第10章二元一次方程组 期末复习综合练习题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解法体系与实际应用，通过分层题型构建“概念理解-解法迁移-建模应用”逻辑链，渗透消元思想与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|6题（单选1-4、填空8-9）|二元一次方程（组）解的验证与概念辨析|从解的定义到方程变形，培养抽象能力| |解法应用|5题（单选2-3、解答15）|代入/加减消元法步骤规范|消元思想的具体实现，强化运算能力| |综合拓展|14题（单选5-7、填空10-14、解答16-20）|参数问题整体代入、几何与实际问题建模|解法迁移至跨情境应用，发展模型意识|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（    ） A．由①得 B．由②得 C．由②得 D．由①得 3．方程组不能转化为（   ） A． B． C． D． 4．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 5．若关于x，y的方程组的解满足，则k等于（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 二、填空题 8．已知方程，将其改写成用含的式子表示的形式为______． 9．已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 10．已知关于的二元一次方程组，则的值___ ． 11．小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 12．若定义，其中，为常数，且，，则的值为_______________． 13．若的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为___________． 14．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 三、解答题 15．解方程组 (1)请用代入消元法求解：； (2)请用加减消元法求解：． 16．已知方程组和的解相同，求代数式的值． 17．已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 18．在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法--“整体代入法”，例如：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得． (1)用上述方法解方程组； (2)若方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 19．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 20．周末，小华和妈妈去大型超市采购生活用品．他们看中了两种促销商品：立白品牌洗衣液（记为商品）和蓝月亮品牌洗衣液（记为商品）．已知这两次购买时，商品的单价保持不变，且均按整瓶购；第一次购买小华购买瓶商品和瓶商品去结账，收银员告知总价为元；第二天，小华购买瓶商品和瓶商品去结账，这次收银员告知总价为元． (1)妈妈发现小华记录的两次价格存在矛盾，请你通过建立方程组或计算说明错误原因； (2)经核实，正确的单价为：商品每瓶元，商品每瓶元．现在，妈妈打算用元以同样的价格再次购买这两种商品．要求如下：必须同时购买商品和（即两种商品数量均大于的整数），恰好花完，计算出所有满足上述条件的购买方案． 参考答案 1．A 【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程中，左边右边，故是方程的解，符合题意； B．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； D．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意． 2．D 【分析】利用等式的基本性质，对方程组中的两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：对① 移项， ， 移项得 ， ，故A错误，D正确； 对② 移项， ， 移项得 ，故B，C错误． 3．D 【分析】利用二元一次方程组的消元法，对原方程组变形，逐一判断选项即可. 【详解】解： 由①得 ，将代入②得， 选项B可由原方程组转化； 由①得，将代入②得，化简得， 选项A可由原方程组转化； 化简得， 选项C可由原方程组转化； 得，化简得， 选项D不能由原方程组转化. 4．C 【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 5．D 【分析】两个方程相加后，结合，得到关于的方程，进行求解即可. 【详解】解：， ，得， ∴， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴， ∴. 6．A 【分析】根据以及大长方形的周长为分别列方程即可． 【详解】解：由题意可得：，，即； 大长方形的周长为， ， 即可列方程组为． 7．C 【分析】设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒，根据两种纸盒所需长方形和正方形纸板的数量及恰好使库存的纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出，再结合为5的倍数，即可得出结论． 【详解】解：设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒， 根据题意得：， 得：， 即， 可知为5的倍数， ∵x为正整数， ∴n的个位数字为4或9． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 8． 【详解】解：， 移项得， 系数化为得． 9．2 【分析】把代入方程组，求出的值，即可得出结果. 【详解】解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， ∴. 10． 【分析】先将方程组中的两个方程相加，得，整理得即可得出答案． 【详解】解：， 由①②得， ∴，则． 11． 【分析】先把代入可求出，然后把代入，计算得出■所遮住的数，即可比较得出． 【详解】解：把代入，得， 解得， 把代入， 得， ， 数■和▲中较小的一个数的值是． 12． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，列出方程组，求出方程组的解即可得到的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：， 解得：． 13．或 【分析】当两个角的两边分别平行时，两个角相等或互补，根据该性质结合题目给出的与的数量关系，列方程求解即可 【详解】解： 的两边与的两边分别平行， 或 由题意得 当时 将代入得 解得 当时 将 代入得 解得 综上，的度数为或 14． 【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用． 【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元. 根据题意列方程组得： 将得： ， 将得： ， 得： ， ∴他共需元． 15．(1) (2) 【分析】分别按要求用代入消元法和加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为． 16．1 【分析】根据这四个方程的解相同，重新联立方程即可求出x和y，然后代入另外两个含a和b的方程中，即可求出a和b，最后代入即可． 【详解】解：联立得：， 解得 把代入 解得 ． 17．(1)，； (2) (3)有，公共解为 【分析】（1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解：联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 18．(1) (2) 【分析】（1）同题干的方法求解； （2）根据解的定义得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得， 将代入③，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）解：∵方程组的解是， 由题意可得， 解得． 19．(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 20．(1)小华的记录矛盾，理由见解析 (2)共有种购买方案，方案：购买了瓶商品，瓶商品；方案：购买了瓶商品，瓶商品 【分析】（1）设商品的单价为元/瓶，商品的单价为元/瓶，根据题意列方程组求解即可； （2）设妈妈购买了商品 瓶，商品 瓶，根据题意列方程求特殊解即可. 【详解】（1）解：小华的记录矛盾，理由如下： 设商品的单价为元/瓶，商品的单价为元/瓶， 根据题意得， 解得：， ∵商品的单价不能为负， ∴小华的记录矛盾； （2）解：设妈妈购买了商品 瓶，商品 瓶， 根据题意得：， ∴，又∵均为正整数，必须是的倍数，所以可以取，， ∴或， ∴共有种购买方案， 方案：购买了瓶商品，瓶商品； 方案：购买了瓶商品，瓶商品． 学科网（北京）股份有限公司 $