【答案】6 【分析】先根据菱形的面积等于对角线乘积除以2求出，再根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，点O是的中点， ∴． 6．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 7．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据角平分线的条件和平行线的性质证出，结合条件得到四边形是平行四边形，再根据即可证得； （2）利用菱形的性质可得对角线互相垂直平分，通过勾股定理得线段的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理求得的长度． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中，， ∴三角形是直角三角形， ， ， ∵， ∴， ， ， ． 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可根据，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O，， ∴菱形的面积为， 10．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，，进而推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据勾股定理和三角形的中线性质求出，，进而求得即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质可得，，再证明，继而得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边证明，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，用勾股定理解，再根据直角三角形斜边中线的性质，得出． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， 是斜边上的中线， ． 13．发现问题：如图①在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．探究之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，解题思路是： (1)先证明________；再证明________； 即可得出之间的数量关系是________． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全上面的思路． 提出问题： (2)如图②，若把原题中的“”改为，其他条件不变，（1）中之间的数量关系．是否仍然成立？请写出证明过程； 分析问题： (3)如图③在中，，，E，F是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 解决问题： (4)如图④在菱形中，，E、F分别是边上的点，且． ①求证：是等边三角形 ②若，，求的长． 【答案】(1)辅助线见解析；；； (2)仍然成立，证明见解析 (3) (4)①见解析；② 【分析】（1）先根据题意作出辅助线，再利用证明得到，进一步证明，得到，据此可得； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）即可证明； （3）过点B作，使得，连接，则， 证明，得到，，再证明，得到；由勾股定理得，则； （4）①连接，证明都是等边三角形，得到，证明，得到，据此可证明是等边三角形；②过点A作于点H，可求出，由勾股定理得，证明，由角平分线的性质得到点E到的距离等于点E到的距离，即为的长，根据，可求出，则． 【详解】（1）解：如图①所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：仍然成立，证明如下： 如图②所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，过点B作，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； （4）解：①如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ②如图所示，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴点E到的距离等于点E到的距离，即为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型05.添条件使四边形是菱形 14．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 15．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据角平分线的定义以及平行线的性质得，故，再进行补充条件，使得四边形是平行四边形．又根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 或添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 16．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 17．如图．已知四边形为平行四边形，M，N为边上的点，且．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________（填序号）． (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 【答案】(1)①或② (2)证明：①∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ∴四边形为菱形． 证明：②∵四边形是平行四边形， ， ， ． ， ∴四边形为菱形． 【分析】（1）根据题意选择合适的条件即可； （2）根据补充的条件进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型06.证明四边形是菱形 18．如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 19．如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据两组对边平行可证是平行四边形，进而根据邻边相等可知是菱形； （2）根据两个三角形的周长关系，可知，根据四边形的面积可知，所以可知的取值，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：的周长为的周长为， ∴，， ∴， 三角形的面积为：， ∴， 所以四边形的面积：， ∴ ∴ ∴． 20． 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵过点分别作，的平行线交于点． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出则，根据菱形的判定即可证明结论； （2）如图：过点A作于点F，先求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求得，最后运用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图：过点A作于点F，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，解得：． 题型07菱形性质与判定求角度 21．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】/66度 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先得出是菱形，从而得到，由得出，再证明，从而得到，，又由推导，从而求出，，最后利用即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴是菱形， ， ， ， ， ， ，是斜边的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 23．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 题型08.菱形性质与判定求线段长 24．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，再证明平行四边形是菱形；进一步根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 25．如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，先证明四边形是菱形，然后由勾股定理求出，再由菱形的性质即可求解． 【详解】解：设与交于点，连接，如图所示： 由作图可知，平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 26．如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质，得出，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理得出，利用梯形的面积解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 题型09.菱形的性质与判定求面积 27．若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为___________． 【答案】216 【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到两条对角线一半的长度，结合已知边长，利用勾股定理逆定理证明对角线互相垂直，得出该平行四边形为菱形，再利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：平行四边形如图所示， 设，对角线，，两条对角线交于点 平行四边形的对角线互相平分， ，， ，， ， 由勾股定理的逆定理可得，，即， 平行四边形是菱形， 则菱形的面积． 28．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作， ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 题型10.菱形与坐标系综合 30．如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形性质可得，分别求出，最后利用对角线求菱形的面积. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 31．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】先由勾股定理求出菱形边长并确定各顶点坐标，再利用菱形对角线的对称性将转化为，最后根据两点之间线段最短，计算的长度即为的最小值． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 如图，连接，过点作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵菱形的对角线是其对称轴， ∴点关于直线的对称点是点， ∴对直线上任意一点，都有， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 32．如图1，四边形为菱形，，，，，且． (1)求的长； (2)点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析，的最小值为2；②点的横坐标为2 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可得出，，从而可求出．再利用菱形的性质结合，可求出，结合含的直角三角形即可求解； （2）①连接，交于，根据菱形的性质及等边三角形的性质可证，得，由点到直线垂线段最短，可知，，再结合菱形的性质及含的直角三角形的性质即可求得，进而即可求解； ②连接，根据等边三角形的性质证，得，，则，可知点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，，则，即： ∵四边形为菱形，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴； （2）①证明：连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，则是等边三角形， ∴，，则， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短，可知，， ∵四边形为菱形， ∴， 则， 即的最小值为2； ②连接， 由①可知，是等边三角形，是等边三角形， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线， ∵ ∴点的横坐标为． 题型11.菱形中的折叠问题 33．如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点若，，则的长是______． 【答案】 【分析】根据菱形中，可知是等边三角形，结合三线合一可得，求出，可得，则是直角三角形，借助勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折，得到， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 34．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质，推出为含30度角的直角三角形，设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为． 35．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是明确长度的最小为．连接，过点作边上的垂线，垂足记为点，由三角形三边关系可得，可得长度的最小为，由折叠性质可得，由菱形性质可得，从而得到，，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作边上的垂线，垂足记为点， 在中，， 长度的最小为， ∵点为中点， ， 由折叠性质可得：， ∵四边形为菱形，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 故选：D． 36．如图，在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形是_____________； (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连结并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当时，连结并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，延长交于点M，直接写出的长． 【答案】(1)平行四边形 (2)解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又为边的三等分点， ， 由折叠可知，，则， ， 由三角形外角性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，则， ； (3)的长为 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，则， 由折叠可知：，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）略 （3）解：由折叠可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 如图，延长交于， 则， 四边形是平行四边形， ，，， ∴， ， 平行四边形的面积为24，，即， ， 则， ∴． 题型12.菱形中的动点问题 37．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，的长度，然后根据勾股定理求出，然后根据垂线段最短得到当时，有最小值，然后利用菱形面积求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ∵点P是边上的一个动点， ∴当时，有最小值，如图， ， ∴ ∴， 的最小值为． 38．如图，在菱形中，，点为对角线上的动点（不与端点重合），过点作于点，作于点，若，则菱形的周长为________． 【答案】 【分析】连接，作于点，根据菱形的性质，推出为等腰直角三角形，等积法得到，进而求出的长，即可得出结果. 【详解】解：连接，作于点， ∵菱形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为. 39．如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点．若的长的最小值为6，则的长为__________． 【答案】12 【分析】由菱形的性质以及垂线段最短，先得，，如图：连接，过点P作，则，，则，再根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵为菱形的对角线上的一个定点，，的长的最小值为6， ∴，， 如图：连接，过点P作，则，， ∴， ∴， ∴． 40．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先由判定菱形为正方形，根据得为中点，连接，通过等角推导证得，再利用线段和代换得出； （2）先由得为等边三角形，求出；作、，由角平分线性质得，证得；再由直角三角形性质得，分两种位置情况推导，得出恒为； （3）先作，利用等边三角形性质求出、的长度；设，在中用勾股定理列方程解得或；代入（2）的结论，结合已知，计算出的两个值，检验均符合题意． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 当时，菱形为正方形， ∴，平分，， ∵，即， ∴为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵菱形边长为，， ∴为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 如图，过作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，同理得， 分两种情况： ①当点在、之间时，点在、之间， ； ②当点在、之间时，点在、之间， ； 综上，； （3）解：如图，过点作于点， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∵，， ∴， 解得或， 由（2）知， ∵， ∴当时，； 当时，； 经检验，两种情况均符合题意， ∴的长为或． 【点睛】本题是菱形中“定角夹定角”的经典定值与动点综合题，其核心是角平分线上的动点定角截两边的通用模型，菱形对角线天然是角平分线，在对角线上任取一点作与菱形内角相等的定角，该角与菱形两边相交形成的两条动线段之和为定值，解题的核心通法是过动点作角两边的双垂线，利用角平分线性质得等距，再证全等，实现动线段向定线段的转化． 题型13.菱形中的最值问题 41．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，所以，由勾股定理求出，连接，可证四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， . ∴， ∴， ∴的最小值为． 42．如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于（   ） A．9.6 B．12 C．7.8 D．15.6 【答案】D 【分析】连接，与交于点，先得出，，再根据可得为定值，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值等于的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值等于， ∴的最小值为． 43．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 【答案】A 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短和等积法进行求解即可. 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴， ∴， 连接， ∵于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为边上一动点， ∴当时，的值最小，即的值最小， 此时：， ∴， 解得， ∴的最小值为. 44．如图，菱形的边长为4，，直角三角形的斜边，连接，点P是线段的中点，连接．将绕点D在平面内自由旋转，则线段长度的最小值是________，最大值是________． 【答案】 / 【分析】取的中点M，连接，，根据菱形的性质和证明是等边三角形，得出，利用三角形中位线定理求出，利用直角三角形斜边上的中线性质求出，最后根据三角形三边关系即可求出的最大值和最小值． 【详解】解：取的中点M，连接，，，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P是线段的中点，M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是直角三角形，是斜边，M是的中点， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得：， 即， ∴， ∴线段长度的最小值是，最大值是． 题型14菱形与中位线综合 45．如图，为的中位线，点在边上，连接．若四边形是菱形，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于H，则，利用含30度角的直角三角形的性质得到，再根据三角形的中位线定理求得，，然后由菱形的性质求得，则，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过A作于H，则， 在中，，， ∴， ∵为的中位线， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴的面积为． 46．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质得O是边的中点，推出是的中位线，根据三角形中位线的性质和菱形的性质即可求解． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点O， O是边的中点， E是边的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ． 47．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为__________ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理等知识点．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， 如图，取中点，连接， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 48．如图在菱形中，O为的交点，P，M，N分别为的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵P，M，N分别为的中点． ∴ ， ． ∴四边形是平行四边形． ∵在菱形中，相交于点O， ∴． ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，即可得证； （2）证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，，． ∴是等边三角形． ∴． ∴，由勾股定理得：． ∵， ∴，， ∴． ∴． 如图，连接， ∴在中，由勾股定理得：． 题型15.菱形的实际应用问题 49．菱花窗镂映晴光，雪韵冰品故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形．测得，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，根据菱形的性质可得，，，勾股定理求得，则即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴． 50．如图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2026米停下，则这个微型机器人所停的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据菱形的四条边都相等可知，微型机器人行走一周的路程为8米，用2026除以8，再根据余数确定停靠的点即可． 【详解】解：两个全等菱形的边长为1米， 一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边行走一周走过的路程为（米）， ， 行走2026米与行走2米后停下的点相同， 由图可知，行走2米后停在点， 这个微型机器人停在点． 51．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 【答案】4.4 【分析】连接，相交于O，首先根据勾股定理及度角的性质求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，相交于O， ， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴校门关闭时，伸缩门的宽度为． 如图所示，连接， ∵校门部分打开时，菱形内角的度数从缩小到， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为， ∴伸缩门的总长度缩小了． 52．如图1是某创意图书馆一款壁灯，图2是从图1中提取出的图形，正八边形被分割成两个正方形和四个菱形．若该正八边形的边长为2，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查“正多边形的内角和”“正方形的定义”“菱形的定义”，通过正多边形的内角和公式推出每一个内角都为135°，进而找到菱形的面积与正八边形边长的关系是解题关键． 先通过正多边形的内角和公式，求出，根据菱形的性质，推出，，再作菱形的高，通过45°角求出菱形的高为，进而求菱形的面积即可． 【详解】解：正八边形的内角为，即． ∵四边形，是菱形， ∴，，，． ∴，． ∴． 菱形的示意图如答图所示，过点K作于点M． 在中，，， ∴． ∴菱形的面积． 题型16.菱形中旋转问题 53．如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 【答案】/60度 【分析】由旋转的性质及菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：因为四边形是菱形，且， 所以对角线平分，， 所以． 所以与是两个大小一样的等边三角形， 又因为将绕点顺时针旋转后与重合， 所以． 综上，旋转角的度数是． 54．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    【答案】 【分析】本题考查旋转及菱形的性质．根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ， 故答案为：． 55．如图，在中，，M为上的任意一点，连接．将绕着点A顺时针旋转得到线段，点N在边上，且． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转和平行四边形推得，从而可推得是等边三角形，得到，故四边形为菱形； （2）由（1）知在中，，得，，故． 【详解】（1）解：由旋转得，，， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，即， 在中，，， 是等边三角形， ， 四边形为菱形； （2）解：，， 由（1）结论知，，， ， 在菱形中，， 在中，，， ， ， ． 题型17.多结论判断题 56．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接．有如下结论：①；②四边形为矩形；③若，，则的长为；④若，点为中点，点在上，当最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】由特殊平行四边形的性质，逐一分析．由菱形的性质，①正确；结合题干，，，可判定四边形为矩形；证明，再使用勾股定理可以求出的长；连接，运用轴对称性质可得，、、三点共线时，最小，运用重心的性质可以得到与的关系． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，故①正确； ∴，， ∵，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ∴，且，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， 在直角中，，故③正确； 由菱形的性质可知，点A和点C关于对称， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取到最小值， 如图，连接，则与的交点即为点P， ∵点O为中点，点N为中点， ∴和都是的中线， ∴点是的重心， 由重心的性质可得，，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题和重心的性质，熟练掌握特殊平行四边形的性质并构造全等三角形是解题关键． 57．如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，设与交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据三角形中位线定理得出，，设，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，设与交于点O，如图所示； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，，，是菱形四边的中点， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 58．矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，． 连接 交于点．连接 ，．若 ， ．则下列结论：① ；② ；③ ， ；④四边形 是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据矩形的性质以及已知条件证明，即可判断①，结合，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明③；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明④；根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可判断⑤． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形，O为的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 四边形是矩形，O为的中点， ， 为等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，故③正确； , ， ， ， ，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 故④正确； ， 无法证明， 故②错误； ， ， 在中，， ， ， 在中，， ，故⑤正确． 故正确的为①③④⑤，为4个． 题型18.菱形中的存在性问题 59．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点时，停止运动；同时，点从点出发向点运动，运动到点时，停止运动．点，的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为（单位：）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ (3)当是以为一条腰的等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)当时，四边形是矩形； (2)当时，四边形是菱形，此时菱形的面积是； (3)当或时，是以为一腰的等腰三角形． 【分析】（1）根据矩形的判定得出当时，四边形是矩形，然后列出关于t的方程求解即可； （2）先证明四边形AQCP为平行四边形，然后根据菱形的判定得出时，四边形为菱形，后列出关于t的方程求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：若使四边形是矩形， ，， 当时，四边形是矩形，即：， 解得． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：，， ，即 ， 四边形为平行四边形， 在矩形中， 当即时，可得，四边形为菱形． 解得：， 当时，，面积为：； （3）解：①当即时，可得，为等腰三角形， 解得：； ②当时，如图，过点作交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ， 解得； 综上所述，当或时，是以为一腰的等腰三角形． 60．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或 (3)的值为或 (4)的值为5或或 【分析】（1）如图所示，过点作于点G，则，得到四边形是矩形，可得，在中由勾股定理即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时；当时；结合矩形的性质列方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当时，，，；当时，，；由此列式求解即可； （4）根据题意，分类讨论：当四边形是菱形；四边形是菱形时；四边形是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P的运动时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，，若时， ∴当时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得，此时点B，Q重合； 综上所示，的值为或； （4）解：点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，设交于点F， 则，， 同理可得，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所示，的值为5或或． 题型19.菱形的规律探究问题 61．如图，点位于坐标原点，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在第一象限，点，，，…，在第二象限，四边形、四边形、四边形……四边形都是菱形，．若，且，则点的横坐标为________．    【答案】 【分析】作轴于，由菱形的性质和等边三角形的判定与性质可得，，从而得到，由含有角的直角三角形的性质和勾股定理即可算出点的横坐标，同理可得出、的横坐标，进而即可得到规律，得出答案． 【详解】解：如图，作轴于， ， 四边形是菱形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的横坐标为：， ，四边形、四边形、四边形……四边形都是菱形， 同理可得：的横坐标为：， 的横坐标为：， …… 点的横坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质、点的坐标规律、勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，得出点的坐标的规律，是解题的关键． 62．在平面直角坐标系中一组菱形，，，，…按如图方式放置，已知点，，，…，，点，，，…，，则菱形的面积为______．    【答案】9 【分析】先求出以及的长度，根据菱形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，点，， ∴， ∵菱形，， ∴的中点坐标为， 由菱形的对角线互相平分可得：， ∴， ， 同理可得：，， 根据此规律可得， 又∵，， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，关键是要找出的长度的规律，牢记菱形的面积公式． 63．如图，边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使；连接，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第个菱形的边长为______． 【答案】 【分析】连接，交于，由菱形的性质可知，，且，利用“直角三角形中所对的边是斜边的一半”求得，再由勾股定理求出，从而得到的长，同理可求得，，的长，由此观察并总结规律，得到答案． 【详解】如图，连接，交于点． ∵四边形是菱形，∠BAD=60°，AB=2， ∴，，， ∴在中，， ， ∴． 同理可得，，，． 按此规律所作的第个菱形的边长为． 即第8个菱形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形规律的探索，勾股定理，菱形的性质等知识，解决本题的关键在于熟练运用菱形相关性质，并通过观察找出规律． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解菱形的定义，理清菱形与平行四边形、矩形的从属关系与区别。 2.熟练掌握菱形的性质与判定定理，熟记其边、角、对角线、对称性的独有特征。 3.掌握菱形的面积两种计算方法，理解公式推导依据。 4.识记菱形相关衍生结论，区分菱形、矩形、普通平行四边形的易混知识点。 1.能运用菱形性质完成线段、角度、周长、面积的计算与推理。 2.结合已知条件灵活选取判定定理，规范完成菱形的几何证明。 3.掌握菱形对角线分割出的直角三角形、等腰三角形模型，提升图形分析与变式解题能力。 4.学会综合运用平行四边形、矩形、菱形知识，提升知识整合与逻辑推理能力。 1.精准完成概念辨析、性质判断类选择、填空题，保证基础题零失误。 2.熟练解答菱形基础计算、简单证明题型，把控答题步骤与正确率。 3.攻克菱形与直角三角形、全等三角形结合的中档综合题，拿全步骤分。 4.掌握菱形折叠、动点等常考压轴题型的解题思路，提升难题得分率。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与中位线综合 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形中旋转问题 题型17.多结论判断题 题型18.菱形中的存在性问题 题型19.菱形的规律探究问题 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形⊃平行四边形⊃菱形，菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 3.区分：矩形特殊在角，菱形特殊在边。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD .知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05:平行四边形、矩形、菱形性质对比（易混点） 图形 特殊边角特征 对角线特征 对称轴数量 平行四边形 无特殊边角 互相平分 0 条 矩形 四个角都是直角 互相平分且相等 2 条 菱形 四条边都相等 互相平分、互相垂直、平分一组对角 2 条 知识点06:高频易错点 1.判定混淆：切勿用 “对角线互相垂直的四边形” 判定菱形，必须先证明是平行四边形。 2.公式误用：菱形面积两个公式灵活选用，已知对角线优先用乘积的一半。 3.概念混淆：区分三者对角线差异：矩形对角线相等，菱形对角线垂直。 4.定理混用：对角线平分对角是菱形独有性质，普通平行四边形、矩形不具备。 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 3．如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，为对角线上一点，连接，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型02.菱形的性质求线段长 5．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点C作于点E，连接，若，，则的长为 _____ ． 6．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 10．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 12．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 13．发现问题：如图①在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．探究之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，解题思路是： (1)先证明________；再证明________； 即可得出之间的数量关系是________． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全上面的思路． 提出问题： (2)如图②，若把原题中的“”改为，其他条件不变，（1）中之间的数量关系．是否仍然成立？请写出证明过程； 分析问题： (3)如图③在中，，，E，F是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 解决问题： (4)如图④在菱形中，，E、F分别是边上的点，且． ①求证：是等边三角形 ②若，，求的长． 题型05.添条件使四边形是菱形 14．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 15．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 16．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 17．如图．已知四边形为平行四边形，M，N为边上的点，且．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________（填序号）． (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 题型06.证明四边形是菱形 18．如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 19．如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 20． 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 题型07菱形性质与判定求角度 21．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 22．如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 题型08.菱形性质与判定求线段长 24．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 25．如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 26．如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 题型09.菱形的性质与判定求面积 27．若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为___________． 28．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 29．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 题型10.菱形与坐标系综合 30．如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 31．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 32．如图1，四边形为菱形，，，，，且． (1)求的长； (2)点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 题型11.菱形中的折叠问题 33．如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点若，，则的长是______． 34．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 35．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 36．如图，在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形是_____________； (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连结并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当时，连结并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，延长交于点M，直接写出的长． 题型12.菱形中的动点问题 37．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 38．如图，在菱形中，，点为对角线上的动点（不与端点重合），过点作于点，作于点，若，则菱形的周长为________． 39．如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点．若的长的最小值为6，则的长为__________． 40．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 题型13.菱形中的最值问题 41．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 42．如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于（   ） A．9.6 B．12 C．7.8 D．15.6 43．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 44．如图，菱形的边长为4，，直角三角形的斜边，连接，点P是线段的中点，连接．将绕点D在平面内自由旋转，则线段长度的最小值是________，最大值是________． 题型14菱形与中位线综合 45．如图，为的中位线，点在边上，连接．若四边形是菱形，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 46．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．12 D． 47．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为__________ ． 48．如图在菱形中，O为的交点，P，M，N分别为的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 题型15.菱形的实际应用问题 49．菱花窗镂映晴光，雪韵冰品故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形．测得，，则的长为(     ) A． B． C． D． 50．如图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2026米停下，则这个微型机器人所停的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 51．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 52．如图1是某创意图书馆一款壁灯，图2是从图1中提取出的图形，正八边形被分割成两个正方形和四个菱形．若该正八边形的边长为2，则菱形的面积为______． 题型16.菱形中旋转问题 53．如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 54．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    55．如图，在中，，M为上的任意一点，连接．将绕着点A顺时针旋转得到线段，点N在边上，且． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，，求的长． 题型17.多结论判断题 56．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接．有如下结论：①；②四边形为矩形；③若，，则的长为；④若，点为中点，点在上，当最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 57．如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 58．矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，． 连接 交于点．连接 ，．若 ， ．则下列结论：① ；② ；③ ， ；④四边形 是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型18.菱形中的存在性问题 59．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点时，停止运动；同时，点从点出发向点运动，运动到点时，停止运动．点，的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为（单位：）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ (3)当是以为一条腰的等腰三角形时，请直接写出此时的值． 60．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 题型19.菱形的规律探究问题 61．如图，点位于坐标原点，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在第一象限，点，，，…，在第二象限，四边形、四边形、四边形……四边形都是菱形，．若，且，则点的横坐标为________．    62．在平面直角坐标系中一组菱形，，，，…按如图方式放置，已知点，，，…，，点，，，…，，则菱形的面积为______．    63．如图，边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使；连接，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第个菱形的边长为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $