专题07矩形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题07矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系。 2.熟记矩形的性质、判定定理，区分矩形和平行四边形性质的异同点。 3.理解并运用直角三角形斜边上中线的性质及相关推论。 4.梳理矩形相关概念、结论，理清知识脉络，牢记易错知识点。 1.能结合图形，灵活运用矩形的性质进行线段、角度、周长、面积的计算。 2.熟练选用判定定理完成矩形的几何证明，规范书写推理过程。 3.掌握直角三角形斜边上中线模型，提升几何识图、变式分析能力。 4.学会结合平行四边形知识综合解题，培养数形结合与逻辑推理能力。 1.准确完成概念辨析类选择、填空题，杜绝基础失分。 2.熟练解决矩形单考点计算、证明基础题型，保证解题速度与正确率。 3.攻克矩形与直角三角形、全等三角形结合的综合题型，拿满步骤分。 4.掌握矩形简单压轴、动态题型的基本解题思路，提升综合题得分率。 题型01.矩形性质求角度 题型02.矩形性质求线段长 题型03.矩形性质求面积 题型04.矩形性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.添条件使四边形是矩形 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形性质与判定求角度 题型10.矩形性质与判定求线段长 题型11.矩形性质与判定求面积 题型12.斜边中线等于斜边一半 题型13.矩形中的动点问题 题型14.矩形中最值问题 题型15.矩形存在性问题 题型16.矩形与旋转综合 题型17.矩形多结论问题 题型18.矩形与中位线综合 知识点01:矩形的基本概念 1.定义 2.从属关系 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质，同时拥有自身独有的特殊性质。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的三大判定（易错重点） 易错：对角线相等的普通四边形≠矩形。 知识点05:矩形与平行四边形性质、判定对比（易混点对比，强化记忆） 图形 相同性质 独有性质 常用判定区别 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称 无 证对边平行 / 相等、对角相等、对角线平分 矩形 具备平行四边形所有性质 四个角为直角、对角线相等、两条对称轴 在平行四边形基础上：证一角为直角 或 对角线相等；或直接证三角为直角 知识点06期末常考几何模型（经典必考模型，附解题思路） 模型 1：矩形 + 对角线模型 特征：连接矩形两条对角线，得到四个等腰三角形。 考点：线段相等、角度计算、等腰三角形证明、线段求值。 核心思路：利用OA=OB=OC=OD转化线段。 模型 2：直角三角形斜边中线模型 特征：直角 + 斜边中点。 考点：线段倍分关系、角度计算、证明线段相等。 口诀：遇直角、见中点，连线构造斜边中线。 模型 3：矩形 + 折叠模型（期末压轴、填空压轴高频） 特征：矩形沿某条直线折叠，出现全等图形、相等线段、相等角。 解题思路： (1)折叠前后对应边、对应角相等； (2)结合矩形直角、勾股定理列方程求解边长； (3)常结合等腰三角形、平行线性质解题。 模型 4：矩形 + 动点模型 特征：矩形边上有动点，探究线段长度、角度、图形形状变化。 解题思路：以不变应万变，抓住矩形直角、对角线性质、斜边中线定理。 知识点07:全章节高频易错点、易错题归纳（老师课堂重点强调） 1.概念混淆 区分：平行四边形对角线只平分、不相等；矩形对角线互相平分且相等。 2.判定误用（最高频错误） 牢记：对角线相等的四边形≠矩形，必须先证明是平行四边形。 3.定理混淆 直角三角形斜边中线 = 斜边一半；不要和三角形中位线定理混用。 4.轴对称图形误区 普通平行四边形不是轴对称图形，矩形是轴对称图形，二者不要混淆。 5.计算类易错 矩形面积只能用长 × 宽，不可套用平行四边形 “底 × 高” 之外的错误公式。 6.书写规范问题 证明矩形时，步骤不能跳步：先证平行四边形，再补条件，逻辑顺序不能颠倒。 题型01.矩形性质求角度 1．如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于点N， ∵， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴， 2．如图，矩形的对角线交于点．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质：矩形对角线相等且互相平分，可得，确定是等腰三角形，借助等边对等角得到的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的定理，将两个底角相加，计算得出的度数． 【详解】解：∵矩形的对角线交于点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是的外角， ∴． 3．如图，在矩形中，延长至点，连接，交于点是的中点，连接，且，若，求的长． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵为的中点，， ． ， ． 在中，， ． 题型02.矩形性质求线段长 4．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】先利用矩形的性质证明，，，进而求出的长，勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点，且， ∴． 5．如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质及判定为等边三角形，求出及、的长，再通过角度计算证明为等腰三角形，从而求出的长，最后利用求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 6．矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若F是中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，进而得出，结合已知可得，即可得证； （2）由勾股定理得，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，． ∵，， ∴ ． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰三角形． （2）在矩形中，，，， 由勾股定理得． ∵为等腰三角形中，矩形中，， ∴ ． ∵， ∴． ∵是中点， ∴． ∴． ∴ ． 题型03.矩形性质求面积 7．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 8．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质证明，得到图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 9．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． (2)45 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）根据矩形的性质得出，确定，再由矩形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ， ． ． ， ． 题型04.矩形性质证明 10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算_______． 【答案】/56度 【分析】先根据矩形的性质得出，得出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再由垂直平分线的性质得出的度数，根据直角三角形两锐角互余得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图，设角平分线与垂直平分线交于点，垂直平分线与交于点． 四边形是矩形， ， ， 由作法可知，是的平分线， ， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ， ， ． 11．把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行得，先由邻补角求出，再结合三角形外角性质、等腰直角三角形内角，通过角度转化求． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 是含的直角三角形，， ， 由,得， ， ． 12．如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：为的中点， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，． ． 平行四边形是菱形． (2)30 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：，， 菱形的面积． 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 13．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的两边分别平行于坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是________． 【答案】28 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行于坐标轴， ∴轴，轴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：连接， 点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 15．如图1，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴，若点，且满足，若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交于点，． (1)___________，___________； (2)连接： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求线段的长度． 【答案】(1)8，6 (2)①四边形是菱形，见解析；② 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解； （2）①证明出，得到，然后结合即可证明四边形是菱形； ②利用勾股定理求出，设菱形的边长为，则，利用勾股定理求出菱形的边长为，然后利用等面积法求解． 【详解】（1）解：，，且， ，， ，； （2）解：①四边形是菱形； 理由如下：如图， 四边形是矩形， ， ， 为矩形的对角线的中点，且， ，，， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ②由（1）知点的坐标为， ，， 由勾股定理得：， 设菱形的边长为，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即菱形的边长为， ， ． 题型06.矩形与折叠问题 16．如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，由平行线的性质可得，再证明，得到；证明，得到，则可证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 17．将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（     ） A．1.5 B．1 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 则． 18．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)①是；②， (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质分别求出，，再求出比值即可得解； ②由①即可得解； （2）①根据折叠的性质和勾股定理可证，可得，根据折叠的性质即可得解； ②根据折叠的性质可得，，，可证，进而证明，再根据，，可证，即可得证． 【详解】（1）①解：由折叠可知， ， ， 长方形是“长与宽的比值为”的长方形； ②解：由①知，． （2）①解：沿对折，C落在上的Q， ． 在中，，， ， ， ， ． 由折叠可知，平分， ． ②证明：由折叠可知：，，， ， ， ． ， ． ， ． ． ，， ． ∴四边形是平行四边形． 题型07.添条件使四边形是矩形 19．在平行四边形中，与相交于点O，要使在平行四边形是矩形，需添加的条件是_______（填序号） ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【分析】本题考查矩形的判定，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟知矩形的判定是解答的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； ②∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，符合题意； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 故答案为：②③④． 20．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 21．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 22．如图，四边形的对角线交于点O，O是线段的中点，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∵， ∴； (2)添加，则四边形是矩形（答案不唯一） 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：若添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 题型08.证明四边形是矩形 23．如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，最后根据矩形的判定，即可证明结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． 24．如图，在中，，平分，，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点到线段的距离． 【答案】(1) 证明：，平分， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是矩形； (2)点到线段的距离为． 【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，故，由得，又，故，在四边形中，有三个直角，故四边形是矩形； （2）由（1）得是直角三角形，利用勾股定理求得，设点到线段的距离为，在中，利用等面积法列出即可得到解． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得， 在中，，， ， ， 设在中，点到线段的距离为，则， ，解得， 点到线段的距离为． 25．如图在菱形中，O为的交点，P，M，N分别为的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵P，M，N分别为的中点． ∴ ， ． ∴四边形是平行四边形． ∵在菱形中，相交于点O， ∴． ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，即可得证； （2）证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，，． ∴是等边三角形． ∴． ∴，由勾股定理得：． ∵， ∴，， ∴． ∴． 如图，连接， ∴在中，由勾股定理得：． 题型09.矩形性质与判定求角度 26．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 27．如图，在正方形中，线段为对角线，点分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上一点，连接且．若，则（    ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：延长与交于点，连接，过作交于，证明四边形为矩形，四边形为正方形，四边形为平行四边形，再证明，从而进一步可得答案． 【详解】解：如图：延长与交于点，连接，过作交于， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴，，而， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选C 【点睛】本题考查的是正方形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 题型10.矩形性质与判定求线段长 29．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，证四边形是矩形，可得，再由垂线段最短可得：时，线段的长最小，进而解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得：时，线段的长最小， 在中，， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为． 30．如图，两块矩形地砖铺成如图形状，已知米，米，、、在同一条直线上，点在边上，如果要求的大小需大于且小于，那么满足要求的的长可以是（   ） A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，等角对等边，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 延长交于点，易得四边形是矩形，根据的大小需大于且小于，得出的长的取值范围即可求解． 【详解】如图，延长交于点， ∵四边形和四边形是矩形， ，，． 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． 米，米． （米）． 若，则， 米． 米． ． 若，则米， （米）． ． 故选：A． 31．问题解决： 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，连接交于点； ①求的度数；②直接写出、、三条线段的关系； 拓展探究： (3)如图3，矩形中，，当，时，则__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）①解：连接，再证明，可得，．然后根据四边形的内角和定理及等角的补角相等得，进而得出，最后根据等边对等角得出答案； ②将绕点A顺时针旋转得到，再根据正方形的性质证明，可得，然后根据勾股定理得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，再根据旋转的性质和矩形的性质证明，可得，然后延长交于点K，过点E作，于点L，可得四边形是正方形，四边形是矩形，进而得出，接下来结合等腰三角形的性质和正方形的性质说明，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1） 证明：四边形是正方形，是对角线， ∴. ∵是公共边， ， ∴； （2）①解：连接， 四边形是正方形，是对角线，，， 在和中， ， ， ∴，． ， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， ， . ， ∴ ， 即； ②． 将绕点A顺时针旋转得到， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，即； （3）． 将绕点A顺时针旋转得到， ∴． ∵四边形是矩形 ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 延长交于点K，过点E作，于点L， ∵， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】 题型11.矩形性质与判定求面积 32．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 33．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，则，由等积变形可得，从而得到，由可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴只需要知道四边形的面积即可求出阴影部分的面积． 34．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点． （1）通过证明，得到，得证四边形是平行四边形，根据，得证结论． （2）根据矩形的性质得到，继而根据勾股定理得到， 根据平行四边形的性质得到，根据割补法计算四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 题型12.斜边中线等于斜边一半 35．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_________ ． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出、，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再由直角三角形的性质可求解． 【详解】 解：如图，连接、， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵是的中点， ∴． 36．如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得，，得到，即得到，即得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 37．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，根据，分别是，的中点，可得，，是的中位线，求出，和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ， ∵，，， ， ， ， 是直角三角形，， ． 38．问题背景如图（1），在中，是对角线，，，，其中m是大于3的常数． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点E，F分别是边，的中点，连接，求证：． 拓展创新 (3)如图（2），在四边形中，，，是对角线，点E是边的中点，点F在边上，，连接，探究EF与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）通过计算得到，则，即可得到是矩形； （2）连接交于点O，由四边形是矩形，得到，，由E，F分别为，的中点，得到，即可证明； （3）取的中点Q，连接，，由中位线可得，，即可证明四边形为平行四边形，得到，再根据斜边中线等于斜边一半得到． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 根据勾股定理的逆定理得，， 是矩形； （2）证明：如图1，连接交于点O， 四边形是矩形， ，， ，， ， E，F分别为，的中点， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点Q，连接，， E，Q分别是边，的中点， ，， 又， ，， 四边形为平行四边形， ， ，Q为的中点， ， ． 题型13.矩形中的动点问题 39．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 【答案】A 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 40．如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（     ） A． B．的大小 C． D．四边形的周长 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，， A、点在上运动，点在上运动， 不是定值该选项错误； B、的大小会随点、的运动而改变，故该选项错误； C、在矩形中，与交于点， ， ， ，， ， ， 为定值，故该选项正确； D、四边形的周长会随点、的运动而改变，故该选项错． 41．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 42．如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【答案】(1)13 (2)解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得结果； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）当点在上时，当，重合时符合题意， 由建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，； （2）略 （3）解：当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 题型14.矩形中最值问题 43．如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点E在边上，且，点F为边上的一个动点，连接，，则的最大值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理以及三角形三边关系，根据三角形两边之差小于第三边可知，当，，三点共线且 O 在之间时取等号，此时取得最大值，最大值为线段的长. 通过构建直角三角形，利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：如图，连接并延长交 于点 ， 在中，根据三角形三边关系可得， 当点F运动到位置，即，，三点共线时，取得最大值，最大值为的长， 过点O作于点M， 四边形是矩形，，， 、， O为对角线的中点，， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 点O是矩形中心，点E在上，点F在上， 当E，O，F共线时，O必为中点，此时F点在上， 的最大值为． 44．如图，在矩形中，，点是边上一个动点，连接，过点作于点，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】利用矩形性质确定的面积为定值，结合三角形面积公式得出，由此可知当取最大值时，取得最小值，再根据点在上的位置求出的最大值，进而计算的最小值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， 又∵， ∴， ∴，即． ∵点在上运动， ∴当点与点重合时，取得最大值． 在中，， ∴当时，取得最小值，． 45．如图，在矩形中，，，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，作点关于的对称点，连接、、，由旋转和矩形的性质容易证明，则，容易判断四边形是矩形，则．由轴对称的性质可得，，则，因此当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、，作点关于的对称点，连接、、， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴点在的延长线上， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 46．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 题型15.矩形存在性问题 47．如图，在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上，如果四边形是矩形，那么的长等于______． 【答案】 【分析】连接，，，设交于点，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，，设交于点，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 48．如图，在四边形中，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则从运动开始，需经过________秒，能使． 【答案】或 【分析】本题已知，需要分两种情况讨论：当四边形为平行四边形时，对边相等可得；当四边形为等腰梯形时，两腰相等也可得，分别根据线段关系列方程求解，验证时间的合理性即可得到结果． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， 且，解得． ， ， 又，，分两种情况讨论： ①当时，四边形是平行四边形，此时， 列方程得：， 解得，符合动点运动范围要求． ②当四边形是等腰梯形时，，此时， 如图，过作于，过作于，则． ，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 同理，四边形是矩形， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，符合动点运动范围要求． 综上，经过秒或秒时，． 49．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 50．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，直线经过点，分别与、的延长线交于点、，与、交于点、． (1)求证：； (2)连接、，若，当点位于的什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当为的中点时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，．由全等三角形的判定可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，证明四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． 在与中， ， ； （2）解：当为的中点时，四边形是矩形． 理由：， ， 四边形是平行四边形， ，为的中点， ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，证得是解题的关键． 题型16.矩形与旋转综合 51．如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为，若，则________． 【答案】/10度 【分析】根据矩形的性质得，根据旋转的性质得，，利用对顶角相等得到，再根据四边形的内角和为可计算出，然后利用互余即可得到的度数． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ∴． 52．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 【答案】 【分析】作，由旋转的性质得，再根据矩形的性质可得，然后根据勾股定理得，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点D， 由旋转的性质得． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴点． 53．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ）． A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】如图：连接、，根据矩形性质和勾股定理求出的长，由旋转性质得 ，在中求出 的长；通过证明 得到 ，从而证得 ；设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接、， ∵ 四边形 是矩形，，， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可知：，，，， ∵ 点落在线段的延长线上， ∴， 在中，， 在和 中， ， ∴， ∴，即 ， ∴， 设，则， 在 中，， ∴，解得 ，即． 题型17.矩形多结论问题 54．如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接．以下结论中，所有正确结论的序号是_______． . ①； ②； ③； ④为直线上一个动点，连接，，则的最小值为． 【答案】②③ 【分析】①由翻折的性质，，在中利用勾股定理列方程，即可求解； ②由，是等腰三角形与三角形外角和定理，即可证得结论； ③根据两直线平行，内错角相等可知，，，即可证得结论； ④由翻折的性质，四边形与四边形关于轴对称，与关于轴对称，连接，，由三角形两边之和大于第三边，得到的最小值为，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①由翻折的性质，， 因为四边形是矩形， 所以，，， 因为为中点，所以， 设，， 在中，，， 解得，结论错误； ②为中点，作交于，连接， 因为四边形是矩形， 所以，，， 所以， ， 所以四边形，是矩形， 在与中， ， 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以，结论正确； ③因为， 所以，， 所以，结论正确； ④由翻折的性质，四边形与四边形关于轴对称， 与关于轴对称，连接，， 所以， 所以， 所以当三点共线时，的最小值为， 此时在中，，结论错误． 55．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 56．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】作于点M，取的中点P，连接，由折叠的性质和矩形的性质得，，进而推出是锐角，结合G为的中点，可得，假设平分结合角平分线性质定理可得，从而推出可判断①；根据折叠性质得，结合平行线的性质推得进而得到可判断②；取的中点P，连接，结合已知条件推出点F是的中点得是的中位线，从而得，再根据矩形的性质结合已知条件证进而得可判断③． 【详解】解：如图，作于点M，取的中点P，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴，是锐角， ∴点M与点E不重合， ∴， ∵G为的中点， ∴，假设平分 ， ∵，， ∴， ∴，与 相矛盾， ∴不能平分，故①错误； 由折叠可知，， ， ， ， ， ∴点H在的垂直平分线上，故②正确； ∵平分，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴点F是的中点，点P是的中点， ∴是的中位线， ， ∵四边形是矩形，， ， ， ∵点G是的中点， ∴， 又∵ ， ，故③正确． 综上所述：结论正确的是②和③． 题型18.矩形与中位线综合 57．如图，在矩形中，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 【答案】3 【分析】先根据矩形性质求出的长度，再利用三角形中位线定理，结合、是中点，得出与的数量关系，进而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，， ． ，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， ． 58．如图，在矩形中，点分别在边上，，分别交对角线、线段于点，且是的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】作线段的中点，连接，连接，利用中位线的性质证得四边形是平行四边形，再利用直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半和，得到，根据平行四边形的性质证得，最后利用“等腰三角形的三线合一”与“含角的直角三角形的性质”求出答案． 【详解】解：取线段的中点，连接，过点作交于点，连接， ， ∵，， ∴， ∵点是的中点，点是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴，，即， 解得． 59．如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图 ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证，四边形是矩形． (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)证明：由条件可知，即， ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵根据作图可知：， ∴四边形是矩形； (2)， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知，进而即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解 【详解】（1）略； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 由条件可知， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系。 2.熟记矩形的性质、判定定理，区分矩形和平行四边形性质的异同点。 3.理解并运用直角三角形斜边上中线的性质及相关推论。 4.梳理矩形相关概念、结论，理清知识脉络，牢记易错知识点。 1.能结合图形，灵活运用矩形的性质进行线段、角度、周长、面积的计算。 2.熟练选用判定定理完成矩形的几何证明，规范书写推理过程。 3.掌握直角三角形斜边上中线模型，提升几何识图、变式分析能力。 4.学会结合平行四边形知识综合解题，培养数形结合与逻辑推理能力。 1.准确完成概念辨析类选择、填空题，杜绝基础失分。 2.熟练解决矩形单考点计算、证明基础题型，保证解题速度与正确率。 3.攻克矩形与直角三角形、全等三角形结合的综合题型，拿满步骤分。 4.掌握矩形简单压轴、动态题型的基本解题思路，提升综合题得分率。 题型01.矩形性质求角度 题型02.矩形性质求线段长 题型03.矩形性质求面积 题型04.矩形性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.添条件使四边形是矩形 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形性质与判定求角度 题型10.矩形性质与判定求线段长 题型11.矩形性质与判定求面积 题型12.斜边中线等于斜边一半 题型13.矩形中的动点问题 题型14.矩形中最值问题 题型15.矩形存在性问题 题型16.矩形与旋转综合 题型17.矩形多结论问题 题型18.矩形与中位线综合 知识点01:矩形的基本概念 1.定义 2.从属关系 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质，同时拥有自身独有的特殊性质。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的三大判定（易错重点） 易错：对角线相等的普通四边形≠矩形。 知识点05:矩形与平行四边形性质、判定对比（易混点对比，强化记忆） 图形 相同性质 独有性质 常用判定区别 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称 无 证对边平行 / 相等、对角相等、对角线平分 矩形 具备平行四边形所有性质 四个角为直角、对角线相等、两条对称轴 在平行四边形基础上：证一角为直角 或 对角线相等；或直接证三角为直角 知识点06期末常考几何模型（经典必考模型，附解题思路） 模型 1：矩形 + 对角线模型 特征：连接矩形两条对角线，得到四个等腰三角形。 考点：线段相等、角度计算、等腰三角形证明、线段求值。 核心思路：利用OA=OB=OC=OD转化线段。 模型 2：直角三角形斜边中线模型 特征：直角 + 斜边中点。 考点：线段倍分关系、角度计算、证明线段相等。 口诀：遇直角、见中点，连线构造斜边中线。 模型 3：矩形 + 折叠模型（期末压轴、填空压轴高频） 特征：矩形沿某条直线折叠，出现全等图形、相等线段、相等角。 解题思路： (1)折叠前后对应边、对应角相等； (2)结合矩形直角、勾股定理列方程求解边长； (3)常结合等腰三角形、平行线性质解题。 模型 4：矩形 + 动点模型 特征：矩形边上有动点，探究线段长度、角度、图形形状变化。 解题思路：以不变应万变，抓住矩形直角、对角线性质、斜边中线定理。 知识点07:全章节高频易错点、易错题归纳（老师课堂重点强调） 1.概念混淆 区分：平行四边形对角线只平分、不相等；矩形对角线互相平分且相等。 2.判定误用（最高频错误） 牢记：对角线相等的四边形≠矩形，必须先证明是平行四边形。 3.定理混淆 直角三角形斜边中线 = 斜边一半；不要和三角形中位线定理混用。 4.轴对称图形误区 普通平行四边形不是轴对称图形，矩形是轴对称图形，二者不要混淆。 5.计算类易错 矩形面积只能用长 × 宽，不可套用平行四边形 “底 × 高” 之外的错误公式。 6.书写规范问题 证明矩形时，步骤不能跳步：先证平行四边形，再补条件，逻辑顺序不能颠倒。 题型01.矩形性质求角度 1．如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线交于点．若，则的度数为_______． 3．如图，在矩形中，延长至点，连接，交于点是的中点，连接，且，若，求的长． 题型02.矩形性质求线段长 4．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为________． 5．如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 6．矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若F是中点，，，求的长． 题型03.矩形性质求面积 7．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 9．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型04.矩形性质证明 10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算_______． 11．把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 13．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的两边分别平行于坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．如图1，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴，若点，且满足，若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交于点，． (1)___________，___________； (2)连接： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求线段的长度． 题型06.矩形与折叠问题 16．如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 17．将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（     ） A．1.5 B．1 C．2 D．2.5 18．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 题型07.添条件使四边形是矩形 19．在平行四边形中，与相交于点O，要使在平行四边形是矩形，需添加的条件是_______（填序号） ①；②；③；④ 20．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 21．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 22．如图，四边形的对角线交于点O，O是线段的中点，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明）． 题型08.证明四边形是矩形 23．如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 24．如图，在中，，平分，，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点到线段的距离． 25．如图在菱形中，O为的交点，P，M，N分别为的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 题型09.矩形性质与判定求角度 26．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 27．如图，在正方形中，线段为对角线，点分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上一点，连接且．若，则（    ） . A． B． C． D． 28．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 题型10.矩形性质与判定求线段长 29．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 30．如图，两块矩形地砖铺成如图形状，已知米，米，、、在同一条直线上，点在边上，如果要求的大小需大于且小于，那么满足要求的的长可以是（   ） A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米 31．问题解决： 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，连接交于点； ①求的度数；②直接写出、、三条线段的关系； 拓展探究： (3)如图3，矩形中，，当，时，则__________． 题型11.矩形性质与判定求面积 32．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 33．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 34．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型12.斜边中线等于斜边一半 35．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_________ ． 36．如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 37．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 38．问题背景如图（1），在中，是对角线，，，，其中m是大于3的常数． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点E，F分别是边，的中点，连接，求证：． 拓展创新 (3)如图（2），在四边形中，，，是对角线，点E是边的中点，点F在边上，，连接，探究EF与的数量关系，并证明． 题型13.矩形中的动点问题 39．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 40．如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（     ） A． B．的大小 C． D．四边形的周长 41．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 42．如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 题型14.矩形中最值问题 43．如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点E在边上，且，点F为边上的一个动点，连接，，则的最大值为_____________． 44．如图，在矩形中，，点是边上一个动点，连接，过点作于点，则的最小值为______． 45．如图，在矩形中，，，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 46．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 题型15.矩形存在性问题 47．如图，在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上，如果四边形是矩形，那么的长等于______． 48．如图，在四边形中，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则从运动开始，需经过________秒，能使． 49．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 50．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，直线经过点，分别与、的延长线交于点、，与、交于点、． (1)求证：； (2)连接、，若，当点位于的什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 题型16.矩形与旋转综合 51．如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为，若，则________． 52．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 53．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ）． A． B． C．3 D． 题型17.矩形多结论问题 54．如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接．以下结论中，所有正确结论的序号是_______． . ①； ②； ③； ④为直线上一个动点，连接，，则的最小值为． 55．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 56．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型18.矩形与中位线综合 57．如图，在矩形中，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 58．如图，在矩形中，点分别在边上，，分别交对角线、线段于点，且是的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D．3 59．如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图 ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证，四边形是矩形． (2)若，，，求和的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $