精品解析：江苏泰州市靖江外国语学校2025-2026学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学 第③次学情自测

外国语2025-2026学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学 第③次考试 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 斐波那契螺旋线 C. 赵爽弦图 D. 伯努利双纽线 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．诗人以梅花的坚强和高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人．梅花的花粉直径约为0.000036m，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（ ） A. B. C. 2026 D. 1 5. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则（ ）（用含的代数式表示） A. B. C. D. 6. 已知a，b为常数，若ax＋b＞0的解是x<，则bx－a<0的解是（　 　） A. x＞－3 B. x <－3 C. x ＞ 3 D. x < 3 二、填空题（30分） 7. 计算：_______ 8. 在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______． 9. 《九章算术》是我国一部杰出的数学巨作．其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有人，物品价值元，则可列二元一次方程组为________ 10. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 11. 若是完全平方式，则常数a的值是_______． 12. 若，则的值是________ 13. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，若，且，则______． 14. 如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 15. 如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 16. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 三、解答题（102分） 17. 计算： （1） （2） （3）． 18. 解方程（不等式）组： （1） （2），并把它的解集表示在数轴上 19. 先化简，再求值：，其中 20. 对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 21. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移4格，画出平移后的对应； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； （3）第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 22. 如图，在长方形内有一点， （1）将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （2）连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （3）直接写出折痕与的位置关系_______． 23. 随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园． （1）求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ （2）当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 24. 小明在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（、为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小明完善证明过程． （1）因为， 所以． 所以，， 又因为， 所以____________________（____________________）， 同理，，又因为， 所以（____________________）， 所以（等量代换）， 又因为， 所以， 所以________， 所以（____________________）． 【引申拓展】 （2）如图3，小明把挡板固定，将挡板绕点逆时针旋转至直线，若，球从打到挡板和球从打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则___________（用含的代数式表示）； ②当___________时，． 25. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） （2）若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 26. 在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． （1）如图1，当时，求的大小． （2）如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． （3）若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 外国语2025-2026学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学 第③次考试 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 斐波那契螺旋线 C. 赵爽弦图 D. 伯努利双纽线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．诗人以梅花的坚强和高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人．梅花的花粉直径约为0.000036m，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将数据0.000036用科学记数法表示为． 3. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特点，逐一分析选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．是完全平方公式，展开为，不符合平方差公式． B．中两因式均为减法但常数项不同，展开后为，不符合平方差公式． C．符合平方差公式，即，，结果为． D．可变形为，属于完全平方的相反数，不符合平方差公式． 故选：C． 4. 已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（ ） A. B. C. 2026 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵关于，的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组， 解得， 代入，得， 解得：， ∴． 5. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则（ ）（用含的代数式表示） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行线和折叠性质求出，再通过同旁内角互补求出． 【详解】解：根据题意可知，， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 6. 已知a，b为常数，若ax＋b＞0的解是x<，则bx－a<0的解是（　 　） A. x＞－3 B. x <－3 C. x ＞ 3 D. x < 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据ax+b＞0的解集是，可以解得ab的值，再代入bx-a＜0中求其解集即可． 【详解】解：∵ax+b＞0的解集是， 由于不等号的方向发生了变化， ∴a＜0，又，即a=-3b， ∴b＞0， 不等式bx-a＜0即bx+3b＜0， 解得x＜-3． 故选B． 【点睛】解答这类题学生在解题时要注意移项要改变符号这一点．不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确判断出a、b的取值范围及关系是解答此题的关键． 二、填空题（30分） 7. 计算：_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，根据积的乘方法则和幂的乘方法则逐步计算即可． 【详解】解：． 8. 在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______． 【答案】 【解析】 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解． 【详解】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 9. 《九章算术》是我国一部杰出的数学巨作．其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有人，物品价值元，则可列二元一次方程组为________ 【答案】 【解析】 【分析】设有人，物品价值元，根据题目给出的等量关系，即可列出对应的二元一次方程组． 【详解】解：设有人，物品价值元，根据题意得： ． 10. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 11. 若是完全平方式，则常数a的值是_______． 【答案】4或 【解析】 【详解】解：或， ∴或， 解得或． 12. 若，则的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、等式的性质，将等式化成，即可求解的值. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 解得：. 13. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，若，且，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形内角和，根据旋转角求出，再利用内角和求解即可． 【详解】绕点逆时针旋转得到 故答案为：． 14. 如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 15. 如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 16. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（102分） 17. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 解方程（不等式）组： （1） （2），并把它的解集表示在数轴上 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先将方程组整理成一般形式，再利用加减法求解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，最后求其公共解即可. 【小问1详解】 解： 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：； 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】利用完全平方公式及平方差公式，单项式乘多项式的运算法则进行计算即可. 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 . 20. 对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 21. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移4格，画出平移后的对应； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； （3）第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． （3）连接，由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积，根据平移的性质可得，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积， 由平移的性质可得，， ∵四边形的高为， ∴平移过程中边“扫过”的面积为． 22. 如图，在长方形内有一点， （1）将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （2）连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （3）直接写出折痕与的位置关系_______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，作的线段垂直平分线即可； （2）作的角平分线即可； （3）求出，，则，据此即可得． 【小问1详解】 解：如图，折痕即为所作． ． 【小问2详解】 解：如图，折痕即为所作． ． 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园． （1）求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ （2）当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 【答案】（1）A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩 （2）5架 【解析】 【分析】（1）设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意列出不等式求得不等式的最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意得， 解得： 答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩； 【小问2详解】 解：设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意得， 解得：， ∴最小整数解为5， 答：最少需使用5架A 款无人机． 24. 小明在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（、为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小明完善证明过程． （1）因为， 所以． 所以，， 又因为， 所以____________________（____________________）， 同理，，又因为， 所以（____________________）， 所以（等量代换）， 又因为， 所以， 所以________， 所以（____________________）． 【引申拓展】 （2）如图3，小明把挡板固定，将挡板绕点逆时针旋转至直线，若，球从打到挡板和球从打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则___________（用含的代数式表示）； ②当___________时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． ②解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围． 25. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） （2）若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】本题可主要考查解一元一次方程和一元一次不等式（组），再根据“学梅方程”和“思梅方程”的定义来求解； （1）先分别把三个方程解出来，再把不等式组求出解集，通过比较即可得到答案； （2）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式，根据思梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； （3）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组恰好有3个整数解和学梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； 【小问1详解】 解：解不等式，移项可得，即； 解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得． 所以不等式组的解集为． 解方程①，得． 解方程②，得． 解方程③，得． 根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内， 故答案是②． 【小问2详解】 解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以−3得． 解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1​​得​​． 据“思梅方程”的定义，所以2a<​ ​​，解得． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 解：解方程​，得． 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以． 因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合​，可得． 综上，的取值范围是． 26. 在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． （1）如图1，当时，求的大小． （2）如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． （3）若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 【答案】（1） （2）是定值，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，根据角的和差关系，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的大小即可； （2）设交于点，交于点，设，根据平行线的性质和三角形的内角和为180度，推出即可； （3）根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，分点在上和的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：是定值，理由如下： 设交于点，交于点， ∵与的平分线交于点O， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵， 故是定值； 【小问3详解】 解：∵折叠， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵的平分线所在直线交线段于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图，设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $